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2014届高考数学(理)一轮复习教案第十四章算法初步、推理与证明、复数第5讲 数学归纳法(苏教版)

时间:2014-04-28


第5讲

数学归纳法

对应学生 用书P213

考点梳理 1.对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性: 先证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立;然后假设当 n=k (k ∈N* ,k ≥n0 )时命题 成立,证明当 n=k +1 时命题也成立.这种证明方法就叫做数学归纳法. 2.数学归纳法的基本形式:设 P(n)是关于自然数 n 的命题,若 P(n0 )成立(奠 基),假设 P(k )成立(k ≥n0 ),可以推出 P(k +1)成立(归纳),则 P(n)对一切大于 等于 n0 的自然数 n 都成立. 【助学· 微博】 一个命题趋势 预计在 2014 年高考中,数学归纳法可能会与数列、不等式等内容相结合考 查. 与数列相结合的题目, 一般会采取“归纳——猜想——证明”的命题思路, 以解答题的形式出现,难度较大,为中高档题. 考点自测 1 1. 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时, 第一步检验第一 2 个值 n0 等于________. 解析 答案 边数最少的凸 n 边形是三角形. 3

1 1 1 2.利用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n <f (n)(n≥2,n∈N* )的过 2 3 2 -1 程,由 n=k 到 n=k +1 时,左边增加了________项. 解析 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ? + k+1 -1+ + +?+ k = k+ k +?+ 2 3 2 -1 2 3 2 -1 2 2 +1

1 ,共增加了 2k 项. 2 -1
k+1

答案

2k

3.用数学归纳法证明:“1 +a+a +?+a 时,左端计算所得的项为________. 答案 1+a+a2

2

n +1

1-an +2 = (a≠1)”在验证 n=1 1-a

4.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k (k ∈N* )时命题成立,那么可推得当 n=k +1 时该命题也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得下列成 立的说法是________. ①n=6 时该命题不成立;②n=6 时该命题成立;③n=4 时该命题不成立;④ n=4 时该命题成立. 解析 法一 由 n=k (k ∈N* )成立,可推得当 n=k +1 时该命题也成立.因而

若 n=4 成立,必有 n=5 成立.现知 n=5 不成立,所以 n=4 一定不成立. 法二 其逆否命题“若当 n=k +1 时该命题不成立,则当 n=k 时也不成立”

为真,故“n=5 时不成立”?“n=4 时不成立”. 答案 ③

1 1 1 13 5.用数学归纳法证明不等式 + +?+ > 的过程中,由 n=k 推 n+1 n+2 n+n 24 导 n=k +1 时,不等式的左边增加的式子是________. 解析 1 1 1 1 不等式的左边增加的式子是 + - = , 故填 2k +1 2k +2 k +1 ?2k +1??2k +2?

1 . ?2k +1??2k +2? 答案 1 ?2k +1??2k +2?

对应学生 用书P213 考向一 数学归纳法的原理

2 【例 1】 (2010· 南通高三二模)设数列{an }满足 a1 =a,an +1 =an +a1 ,M={a∈

R |n∈N* ,|an |≤2}. (1)当 a∈(-∞,-2)时,求证:a? M; ? 1? ? (2)当 a∈ ? ?0,4?时,求证:a∈M;

?1 ? ?时,判断元素 a 与集合 M 的关系,并证明你的结论. (3)当 a∈ ? ,+∞ ?4 ? 证明 (1)当 a<-2 时,|a1 |=|a|>2,所以 a?M.

1 1 (2)当 0<a≤ 时,|an |≤ (?n≥1). 4 2 1 事实上,①当 n=1 时,|a1 |=|a|≤ . 2 ②设 n=k -1 时成立(k ≥2 为某整数), 1 1 ?1? ?2 + = . 则对 n=k ,|ak|≤|ak-1 |2 +a≤? ?2? 4 2 1 由归纳假设,对任意 n∈N *,|an |≤ <2, 2 所以 a∈M. 1 (3)当 a> 时,a?M,证明如下: 4 1 对于任意 n≥1,an ≥a> ,且 an +1 =a2 n+a. 4 1? 2 1 1 ? 对于任意 n≥1,an +1 -an =a2 n-an +a=?an - ? +a- ≥a- ,则 an +1 -an ≥a ? ? 2 4 4 1 - . 4 ? 1? 所以 an +1 -a=an +1 -a1 ≥n?a- ?. ? 4? 当 n> 2-a ? 1? ? 时,an +1 ≥n? ?a-4?+a>2-a+a=2, 1 a- 4

