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第81课时:第九章 直线、平面、简单几何体——棱柱、棱锥

时间:2010-05-22


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课题:棱柱、棱锥 一.复习目标: 了解棱柱和棱锥的概念,周围棱柱、正棱锥的有关性质,能进行有关角和距离的 运算。 二.知识要点: 1. 2.正棱柱的性质有 3. 4.正棱锥的性质有
P ? {四棱柱}, Q ? {平行六面体}, R ? {长方体}, M ? {正方体}, N ? {正四棱

叫棱柱 叫正棱锥

柱}, S ? {直平行六面体},这六个集合之间的关系是 三.课前预习: 1.给出下列命题: ①底面是正多边形的棱锥是正棱锥; ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥; ③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥; ④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥, 其中正确命题的个数是( A )
( A) 0 (B) 1 (C ) 2 ( D) 3

2.如果三棱锥 S ? ABC 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相 等,且顶点 S 在底面的射影 O 在 ?ABC 内,那么 O 是 ?ABC 的( D )
( A) 垂心 ( B ) 重心 (C ) 外心 ( D) 内心

3 .已知三棱锥 D ? ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB ? AC ? 3 , BC ? 2 , C ) 则以 BC 为棱,以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的大小是( ? ? ? 2? ( A) (B) (C ) ( D) 3 4 3 2 4.已知长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,棱 AA? ? 5 , AB ? 12 ,那么直线 B?C ? 和平面 A?BCD? 的距离是

60 13

.

5. 三棱柱 ABC ? A1B1C1 , 侧棱 BB1 在下底面上的射影平行于 AC , 如果侧棱 BB1 与
3 底面所成的角为 30 0 , ?B1BC ? 60? ,则 ?ACB 的余弦为 3

四.例题分析:

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例 1. 正四棱锥 S ? ABCD 中, SO ? 2 6 , 高 两相邻侧面所成角为 ? , tan

?
2

?

2 3 , 3

(1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。
B B F 解:1)作 CF ? SB 于 F , ( 连结 AF , ?C ?A 则 F ? 且 AF ? SB , ?AFC 是相邻侧面所成二面角的平面 故 ? ? C 角, 连结 OF , ?AFC ? ? , ?OFC ? , RO 则 在t F 2 ? OC OB 1 ? 与 Rt ?OBF 中 , tan = = (其中 2 OF OF sin ? ?SBO 为 SB 与底面所成的角,设为 ? ) 故 sin ? ?

3 , ? ? 60? 。 2

(2)在 Rt ?SOB 中,侧棱 SB ?

SO = 4 2 , OB ? SO ? cot ? ? 2 sin a

2,

∴边长 BC ? 2 ? OB ? 4 ;取 BC 的中点 E ,连结 SE ,则 SE 是正四棱锥的斜高, 在 Rt ?SEB 中,斜高 SE ? SB2 ? SE2 ? 2 7 ; 例 2.如图正三棱锥 ABC ? A1B1C1 中,底面边长为 a ,侧棱长为
2 a ,若经 2

过对角线 AB1 且与对角线 BC1 平行的平面交上底面于 DB1 。 (1)试确定 D 点的位 置,并证明你的结论; (2)求平面 AB1D 与侧面 AB1 所成的角及平面 AB1D 与底面 所成的角; (3)求 A1 到平面 AB1D 的距离。 解: (1)D 为 AC1 的中点。连结 A1B 与 AB1 交于 E ,则 E 1 为 A1B 的中点, DE 为平面 AB1D 与平面 A1BC1 的交线, ∵ BC1 //平面 AB1D ∴ BC1 // DE ,∴ D 为 AC1 的中点。 1 (2)过 D 作 DF ? A1B1 于 F ,由正三棱锥的性质, AA1 ? DF ,? DF ? 平面 AB1 , 连 结 DG , 则 ?DGF 为 平 面 AB D 与 侧 面 AB1 所 成 的 角 的 平 面 角 , 可 求 得 1
DF ? 3 a, 4
A D A1 F E G C B C1 B1

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由 ?B1FG ? ?B1 AA1 ,得 FG ?

