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必修2圆的一般方程

时间:2011-02-12


练习 1。点P(5a+1,12a)在圆 。 在圆(x-1)2+y2=1的内部,则a的取值 的内部, 的内部 的取值 在圆 . 范围是

2t 1 ? t 2 , 2.点P( )与圆 2+y2=1的位置关系是 ( ) 与圆x 的位置关系是 点 2 2 与圆 1+ t 1+ t
A 在圆内 B在圆外 C 在圆上 D与t有关 与 有关

3.已知直线 1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0 已知直线l 已知直线 , 求证:对于m∈ 的交点P在一个定圆上 求证:对于 ∈R,l1,l2的交点 在一个定圆上

知识回顾:
(1) 圆的 标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 标准方程: 特征:直接看出圆心与 特征:直接看出圆心与半径 圆心
指出下面圆的圆心和半径:

(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)

展开, 标准方程( 把圆的 标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开,得

x + y 2 ? 2ax ? 2by + a 2 + b2 ? r 2 = 0
2

由于a,b,r均为常数 均为常数 由于

令 ? 2a = D , ? 2b = E , a + b ? r = F
2 2 2

结论:任何一个圆方程可以写成下面形式: 结论:任何一个圆方程可以写成下面形式:

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 + + =

结论:任何一个圆方程可以写成下面形式: 结论:任何一个圆方程可以写成下面形式:

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 + + = 问:是不是任何一个形如
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 方程表示 + + = 的曲线是圆呢? 的曲线是圆呢? 请举例

把方程: 把方程:x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 + + = D 2 E 2 D2 + E 2 ? 4 F 配方可得: 配方可得: ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4

(1)当D2+E2-4F>0时,表示以( ? ) 时 表示以( 为圆心, 为圆心,以(
1 D2 + E2 ?4F 2

D E ,? ) 2 2

) 为半径的圆

(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解 ) 时 方程只有一组解X=-D/2
D E y=-E/2,表示一个点( ? 2 ,? 2 ) ,表示一个点(

(3)当D2+E2-4F<0时,方程(1)无实数解,所以 ) < 时 )无实数解, 不表示任何图形。 不表示任何图形。

所以形如x Dx+Ey+ 4F>0) 所以形如x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 可表示圆的方程

圆的一般方程: 圆的一般方程:
x2 +y
2+Dx+Ey+F=0 + + =

4F>0) (D2+E2-4F>0)

圆的一般方程与标准方程的关系: 圆的一般方程与标准方程的关系: 一般方程 的关系

1 2 2 D + E ?4F (1)a=-D/2,b=-E/2,r= ) , , 2 易于看出圆心 (2)标准方程易于看出圆心与半径 )标准方程易于看出圆心与

一般方程突出形式上的特点: 一般方程突出形式上的特点: 突出形式上的特点
x2与y2系数相同并且不等于 ; 系数相同并且不等于0; 没有xy这样的二次项 没有 这样的二次项

练习: 判断下列方程能否表示圆的方程, 练习: 判断下列方程能否表示圆的方程 若能写出圆心与半径 圆心( 半径3 (1)x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心(1,-2)半径3 )
圆心( (2)2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心(3,-1)半径 10 )

(3)x2+2y2-6x+4y-1=0 )

不是

(4)x2+y2-12x+6y+50=0 不是 ) (5)x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是 )

圆的一般方程: 圆的一般方程:x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 + + = 4F>0) (D2+E2-4F>0) 二元二次方程: 二元二次方程:A x2 +Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0 + + + = 的关系:
1、A = C ≠ 0 、 2、B=0 、 3、 、

D2+E2-4AF>0 >

}

二元二次方程 表示圆的一般方程

9. [简单的思考与应用] (1)已知圆

2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x
( B ) ? 4,6,3 (C ) ? 4,6,?3

的圆心坐标为

(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于

(D ) ( D)4,?6,?3

( A)4,?6,3
(2)

2 + y 2 ? 2ax ? y + a = 0 x

是圆的方程的充要条件是

1 1 1 ( A)a < ( B)a > (C )a = 2 2 2 (3)圆 x2 + y 2 + 8x ?10y + F = 0 与 x
轴所得的弦长是

1 ( D)a ≠ 2

D
y

轴相切,则这个圆截

( A)6

(B )5

(C )4

A ( D )3

(4)点

A(3,5) 是圆

2+ y2?4x ?8y ?80= 0 x

的一条弦的中点,

则这条弦所在的直线方程是

x + y ?8 = 0

圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较

(1)若已知条件涉及圆心和半径 我们一般采用 若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用 若已知条件涉及圆心和半径 圆的标准方程较简单. 圆的标准方程较简单 练习: 练习: 求过点A(5,?1), 圆心为(8,?3)的圆的方程.