即 an +1 >2,因此 a?M. [方法总结] 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可,证明 n=k +1 成立时,必须 用 n=k 成立的结论.用数学归纳法证题的过程可以总结为“两个步骤一个结 论”.用数学归纳法证明等式时其过程也是“两个步骤一个结论”. 【训练 1】 (2011· 南通调研)用数学归纳法证明: 1×2×3+2×3×4+?+n×(n+1)×(n+2)= 证明 n?n+1??n+2??n+3? .(n∈N* ) 4 1×2×3×4 =6=左边,所以 4

(1)当 n=1 时,左边=1×2×3=6 ,右边=

等式成立.

(2)设当 n=k (k ∈N* )时,等式成立, 即 1×2×3+2×3×4+?+k ×(k +1)×(k +2)= 则当 n=k +1 时, 左边=1×2×3+2×3×4+?+k ×(k +1)×(k +2)+(k +1)(k +2)(k +3) = k ?k +1??k +2??k +3? +(k +1)(k +2)(k +3) 4 k ?k +1??k +2??k +3? . 4

?k ? =(k +1)(k +2)(k +3)? +1? ?4 ? = = ?k +1??k +2??k +3??k +4? 4 ?k +1??k +1+1??k +1+2??k +1+3? 4

所以 n=k +1 时,等式成立. 由(1)(2)可知,原等式对于任意的 n∈N* 成立.

考向二

数学归纳法的应用

【例 2】 (2010· 江苏卷)已知△ABC 的三边是有理数. (1)求证:cos A 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cos nA 是有理数(n∈N* ). 证明 b2 +c2 -a2 (1)设△ABC 角 A, B, C 的对边为 a, b, c, 则 a, b, c∈ Q, cos A= 2bc

为有理数. (2)用数学归纳法证明 cos nA 与 sin A· sin nA 是有理数. ①当 n=1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin Asin A=1-cos2 A 也是有理 数. ②假设当 n=k (k ≥1)时,cos kA 和 sin A· sin kA 都是有理数. 当 n=k +1 时, 由 cos(k +1)A=cos A· cos kA-sin A· sin kA, sin A· sin(k +1)A= sin A· (sin A· cos kA+cos A· sin kA),

=(sin A· sin A )· cos kA+(sin A· sin kA)· cos A, 及①和归纳假设,知 cos(k +1)A 与 sin A· sin(k +1)A 都是有理数, 即当 n=k +1 时,结论成立. 综合①②可知,对任意正整数 n,cos nA 是有理数. [方法总结] 数学归纳法适用于证明与正整数有关命题的一种常见方法. 常用数学归纳法可以证明:恒等式,不等式,数的整除性,几何中计算问题, 数列的通项与求和等.证明过程可以用综合法,也可以用分析法或其他方法. 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 时成立得 n=k +1 时成立,主要方 法有:①放缩法;②基本不等式法;③作差比较法等.
2 【训练 2】 (2012· 江苏南通一模 )已知数列{an }满足:a1 =1 ,a 2 n=a n -1 +

1 an -1

1 1 (n≥2),an ≥ n . 2 3 1 1 1 2 求证: + +?+ ≤4(n+1) -1. a1 a2 an 3 证明 1 1 1 1 1 2 2 2 2 由题得 a2 n +1=an+ ,即 an +1 -an= ,于是有 + +?+ =an +1- an an a1 a2 an

2 a2 1=an +1 -1.

1 1 1 2 要证明 + +?+ ≤4(n+1) -1, a1 a2 an 3 1 只需证明 an ≤2n . 3 下面使用数学归纳法证明. 1 ①当 n=1 时,a1 =1, <a1 <2,则当 n=1 时,不等式成立. 2 1 1 1 1 2 2 ②假设当 n=k 时, k ≤ak≤2k 成立,则当 n=k +1 时,a2 k+1=ak + ≤4k + 2 3 3 ak 3 1 2 2 2 2 2 1 2 =4k + , 只要证明 4k + ≤4(k +1) , 只需 2k +1≤2k (k +1) , 只需(2k 1 1 3 1 3 1 3 3 3 k k k 2 3 3 3 1 1 1 1 +1)3 ≤8k (k +1)2 ,化简后恒成立,于是 ak+1 ≤2(k +1) ,所以 + +?+ 3 a1 a2 an 2 ≤4(n+1) -1. 3

