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高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系(1)学案 新人教A版必修4

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2016 高中数学 1.2.2 同角三角函数的基本关系(1)学案 新人教 A 版 必修 4 【学习要求】 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值和 计算. 【学法指导】 1.推导和牢记同角三角函数间的基本关系是进行三角函数式恒等变形的基础和前提. sin α 2 2 2.要注意公式 sin α +cos α =1 及 tan α = 的直接使用,公式逆用,公式变形用.利 cos α 2 2 用平方关系 sin α +cos α =1 求值时,要注意符号的选择. 3.已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同 角三角函数关系式的一个最基本功能.在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边 所在的象限,有时由于角的象限不确定,因此解的情况不止一种. 1.任意角三角函数的定义 2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: . (2)商数关系: . 3.同角三角函数基本关系式的变形 2 2 (1)sin α +cos α =1 的变形公式: 2 2 sin α = ;cos α = ; sin α (2)tan α = 的变形公式: cos α sin α = ;cos α = . 如图所示,以任意角 α 的顶点 O 为坐标原 点,以角 α 的始边的方向作为 x 轴的正方 向,建立直角坐标系.设 P(x,y)是任意角 α 终边上不同于坐标原点的任意一点. 2 2 其中,r=OP= x +y >0. 则 sin α =___,cos α =___,tan α =___. 探究点一 利用任意角三角函数的概念推导平方关系和商数关系 问题 1 利用任意角的三角函数的定义证明同角三角函数的平方关系和商数关系. 答 设点 P(x,y)为 α 终边上任意一点,P 与 O 不重合.P 到原点的距离为 r= x +y >0,则 2 2 sin α = ,cos α = ,tan α = . y r x r y x y y 2 x 2 y +x sin α r y 2 2 于是 sin α +cos α =( ) +( ) = 2 =1, = = =tan α . r r r cos α x x r 2 2 sin α 2 2 即 sin α +cos α =1,tan α = . cos α sin α 2 2 问题 2 平方关系 sin α +cos α =1 与商数关系 tan α = 成立的条件是怎样的? cos α 答 平方关系 sin α +cos α =1 对一切 α ∈R 恒成立; 2 2 sin α 商数关系 tan α = 中 α 是使 tan α 有意义的值, cos α π 即 α ≠kπ + ,k∈Z. 2 探究点二 已知一个角的三角函数值求其余两个三角函数值 2 2 已知某角的一个三角函数值,再利用 sin α +cos α =1 求它的其余三角函数值时,要注 意角所在的象限,恰当选取开方后根号前面的正负号,一般有以下三种情况: 类型 1:如果已知三角函数值,且角的象限已知,那么只有一组解. 3 例如:已知 sin α = ,且 α 是第二象限角,则 5 cos α =_____,tan α =_____. 答 sin θ ∵ =tan θ =- 3.∴sin θ =- 3cos θ . cos θ 2 2 ?sin θ +cos θ =1 由? ?sin θ =- 3cos θ 1 2 2 .∴4cos θ =1,

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