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安徽省宣城中学2016届高三上学期入学考试数学文试卷

时间:2016-08-14


2015--2016 学年度第一学期高三年级入学考试

文科数学试题
命题人:吴卫卫 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? x ?1 ? x ? 3 , N ? x ? 2 ? x ? 1 ,则 M ? N ? ( A. ( ?1,1) 2.设 z ? B. (?2,1) ) C. (1,3) D. (?2,3) 审题人:周满庭

?

?

?

?



1 ? i ,则 | z |? ( 1? i

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D. 2

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间 ?1,2? 内为增函数的是( A. y ? cos 2 x, x ? R C. y ? B. y ? x3 ? 1, x ? R D. y ? log2 x , x ? R且x ? 0



e x ? e? x , x?R 2

4.在 ?ABC 中, “A?

?
3

”是“ cos A ?

1 ”的( 2

) D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

5. 设 F1、F2 是椭圆 E :

3a x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


?F1 PF2 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
1 A. 2 2 B. 3 C. 3 4 4 D. 5 ).

6.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( A. C.

16 ? 16? 16 ? 8?

B. 8 ? 16? D. 8 ? 8?

7.设 x , y 满足约束条件 ? A.-5 B. 3

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最小值为 7,则 a ? ( ? x ? y ? ?1,
C.-5 或 3 D. 5 或-3

)

8.已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且 f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是( A. [2, ??) B.

)

(1, ??)

C. [1, ??)

D. (2, ??)

9.已知 ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ,直线 x ? 邻的对称轴,则 ? ? ( A. ) B.

?
4

和x ?

5? 是函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 图像的两条相 4
3? 4
D.

? 3

? 2

C.

? 4

3 2 10.已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范

围是(

) B.

A. ? 2, ?? ?

? ??, ?2?

C. ?1, ?? ?

D. ? ??, ?1?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分 11.若命题“ ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是______.
2

?1, x ? 0 ? 2 12.设函数 f ( x ) ? ?0, x ? 0 , g ( x) ? x ? f ( x ?1) ,则函数 g ( x) 的递减区间是______. ?? 1, x ? 0 ?
13.已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b ? c ? 0 ,则 t ? ______. 14.对于任意实数 x ,?x ? 表示 x 的整数部分,即 ?x ? 是不超过 x 的最大整数,这个函数 ?x ? 叫

? ?

?

?

?

?

? ?

? ? ______. 做“取整函数”则 ?lg1? ? ?lg 2? ? ?lg 3? ? ? ? ? ? ?lg 2010
15.对于函数 f ( x) ? x x ? px ? q ,现给出四个命题: (1)当 q ? 0 时, f ( x) 为奇函数; (2) y ? f ( x) 的图像关于 (0, q ) 对称; (3)当 p ? 0, q ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 有且只有一个实数根; (4)方程 f ( x) ? 0 至多有两个实数根. 其中正确的命题为______.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c .己知 c ? 3a sin C ? c cos A .
(1)求 A ; (2)若 a ? 2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b, c .

17. (本小题满分 12 分) 如 图 , 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 侧 棱 垂 直 底 面 , ?ACB ? 90 ,
?

AC ? BC ?

1 AA1 , 2
A1

C1

B1

D 是棱 AA1 的中点.
(1)证明: 平面BDC1 ? 平面BDC ; (2)平面 BDC 1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

D C A B

18. (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是递增的等差数列, a 2 , a 4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根.
2

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

19. (本小题满分 12 分) 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者 服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡 眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

(1) 分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2) 根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) 对任意实数 x, y ,恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时,有

f ( x) ? 0 且 f (1) ? ?2
(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 在区间 ?? 3,3? 上的最大值; (3)解关于 x 的不等式 f (ax2 ) ? 2 f ( x) ? f (ax) ? 4 .

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x sin x ? cos x
2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a )) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围.


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