考向三

归纳、猜想与证明

【例 3】 设数列{an }的前 n 项和为 Sn ,且方程 x2 -an x -an =0 有一根为 Sn -1, n=1,2,3,?. (1)求 a1 ,a2 ; (2)猜想数列{Sn }的通项公式,并给出严格的证明. 解 (1)当 n=1 时,x 2 -a1x -a1 =0 有一根为 S1 -1=a1 -1, 1 于是(a1 -1)2 -a1 (a1 -1)-a1 =0,解得 a1 = . 2 1 当 n=2 时,x2 -a2x -a2 =0 有一根为 S2 -1=a2 - , 2 1? 2 1? 1 ? ? 于是? a 2 - ? -a2?a2 - ?-a2 =0,解得 a2 = . ? ? 2? 2? 6 (2)由题设(Sn -1)2 -an (Sn -1)-an =0, 即 S2 n-2Sn +1-an Sn =0. 当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 , 代入上式得 Sn -1 Sn -2Sn +1=0.① 1 1 1 2 由(1)得 S1 =a1 = ,S2 =a1 +a2 = + = . 2 2 6 3 3 n 由①可得 S3 = .由此猜想 Sn = ,n=1,2,3,?. 4 n+1 下面用数学归纳法证明这个结论. (ⅰ)n=1 时已知结论成立. (ⅱ)假设 n=k (k ∈N* )时结论成立, 即 Sk= k , k +1

1 当 n=k +1 时,由①得 Sk+1 = , 2-Sk k +1 即 Sk+1 = ,故 n=k +1 时结论也成立. k +2 综上,由(ⅰ)、(ⅱ)可知 Sn = n 对所有正整数 n 都成立. n+1

[方法总结] 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种,一般经过计算、观察、 归纳,然后猜想出结论,再利用数学归纳法证明.由于“猜想”是“证明”的

前提和“对象”,因此要务必保持猜想的正确性,同时要注意数学归纳法步骤 的书写. 【训练 3】 在数列{an }、{bn }中,a1 =2,b1 =4,且 an ,bn ,an +1 成等差数列, bn ,an +1 ,bn +1 成等比数列(n∈N* ). (1)求 a2 ,a3 ,a4 及 b2 ,b3 ,b4 ,由此猜测{an},{bn }的通项公式,并证明你的 结论; (2)证明: (1)解 1 1 1 5 + +?+ < . a1 +b1 a2 +b2 an +bn 12

由条件得 2bn =an +an +1 ,a2 n +1=bn bn +1 .

由此可得 a2 =6,b2 =9,a3 =12,b3 =16,a4 =20,b4 =25. 猜测 an =n(n+1),bn =(n+1)2 . 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k (k ≥1 且 k ∈N * )时,结论成立, 即 ak=k (k +1),bk=(k +1)2 ,
2 ak +1 那么当 n=k +1 时, ak+1 =2bk-ak=2(k +1) -k (k +1)=(k +1)(k +2), bk+1 = bk 2

=(k +2)2 , 所以当 n=k +1 时,结论也成立. 由①②,可知 an =n(n+1),bn =(n+1)2 对一切正整数都成立. (2)证明 1 1 5 = < . a1 +b1 6 12

n≥2 时,由(1)知 an +bn =(n+1)(2n+1)>2(n+1)n. 故 1 1 1 + +?+ a1 +b1 a2 +b2 an +bn

1 1? 1 1 1 ? < + ? + +?+ ? 6 2?2×3 3×4 n?n+1? ? 1 1?1 1 1 1 1 1 ? = + ? - + - +?+ - ? 6 2?2 3 3 4 n n+1? 1 1?1 1 ? 1 1 5 = + ? - ?< + = . 6 2?2 n+1? 6 4 12 综上,原不等式成立.