设圆的方程为( x ? 8) + ( y + 3) = r
2 2

2

把点(5,?1)代入得r = 13,
2

( x ? 8) + ( y + 3) = 13
2 2

故圆的方程为x + y ? 6 x ? 8 y = 0
2 2

圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较

(2).若已知三点求圆的方程 我们常采用圆的一 若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一 若已知三点求圆的方程 般方程用待定系数法求解. 般方程用待定系数法求解 求过三点A(0,0), B(6,0), C (0,8)的圆的方程. 练习: 练习:

设圆的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2

把点A,B,C的坐标代入得方程组 把点 , , 的坐标代入得方程组

6 + 6D + F = 0 2 8 + 8E + F = 0
2

F =0

D = ?6, E = ?8.

所求圆的方程为: 所求圆的方程为:

2 + y2 ? 6x ?8y = 0 x

经验积累: 经验积累:
注:用待定系数法求圆的方程的步骤: 用待定系数法求圆的方程的步骤: 1.根据题意设出所求圆的方程为标准式或 一般式。 一般式。 2.根据条件列出关于a,b,c或D,E, 根据条件列出关于a,b,c或 a,b,c F的方程。 的方程。 3.解方程组,求出a,b,c或D,E, 解方程组,求出a,b,c或 a,b,c F的值,代入方程,就得到要求的方程. 的值,代入方程,就得到要求的方程.
变题: 的三个顶点坐标为A(-1,5)、 变题:△ABC的三个顶点坐标为 的三个顶点坐标为 、 B(-2,-2)、C(5,5),求其外接圆的方程。 、 ,求其外接圆的方程。

例2:已知一曲线是与两定点 :已知一曲线是与两定点O(0,0)、P(3,0) 、 距离的比为1/2的点的轨迹 求此曲线的方程, 的点的轨迹, 距离的比为 的点的轨迹,求此曲线的方程, 并画出曲线。 并画出曲线。 取不同的非零实数时, 例3、当a取不同的非零实数时,由方程 、 取不同的非零实数时

x + y ?2ax ?2 3ay +3a = 0
2 2 2

可以得到不同的圆: 可以得到不同的圆: (1)这些圆的圆心是否都在某一条直线上? )这些圆的圆心是否都在某一条直线上? (2)这些圆是否有公切线?(留后) )这些圆是否有公切线? 留后)

例2:已知一曲线是与两个定点O(0,0), 已知一曲线是与两个定点O(0,0), O(0

1 A(3,0)距离的比为 的点的轨迹, A(3,0)距离的比为 的点的轨迹, 2
求此曲线的方程,并画出曲线。 求此曲线的方程,并画出曲线。
y

直译法
M(x,y)

.

(-1,0) O

.

.
A(3,0)

x

x + y + 2x ? 3 = 0
2 2

知a、b、r 、 、 (x-a)2+(y-b)2=r2 配 圆的方程 方 展 开

X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F 、 、

D2+E2 -4F>0

例题巩固: 例题巩固:
表示圆时, 例1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时, 方程 表示圆时 m的取值范围是( 的取值范围是( 的取值范围是 )
1 A. < m<1 B. m >1 4
C.m < 1 1 D. m< 或m >1 4 4

10. [课堂小结] (1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
? 2 + y 2 + Dx + Ey + F ? x ? ? D 2 + E 2 ? 4 F > 0 ? = 0

(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 ???→ 标准方程(圆心,半径) 一般方程 ←??? 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解) (4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: 我们一般采用圆的标准方程较简单. ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单 若知道或涉及圆心和半径 我们一般采用圆的标准方程较简单 ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 若已知三点求圆的方程 我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解. 法求解

本节课用的数学方法和数学思想方法: ①数学方法: 配方法 (求圆心和半径 数学方法 求圆心和半径). 求圆心和半径 ②数学思想方法: 数学思想方法 (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 ⅰ (原则是不重复 不遗漏 原则是不重复,不遗漏 原则是不重复 不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法 ⅱ 方程的思想 待定系数法) 待定系数法 (ⅲ)数形结合的思想 ⅲ 数形结合的思想

1.若实数 满足等式 若实数x,y满足等式 若实数 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 ,

y 的最大值 x

2.已知 已知P(2,0),Q(8,0),点M到点 的距离是它到点 的距离 到点P的距离是它到点 已知 , 到点 的距离是它到点Q的距离 的轨迹方程, 的1/5,求M的轨迹方程,并求轨迹上的点到直线 , 的轨迹方程 并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0 的最小距离 3.已知 已知P(x,y)为圆 2+y2-6x-4y+12=0上的点 为圆x 已知 为圆 上的点 (1)求 y 的最小值 求 x (2)求x2+y2的最大值与最小值 求 4.已知圆 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问:是否存在斜率为 的直线 已知圆 问 是否存在斜率为1的直线 被圆C截得得弦 为直径的圆过原点, 使l被圆 截得得弦 为直径的圆过原点,若存在,写出 被圆 截得得弦AB为直径的圆过原点 若存在, 直线方程


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