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高中数学必修4三角函数常考题型:正切函数的性质与图像

时间:2018-07-01

正切函数的性质与图像
【知识梳理】
1.正切函数的性质 函 数 定 义域 函 数 值域 周期 奇偶性 单调性 2.正切函数的图像 (1)正切函数的图像: y=tan x π ? ? ? ?x x≠kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ? y=tan x (-∞,+∞) T=π 奇函数 π π? 在每个开区间? ?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)上都是增函数

(2)正切函数的图像叫做正切曲线. (3)正切函数的图像特征: π 正切曲线是被相互平行的直线 x= +kπ,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的. 2

【常考题型】 题型一、正切函数的定义域、值域问题
【例 1】 求下列函数的定义域和值域: π? (1)y=tan? ?x+4?;(2)y= [解] 3-tan x.

π π (1)由 x+ ≠kπ+ (k∈Z)得, 4 2

π x≠kπ+ ,k∈Z, 4

π? π 所以函数 y=tan? ?x+4?的定义域为 xx≠kπ+4,k∈Z,其值域为(-∞,+∞). (2)由 3-tan x≥0 得,tan x≤ 3. π π - , ?上, 结合 y=tan x 的图像可知,在? ? 2 2? π π 满足 tan x≤ 3的角 x 应满足- <x≤ , 2 3 所以函数 y= 3-tan x的定义域为

π π ? ? ? ?x kπ- <x≤kπ+ ,k∈Z? ,其值域为[0,+∞). 2 3 ? ? ? 【类题通法】 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函 π 数 y=tan x 有意义, 即 x≠ +kπ, k∈Z.而对于构建的三角不等式, 常利用三角函数的图像求解. 解 2 形如 tan x>a 的不等式的步骤:

【对点训练】 求函数 y= 1 的定义域. 1+tan x

解:要使函数有意义,则有 1+tan x≠0, π π ∴tan x≠-1,∴x≠kπ- 且 x≠kπ+ ,k∈Z. 4 2 因此,函数 y= 1 的定义域为 1+tan x

π π ? ? ? ?x x≠kπ- 且x≠kπ+ ,k∈Z? . 4 2 ? ? ?

题型二、正切函数的单调性及应用
1 π? 【例 2】 (1)求函数 y=tan? ?2x-4?的单调区间; 13π? ? 12π? (2)比较 tan? ?- 4 ?与 tan?- 5 ?的大小.

[解]

π 1 π π (1)由 kπ- < x- <kπ+ (k∈Z)得, 2 2 4 2

π 3π 2kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z, 2 2 1 π? π 3π? ? 所以函数 y=tan? ?2x-4?的单调递增区间是?2kπ-2,2kπ+ 2 ?(k∈Z). 13π? 3π? 12π? 2π? 3π π 2π ? ? (2)由于 tan? tan? ?- 4 ?=tan?-4π+ 4 ?=tan 4 =-tan4, ?- 5 ?=-tan?2π+ 5 ?=-tan 5 , π 2π π 又 0< < < , 4 5 2 π? 而 y=tan x 在? ?0,2?上单调递增, π 2π π 2π 所以 tan <tan ,-tan >-tan , 4 5 4 5 13π? ? 12π? 即 tan? ?- 4 ?>tan?- 5 ?. 【类题通法】 1.求函数 y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ 都是常数)的单调区间的方法 (1)若 ω>0,由于 y=tan x 在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想, π π 令 kπ- <ωx+φ<kπ+ ,求得 x 的范围即可. 2 2 (2)若 ω<0, 可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+φ)转化为 y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx -φ),即把 x 的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的范围即可. 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 【对点训练】 1.比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小. 解:因为 tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π). π π 又因为 <2<π,所以- <2-π<0. 2 2 π π 因为 <3<π,所以- <3-π<0. 2 2 π π 显然- <2-π<3-π<1< , 2 2 π π - , ?内是增函数, 又 y=tan x 在? ? 2 2?

