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二元一次不等式组与平面区域

时间:2011-04-09



二元一次不等式表示平面区域

复 习

在平面直角坐标系中, 点

的集合{(x,y)|x-y+1=0}表示 什么图形?

y

左上方 x-y+1<0
1

x-y+1=0

-1

o

(0,0)

x

0+0+1=1>0

右下方 x-y+1>0

问题:一般地,如何画不等式 AX+BY+C>0表示的平面区域?

步骤:
(1)画直线Ax+By+C=0 (2)在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0,y0) ,从Ax0+By0+C的正负可以判断出 Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

一般在C≠0时,取原点作为特殊点。

例1:画出不等式
2x+y-6<0
表示的平面区域。 解:
将直线2X+y-6=0画成虚线 将(0,0)代入2X+y-6

y
6

o
2x+y-6<0

3

x

得0+0-6=-6<0

2x+y-6=0

原点所在一侧为 2x+y-6<0表示平面区域

平面区域的确定常采 用“直线定界,特殊 点定域”的方法。

小结:
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角 坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所 有点组成的平面区域。 确定步骤: 直线定界,特殊点定域; 若C≠0,则直线定界,原点定域;

应该注意的几个问题:
1、若不等式中不含0,则边界应画成虚线,

否则应画成实线。

2、画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

练习1:
画出下列不等式表示的平面区域:
(1)2x+3y-6>0 (2)4x-3y≤12
Y Y

2
O

3

X

O

3 -4

X

(1)

(2)


二元一次不等式组表示平面区域
二元一次不等式组

表示平面区域

例2:画出不等式组

表示的平面区域

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

Y

x+y=0
5

解:

-5 O

0-0+5>0

X

1+0>0

x-y+5=0
x=3

注:不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。

例2:画出不等式组

表示的平面区域

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

Y

x+y=0
5

解:

-5 O

0-0+5>0

X

1+0>0

x-y+5=0
x=3

注:不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。

练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域
Y

?y ? x ? ?x ? 2 y ? 4 ? y ? ?2 ?

2

(1)

o
-2

4
x

?x ? 3 ?2 y ? x ? ? ?3 x ? 2 y ? 6 ?3 y ? x ? 9 ?

(2)

练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域
Y

?y ? x ? ?x ? 2 y ? 4 ? y ? ?2 ?

2

(1)

o
-2

4
x

?x ? 3 ?2 y ? x ? ? ?3 x ? 2 y ? 6 ?3 y ? x ? 9 ?

Y

3

(2)
O 2 3 X

练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域
Y

?y ? x ? ?x ? 2 y ? 4 ? y ? ?2 ?

2

(1)

o
-2

4
x

?x ? 3 ?2 y ? x ? ? ?3 x ? 2 y ? 6 ?3 y ? x ? 9 ?

Y

3

(2)
O 2 3 X


二元一次不等式组表示平面区域
二元一次不等式组

表示平面区域

求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。

解:此平面区域在x-y=0的右下方, x-y≥0
Y

x-y=0

它又在x+2y-4=0的左下方, x+2y-4≤0 它还在y+2=0的上方, y+2≥0

x+2y-4=0 o

2
4

则用不等式可表示为:
x

-2 y+2=0

?x ? y ? 0 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?y ? 2 ? 0 ?


线性规划问题
提出问题 把上面两个问题综合起来:

设z=2x+y,求满足

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

时,求z的最大值和最小值.

线性规划有关概念
由x,y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x, y 的约束条件。关于x,y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x,y 的线性约束条件。欲达到 最大值或最小值所涉及的变量x,y 的解析式称为 目标函数。关于x,y 的一次目标函数称为线性目 标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值问题称为线性规划问题。满足线性 约束条件的解(x,y)称为可行解。所有可行解 组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值 或最小值的可行解称为最优解。

线性目 标函数

线性约 束条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 最优解 ? 任何一个满足
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的

不等式组的 (x,y) 可行解

可行域

目标函数特征
在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
2x+y=4 2x+y=0

结论 : 形如2 x ? y ? Z ( Z ? 0) 的直线与2 x ? y ? 0平行.

o
2x+y=7 2x+y=1

x

2x+y=-3

目标函数Z ? ax ? by ? c( Z ? 0) 1 当b ? 0时,0 ? ax ? by ? c向上平移时, Z随之增大, 、 向下平移时, Z随之减少, 2、 当b ? 0时,0 ? ax ? by ? c向上平移时, Z随之减少, 向下平移时, Z随之增大, Y

o

x

Z ? ax ? by ? c(Z ? 0)

目标函数Z ? ax ? by ? c( Z ? 0) 1 当b ? 0时,0 ? ax ? by ? c向上平移时, Z随之增大, 、 向下平移时, Z随之减少, 2、 当b ? 0时,0 ? ax ? by ? c向上平移时, Z随之减少, 向下平移时, Z随之增大, Y

o

x

Z ? ax ? by ? c(Z ? 0)

目标函数Z ? ax ? by ? c( Z ? 0) 1 当b ? 0时,0 ? ax ? by ? c向上平移时, Z随之增大, 、 向下平移时, Z随之减少, 2、 当b ? 0时,0 ? ax ? by ? c向上平移时, Z随之减少, 向下平移时, Z随之增大, Y

o

x

Z ? ax ? by ? c(Z ? 0)

目标函数Z ? ax ? by ? c( Z ? 0) 1 当b ? 0时,0 ? ax ? by ? c向上平移时, Z随之增大, 、 向下平移时, Z随之减少, 2、 当b ? 0时,0 ? ax ? by ? c向上平移时, Z随之减少, 向下平移时, Z随之增大, Y

o

x

Z ? ax ? by ? c(Z ? 0)

目标函数Z ? ax ? by ? c( Z ? 0) 1 当b ? 0时,0 ? ax ? by ? c向上平移时, Z随之增大, 、 向下平移时, Z随之减少, 2、 当b ? 0时,0 ? ax ? by ? c向上平移时, Z随之减少, 向下平移时, Z随之增大, Y

o

x

Z ? ax ? by ? c(Z ? 0)

例题

(1)已知

?x - y ? 0 ? ?x ? y - 1 ? 0 ?y ? 1 ? 0 ?

求z=2x+y的最大值和最小值。

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

Zmax=2x+y=2x2+(-1)=3

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

?x - y ? 0 ? 1 画出?x ? y - 1 ? 0区域 、 y ?y ? 1 ? 0 ?
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性,

y-x=0

5

4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大(小)值

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

x+y-1=0

Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-3

练习、已知 ?y ? x ? 1 ? ?x - 5y ? 3 ?5x ? 3y ? 15 ? 求z=3x+5y的最大值和最小值。

5x+3y=15 y y=x+1
5

B(3/2,5/2)
1

X-5y=3

O
-1

1 5

x

A(-2,-1)

Z max ? 17; Z min ? ?11

一、引例: 某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t 甲两种产品需要A种原料4t、 B种原料12t, 产生的利润为2万元;生产乙种产品需要A 种原料1t、 B种原料9t,产生的利润为1万 元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t, 如何安排生产才能使利润最大?

在关数据列表如下:
A种原料 B种原料 甲种产品 4 12 利润 2

乙种产品
现有库存

1
10

9
60

1

设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y

?4 x ? y ? 10 ?12 x ? 9 y ? 60 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
利润 P ? 2 x ? y 何时达到最大?


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