对应学生 用书P215 热点突破 36 数学归纳法证明不等式问题

用数学归纳法证明与自然数 n 有关的不等式问题时, 常以数列与不等式的综合 为主线,同时考查数列递推关系、不等式证明、不等式性质等.在证明时,比 较法、放缩法、分析法、反证法等证明不等式的方法在此都可使用,有时还要 考虑与原不等式等价的命题. 【示例】 (2012· 大纲全国卷改编)函数 f (x )=x 2 -2x -3,定义数列{x n}如下:x1 =2,xn +1 是过两点 P(4,5),Qn (x n ,f (xn ))的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标. (1)证明:2≤x n <x n +1 <3; (2)设 bn =xn -3,求数列{bn }的通项公式. [审题与转化] 第一步:(1)先从函数入手,表示出直线方程.从而得到交点 坐标,再利用数学归纳法证明 2≤x n <xn +1 <3. 3+4xn 3+4xn (2)由(1)得 x n +1 = .则 x n +1 -3= -3, 2+xn 2+xn 可得 5 = +1,再利用构造法求通项 bn . bn +1 bn 1

[规范解答] 第二步:(1)证明:用数学归纳法证明:2 ≤x n <xn +1 <3. ①当 n=1 时,x1 =2,直线 PQ1 的方程为 y-5= f ?2?-5 (x -4), 2-4

11 令 y=0,解得 x 2 = ,∴2≤x1 <x 2 <3. 4 ②假设当 n=k 时,结论成立,即 2≤x k<x k+1 <3. f ?x k+1 ?-5 直线 PQk+1 的方程为 y-5= (x -4), x k+1 -4 3+4x k+1 令 y=0,解得 x k+2 = . 2+x k+1 则归纳假设知 3+4x k+1 5 5 x k+2 = =4- <4- =3; 2+x k+1 2+x k+1 2+3

?3-x k+1 ??1+x k+1 ? x k+2 -x k+1 = >0, 2+x k+1 即 x k+1 <x k+2 . ∴2≤x k+1 <x k+2 <3,即当 n=k +1 时,结论成立. 由①②知对任意的正整数 n,2≤x n <xn +1 <3. 3+4xn (2)由(1)及题意得 x n +1 = . 2+xn 3+4xn xn -3 ∴xn +1 -3= -3= , 2+xn xn +2 ∴ 则 1 xn +2 5 = = +1, xn +1 -3 xn -3 xn -3 5 1 1 ? 1 1? = +1, + =5? + ? , ?bn 4? bn +1 bn bn +1 4 1

?1 1? 3 数列? + ?是首项为- ,公比为 5 的等比数列. ?bn 4? 4

1 1 3 n -1 4 因此 + =- · 5 ,∴bn =- n -1 . bn 4 4 3· 5 +1 [反思与回顾] 第三步: 本题考查了数列的通项公式, 研究函数与数列相结合 的综合运用, 既考查了直线方程, 又考查了函数解析式, 以及不等式的证明. 试 题比较综合,有一定的难度.做这类试题就是根据已知条件,一步一步的翻译 为代数式,化简得到要找的关系式即可. 高考经典题组训练 1 2 1.(2009· 安徽卷)首项为正数的数列{an }满足 an +1 = (an +3),n∈N +. 4 (1)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n≥2,an 都是奇数; (2)若对一切 n∈N+都有 an +1 >an ,求 a1 的取值范围. (1)证明 若 a1 是奇数, 假设当 n=k 时, ak=2m -1 是奇数, 其中 m 为正整数,
2 ak +3 则当 n=k +1 时,由递推关系得 ak+1 = =m (m-1)+1 是奇数. 4

根据数学归纳法,对任何 n∈N+,an 都是奇数. (2)解 法一 1 由 an +1 -an = (an -1)(an -3)知,an +1 >an 当且仅当 an <1 或 an >3 4

时成立.

1+3 另一方面,若 0<ak<1,则 0<ak+1 < =1; 4 32 +3 若 ak>3,则 ak+1 > =3. 4 根据数学归纳法,对一切 n∈N+,0<a1 <1?0<an <1;a1 >3?an >3. 综上所述,对一切 n∈N +都有 an +1 >an 的充要条件是 a1 ∈{a1 |0<a1 <1 或 a1 >3}. 法二
2 a1 +3 由 a2 = >a1 ,得 a2 1-4a1 +3>0, 4

于是 0<a1 <1 或 a1 >3.
2 a2 ?an +an -1 ??an -an -1 ? n +3 an -1+3 an +1 -an = - = . 4 4 4

a2 n +3 ∵a1 >0,an +1 = , 4 ∴所有的 an 均大于 0,因此 an +1 -an 与 an -an -1 同号. 根据数学归纳法,对一切 n∈N+,an +1 -an 与 a2 -a1 同号. 因此,对一切 n∈N+都有 an +1 >an 的充要条件是 a1 ∈{a1 |0<a1 <1 或 a1 >3}. 1 1 2.(2009· 陕西卷)已知数列{x n }满足 x1 = ,xn +1 = ,n∈N* . 2 1+xn (1)猜想数列{x 2 n }的单调性,并证明你的结论; 1?2?n -1 ? . (2)证明:|x n +1 -xn |≤ ? 6?5? (1)解 1 1 2 5 13 由 x 1 = 及 x n +1 = 得 x2 = ,x 4 = ,x6 = . 2 1+xn 3 8 21