? 3 a ,∴ ?DGF ? 4 4

∵ D 为 AC1 的中点,∴ B1D ? AC1 ,由正三棱锥的性质, AA1 ? B1D ,∴ B1D ? 平 1 1 面 AC 1 ∴ B1D ? AD ,∴ ?A1DA 是平面 AB1D 与上底面所成的角的平面角,可求得

tan ?A1DA ? 2 ,∴ ?A1DA ? arctan 2
(3) A1 作 A1M ? AD , B1D ? 平面 AC , B1D ? A1M , A1M ? 平面 AB1D 过 ∵ ∴ ∴ 1 即 A1M 是 A1 到平面 AB1D 的距离, AD ?
3 6 a ,∴ A1M ? a 2 6

例 3.如图,已知三棱锥 P ? ABC 的侧面 PAC 是底角为 450 的等腰三角形,
PA ? PC ,且该侧面垂直于底面, ?ACB ? 90? , AB ? 10, BC ? 6 , B1C1 ? 3 ,

(1)求证:二面角 A ? PB ? C 是直二面角; (2)求二面角 P ? AB ? C 的正切值; (3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截,得到一个几 ,求几何体 ABC ? A1B1C1 的侧面积. A B C? 1 1 C AB1 证 (1) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,取 AC 的中 A1 D. 由题设知 ?PAC 是等腰直角三角形,且 PA ? PC . A PD ? AC ∴ . ∵ 平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC ,∴ PD ? 平面 ABC , ∵ AC ? BC ∴ PA ? BC ,∴ PA ? 平面 PBC , ∵ PA ? 平面 PAB ,∴平面 PAB ? 平面 PBC , 即二面角 A ? PB ? C 是直二面角. 解 (2)作 DE ? AB ,E 为垂足, PE ? AB . 则 ∴ ? PED 是二面角 P ? AB ? C 的平面角.在 Rt ?ABC 中,
AB ? 10, BC ? 6 ,则 AC ? 8, PD ? 4
A E 图 31-31 B P C1 B1 C B 图 31—3

何体



P A1 B1 D C C1

由 Rt ?ADE ? Rt ?ABC ,得
DE ? BC ? AD 6 ? 4 12 = = , 5 AB 10 PD 5 = . DE 3



所求正切为 tan ?PED ?

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(3) ∵ B1C ? 3 ?
1 BC 2

∴ A1 , B1 , C1 分别是 PA, PB, PC 的中点.

1 1 ∴ S ?PAC ? ? 8 ? 4 ? 16 , S?PBC ? ? 6 ? 4 2 ? 12 2 . 2 2

∵ PE ? PD2 ? DE 2 = 16 ?

1 4 144 4 34 ? 4 34 . = 34 , S?PAB ? ?10 ? 25 2 5 5

∴ S棱锥侧 ? S?PAB ? S?PBC ? S?PCA ? 4 34 ?12 2 ?16 ,∴几何体 ABC ? A1B1C1 的侧面
3 积 S几何体 ? S棱锥侧 ? 3 34 ? 9 2 ? 12 4

五.课后作业: 1.设正六棱锥的底面边长为 1 ,侧棱长为 5 ,那么它的体积为(
( A) 6 3 (B) 2 3 (C ) 3 ( D) 2

)

2.正方体 ABCD ? A B C1 D 中, M 是 DD1 的中点, O 为底面正方形 ABCD 的中 1 1 1 心, P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角为
( A)

(

)

? 4

(B)

? 3

(C )

? 2

( D) 与 P 点的位置有关

3.正三棱锥 V ? ABC 中, AB ? 1 ,侧棱 VA,VB,VC 两两互相垂直,则底面中心到 侧面的距离为
( A)


(B)



2 2

2 3

(C )

2 6

( D)

3 6

4. 一个长方体全面积是 20cm2, 所有棱长的和是 24cm, 则长方体的对角线长为

4

5 .三棱锥 A ? BCD 的高 AH ? 3 3a ,且 H 是底面 ?BCD 的垂心,若 AB ? AC , G 二面角 A ? BC ? D 为 60? , 为 ?ABC 的重心, HG 则
A1 C1

的长为
6.如图,已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长分别是 B1 A B 图 31—5

AB ? AC ? 10cm , BC ? 12cm ,侧棱 AA1 ? 13cm ,顶点

C

A1 与下底面各个顶点的距离相等,求这个棱柱的全面积.

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7.如图,已知 PO 为正三棱锥 P ? ABC 的高, AB ? a ,侧面与底面成 ? 角,过 O 点作平面平行于 PC 和 AB , 得截面 EFGH . (1)求证:PC ? AB ; (2)截面 EFGH 的面积. P
G C E A H F B

8 .如图正三棱锥 ABC ? A1B1C1 中,底面边长为 a ,在侧棱 BB1 上截取 BD ?

a , 2

在侧棱 CC1 上截取 CE ? a ,过 A, D, E 作棱柱的截面, (1)求证:截面 ADE ? 侧 面 ACC1 A1 ; (2)求截面 ADE 与底面 ABC 所成的角。 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn


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