所以 tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1, 即 tan 2<tan 3<tan 1. π ? 2.求函数 y=3tan? ?4-2x?的单调区间. π π? ? ? 解:y=3tan? ?4-2x?=-3tan?2x-4?, π π π 由- +kπ<2x- < +kπ 得, 2 4 2 π k 3π k - + π<x< + π(k∈Z), 8 2 8 2 π ? 所以 y=3tan? ?4-2x?的单调递减区间为

?-π+kπ,3π+kπ?(k∈Z). 8 2 ? ? 8 2 题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
π? 【例 3】 (1)求 f(x)=tan? ?2x+3?的周期; (2)判断 y=sin x+tan x 的奇偶性. [解] π π 2x+ +π?=tan?2x+ ?, (1)∵tan? 3 ? 3? ? ?

π π π x+ ?+ ?=tan?2x+ ?, 即 tan?2? 3? ? ? ? 2? 3? π π 2x+ ?的周期是 . ∴f(x)=tan? 3? ? 2
? ? π ? (2)定义域为?x? ?x≠kπ+2,k∈Z ,关于原点对称, ? ?

∵f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x), ∴它是奇函数. 【类题通法】 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 π (1)一般地,函数 y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为 T= ,常常利用此公式来求周期. |ω| (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函 数无奇偶性,若对称,再判断 f(-x)与 f(x)的关系. 【对点训练】 关于 x 的函数 f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:

π ? ①对任意的 φ,f(x)都是非奇非偶函数;②f(x)的图像关于? ?2-φ,0?对称;③f(x)的图像关于 (π-φ,0)对称;④f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数. 其中不正确的说法的序号是________. 解析:①若取 φ=kπ(k∈Z),则 f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所以①错;观察正切函数 kπ ? kπ kπ ,0 (k∈Z)对称,令 x+φ= 得 x= -φ,分别令 k= y=tan x 的图像,可知 y=tan x 关于? 2 ? ? 2 2 1,2 知②、③正确,④显然正确. 答案:①

【练习反馈】
π ? 1.函数 y=tan x? ?x≠kπ+2,k∈Z?的单调性为( A.在整个定义域上为增函数 B.在整个定义域上为减函数 π π ? C.在每一个开区间? ?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)上为增函数 π π ? D.在每一个开区间? ?-2+2kπ,2+2kπ?(k∈Z)上为增函数 解析:选 C 由正切函数的图像可知选项 C 正确. 2.函数 y=tan(cos x)的值域是( π π - , ? A.? ? 4 4? C.[-tan 1,tan 1] ) B.?- )

?

2 2? , 2 2?

D.以上均不对

解析: 选 C ∵-1≤cos x≤1, 且函数 y=tan x 在[-1,1]上为增函数, ∴tan(-1)≤tan x≤tan 1. 即-tan 1≤tan x≤tan 1. x? 3.函数 y=5tan? ?-2?的最小正周期是________. 解析:T= π

?-1? ? 2?

=2π.

答案:2π π π 4.函数 y=3tan(π+x),- <x≤ 的值域为________. 4 6 π π? 解析:函数 y=3tan(π+x)=3tan x,因为正切函数在? ?-2,2?上是增函数,所以-3<y≤ 3,

所以值域为(-3, 3]. 答案:(-3, 3 ] 1 π? 5.求函数 y=tan ? ?2x-6?的定义域、周期及单调区间. 1 π π 解:由 x- ≠ +kπ,k∈Z, 2 6 2 4π 得 x≠ +2kπ,k∈Z, 3 1 π? 所以函数 y=tan ? ?2x-6?的定义域为
? ? ? 4π ?x x≠ +2kπ,k∈Z ?. 3 ? ? ?

1 π? π x- T= =2π,所以函数 y=tan ? 2 6?的周期为 2π. ? 1 2 π 1 π π 由- +kπ< x- < +kπ,k∈Z,得 2 2 6 2 - 2π 4π +2kπ<x< +2kπ,k∈Z. 3 3

1 π? 所以函数 y=tan ? ?2x-6?的单调递增区间为

?-2π+2kπ,4π+2kπ?(k∈Z). 3 ? 3 ?


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