由 x2 >x4 >x6 猜想:数列{x2 n}是递减数列. 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,已证命题成立. ②假设当 n=k 时命题成立,即 x 2k>x2 k+2 ,易知 xn >0, 1 1 x2 k+3 -x2 k+1 那么 x2 k+2 -x2 k+4 = - = 1+x2 k+1 1+x2 k+3 ?1+x 2 k+1 ??1+x2 k+3 ? = x2 k-x 2k+2 >0, ?1+x 2 k??1+x 2k+1 ??1+x 2 k+2 ??1+x2 k+3 ?

即 x2(k+1)>x2(k+1)+2 . 也就是说,当 n=k +1 时命题也成立.结合①和②知,命题成立.

(2)证明

1 当 n=1 时,|x n +1 -xn |=|x2 -x1 |= ,结论成立; 6

1 1 当 n≥2 时,易知 0<x n -1 <1,∴1+xn -1 <2,xn = > , 1+xn -1 2 1 ? 5 ? ∴(1+x n )(1+xn -1 )=?1+ ? (1+xn -1 )=2+xn -1 ≥ , ? 1+xn -1? 2 1 ? |x n -xn -1 | 2 ? 1 ?2? ∴ |xn +1 -xn | =? - ?= ≤ |xn -xn - 1 |≤? ? 2 |xn -1 -xn - ?5? ?1+xn 1+xn -1? ?1+x n ??1+xn -1 ? 5
2 |≤?≤?

1?2? ?2?n -1 ? |x2 -x1 |= ? ?n -1 . ?5? 6?5?

对应学生 用书P385

分层训练 A 级 (时间:30 分钟 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

基础达标演练 满分:60 分)

1.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,x n +yn 能被 x +y 整除”,在进行 第二步证明时,给出四种证法. ①假设 n=k (k ∈N+),证明 n=k +1 命题成立; ②假设 n=k (k 是正奇数),证明 n=k +1 命题成立; ③假设 n=2k +1(k ∈N+),证明 n=k +1 命题成立; ④假设 n=k (k 是正奇数),证明 n=k +2 命题成立. 正确证法的序号是________. 解析 答案 ①②③中,k +1 不一定表示奇数,只有④中 k 为奇数,k +2 为奇数. ④

2.用数学归纳证明:对任意的 n∈N*,34n +2 +52n +1 能被 14 整除的过程中,当 n =k +1 时,34(k+1)+2 +52(k+1)+1 可变形为________. 答案 34 (34 k 2 +52 k 1 )-52 k 1 ×56
+ + +

3.(2010· 寿光一中模拟)若存在正整数 m,使得 f (n)=(2n-7)3n +9(n∈N* )能被 m 整除,则 m=________. 解析 答案 f (1)=-6,f (2)=-18,f (3)=-18,猜想:m=-6. 6

4.用数学归纳法证明“n3 +(n+1)3 +(n+2)3 (n∈N * )能被 9 整除”,要利用归纳 假设证 n=k +1 时的情况,只需展开的式子是________. 解析 假设当 n=k 时, 原式能被 9 整除, 即 k3 +(k +1)3 +(k +2)3 能被 9 整除.

当 n=k +1 时,(k +1)3 +(k +2)3 +(k +3)3 为了能用上面的归纳假设,只需将(k +3)3 展开,让其出现 k3 即可. 答案 (k +3)3

n4 +n2 5.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2 = ,则当 n=k +1 时左端应在 n=k 2 的基础上加上________. 解析 ∵当 n=k 时,左侧=1+2+3+?+k 2 ,

当 n=k +1 时,

左侧=1+2+3+?+k 2 +(k2 +1)+?+(k +1)2 , ∴当 n=k +1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k2 +1)+(k 2 +2)+(k 2 +3)+? +(k +1)2 . 答案 (k 2 +1)+(k2 +2)+(k2 +3)+?+(k +1)2

6.若 f (n)=12 +22 +32 +?+(2n)2 ,则 f (k +1)与 f (k )的递推关系式是________. 解析 ∵f (k )=12 +22 +?+(2k )2 ,

∴f (k +1)=12 +22 +?+(2k )2 +(2k +1)2 +(2k +2)2 ; ∴f (k +1)=f (k )+(2k +1)2 +(2k +2)2 . 答案 f (k +1)=f (k )+(2k +1)2 +(2k +2)2

二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 1 2an 7.(2012· 苏中三市调研)已知数列{an }满足:a1 = ,an +1 = (n∈N * ). 2 an +1 (1)求 a2 ,a3 的值; (2)证明:不等式 0<an <an +1 对于任意的 n∈N* 都成立. (1)解 (2)证明 2 4 由题意,得 a2 = ,a3 = . 3 5 ①当 n=1 时,由(1),知 0<a1 <a2 ,即不等式成立.

②设当 n=k (k ∈N* )时,0<ak<ak+1 成立, 则当 n=k +1 时,由归纳假设,知 ak+1 >0. 2ak+1 2ak 而 ak+2 -ak+1 = - ak+1 +1 ak+1 = = 2ak+1 ?ak+1?-2ak?ak+1 +1? ?ak+1 +1??ak+1? 2?ak+1 -ak? >0, ?ak+1 +1??ak+1?

∴0<ak+1 <ak+2 ,即当 n=k +1 时,不等式成立. 由①②,得不等式 0<an <an +1 对于任意 n∈N* 成立.
2 8.(2011· 盐城调研)已知数列 {an }满足 an +1 =-an +pan (p∈R),且 a1 ∈(0,2),试

猜想 p 的最小值,使得 an ∈(0,2)对 n∈N* 恒成立,并给出证明. 证明
2 当 n=1 时,a2 =-a1 +pa1 =a1 (-a1 +p).

因为 a1 ∈(0,2),所以欲使 a2 ∈(0,2)恒成立,

p>a1 , ? ? 则要? 2 恒成立,解得 2≤p≤2 2 , p<a1 + ? ? a1 由此猜想 p 的最小值为 2. 因为 p≥2,所以要证该猜想成立, 只要证:当 p=2 时,an ∈(0,2)对 n∈N* 恒成立. 现用数学归纳法证明: ①当 n=1 时结论显然成立; ②假设当 n=k 时结论成立,即 ak∈(0,2),
2 则当 n=k +1 时,ak+1 =-ak +2ak=ak(2-ak),

一方面,ak+1 =ak(2-ak)>0 成立, 另一方面,ak+1 =ak(2-ak)=-(ak-1)2 +1≤1<2, 所以 ak+1 ∈(0,2),即当 n=k +1 时结论也成立. 由①②可知,猜想成立,即 p 的最小值为 2.

分层训练 B 级

创新能力提升

1 1 1 127 1.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n -1> (n∈N* )成立,其初始值至 2 4 2 64 少应取________. 解析 ?1? ?n 1-? ?2? 1 1 1 1 右边=1+ + +?+ n -1= =2- n -1,代入验证可知 n 的最小 2 4 2 1 2 1- 2

值是 8. 答案 8

1 1 1 1 1 1 1 1 2.用数学归纳法证明 1- + - +?+ - = + + ,则当 n 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n =k +1 时,左端应在 n=k 的基础上加上________. 解析 1 1 1 1 1 ∵当 n=k 时,左侧=1- + - +?+ - 当 n=k +1 时, 2 3 4 2k -1 2k

1 1 1 1 1 1 1 左侧=1- + - +?+ - + - . 2 3 4 2k -1 2k 2k +1 2k +2 答案 1 1 - 2k +1 2k +2

1 3.在数列{an }中,a1 = 且 Sn =n(2n-1)an ,通过计算 a2 ,a3 ,a4 ,猜想 an 的表 3 达式是________. 解析 1 1 当 n=2 时,a1 +a2 =6a2 ,即 a2 = a1 = ; 5 15

当 n=3 时,a1 +a2 +a3 =15a3 , 1 1 即 a3 = (a1 +a2 )= ; 14 35 当 n=4 时,a1 +a2 +a3 +a4 =28a4 , 1 1 即 a4 = (a1 +a2 +a3 )= . 27 63 1 1 1 1 1 1 1 ∴a1 = = ,a2 = = ,a3 = = ,a4 = , 3 1×3 15 3×5 35 5×7 7×9 1 故猜想 an = . ?2n-1??2n+1? 答案 1 an = ?2n-1??2n+1?

4.已知 Sn =12 -22 +32 -42 +?+(-1)n -1 · n2 ,当 n 分别取 1,2,3,4 时的值依次为 ________,所以猜想原式=________. 解析
- 1×?1+1? 当 n=1 时,S1 =12 =1=(-1)1 1 · 2

2×?2+1? 当 n=2 时,S2 =12 -22 =-3=(-1)2 -1 · 2 3×?3+1? 当 n=3 时,S3 =12 -22 +32 =6=(-1)3 -1 · 2
- 4×?4+1? 当 n=4 时,S4 =12 -22 +32 -42 =-10=(-1)4 1 · 2

n?n+1? ∴猜想 Sn =(-1)n -1 · . 2 答案 1,-3,6,-10 n?n+1? (-1)n -1 · 2

1 5.(2010· 全国卷)在数列{an }中,a1 =1,an +1 =c- . an 5 1 (1)设 c= ,bn = ,求数列{bn }的通项公式; 2 an -2 (2)求使不等式 an <an +1 <3 成立的 c 的取值范围. 解 5 1 an -2 (1)an +1 -2= - -2= , 2 an 2an

1 2an 4 = = +2,即 bn +1 =4bn +2. an +1 -2 an -2 an -2 2 2? ? bn +1 + =4? bn + ? ,又 a1 =1, ? 3 3? 1 故 b1 = =-1, a1 -2
? 2? 1 所以?bn + ?是首项为- ,公比为 4 的等比数列, ? 3? 3

2 1 4n -1 2 n -1 bn + =- ×4 ,bn =- - . 3 3 3 3 (2)a1 =1,a2 =c-1,由 a2 >a1 ,得 c>2. 用数学归纳法证明:当 c>2 时,an <an +1 . 1 ①当 n=1 时,a2 =c- >a1 ,命题成立; a1 ②设当 n=k 时,ak<ak+1 , 1 1 则当 n=k +1 时,ak+2 =c- >c- =ak+1 . ak+1 ak 故由①②知当 c>2 时,an <an +1 . 1 1 当 c>2 时,因为 c=an +1 + >an + , an an 所以 a2 n-can +1<0 有解, 所以 c- c2 -4 c+ c2 -4 c+ c2 -4 <an < ,令 α= , 2 2 2 10 时,an <α≤3. 3

当 2<c≤ 当 c>

10 1 1 1 时,α>3,且 1≤an <α,于是 α-an +1 = (α-an )< (α-an )< 2(α 3 an α 3 3

1 -an -1 )<?< n(α-1). 3 1 所以 α-an +1 < n(α-1), 3 当 n>log3 因此 c> α-1 时,α-an +1 <α-3,an +1 >3,与已知矛盾. α-3

10 不符合要求. 3

? 10? ? 所以 c 的取值范围是? ?2, 3 ?.
2 6.(2012· 扬州中学最后冲刺)已知在正项数列 {an }中,对于一切的 n∈N* 均有 an

≤an -an +1 成立. (1)证明:数列{an }中的任意一项都小于 1; 1 (2)探究 an 与 的大小,并证明你的结论. n (1)证明
2 由 a2 n≤an -an +1 ,得 an +1 ≤an -an.

因为在数列{an }中,an >0, 所以 an +1 >0.所以 an -a2 n>0.所以 0<an <1. 故数列{an }中的任意一项都小于 1. (2)解 1 由(1)知 0<an <1= , 1

1? 2 1 1 1 ? 那么 a2 ≤a1 -a2 1=-?a1 - ? + ≤ < , ? 2? 4 4 2 1 由此猜想:an < (n≥2),下面用数学归纳法证明: n ①当 n=2 时,显然成立; 1 1 ②当 n=k 时(k ≥2,k ∈N)时,假设猜想正确,即 ak< ≤ , k 2 1? 2 1 ? ?1 1 ? 2 1 1 1 k -1 k -1 那么 ak + 1 ≤ak - a2 = k=- ?ak- ? + <- ? - ? + = - 2 = 2 < 2 ? ?k 2 ? 4 k k 2? 4 k k -1 1 , k +1 故当 n=k +1 时,猜想也正确. 1 综上所述,对于一切 n∈N* ,都有 an < . n


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