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山东省枣庄三中2015届高三数学第一次学情调查试卷 理

时间:2015-10-30


枣庄三中 2015 届高三第一次学情调查 数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页. 满分 150 分,考试用时 120 分钟.答题前,考生务 必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸和答题卡规定的位置。考 试结束后,将答题纸和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷(共 50 分) 注意事项: 1 第Ⅰ卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 2 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,在选涂其他答案标号.不涂在答题卡上,只答在试卷上不得分. 一、选择题:(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.设集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?4,5? , C ? x x ? b ? a, a ? A, b ? B ,则 C 中元素的个数是 ( ) A.3

?

?

B.4 )

C.5

D. 6

?e x , x ? 0, 1 2.已知函数 f ( x) ? ? 则 f [ f ( )] ? ( e ?ln x, x ? 0,

A.

1 e

B. ?e )

C. e

D. ?

1 e

3.下列命题中,真命题是( A.存在 x ? R, e x ? 0 C.任意 x ? R, 2 x ? x 2

B. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 D. a ? b ? 0 的充要条件是
a ? ?1 b

4. 定义运算

a c

b d

? ad ? bc ,若函数 f ? x ? ?

x ?1 ?x

2 x?3

在 (??, m) 上单调递减,则实数

m 的取值范围是
A. (?2, ??)
3

B. [?2, ??)

C. (??, ?2) ) D. b ?

D. (??, ?2]

5.若函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 ?0,1? 内有极小值,则( A.

b?0

B. b ? 1

C. 0 ? b ? 1

1 2
3 2

6.已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x ? x ? 1 ,则

f (1) ? g (1) ? (
A.-3

) B.-1
2

C. 1

D.3

7.已知命题 p : ?x ? ?1, 2? , x ? a ? 0, 命题 q : ?x ? R, 使 x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ,若命题“ p 且
-1-

q ”为真,则实数 a 的取值范围是
A . D. a | a ? ?2或a ? 1

( B .

) C .

?

?a | ?2 ? a ? 1或a ? 1?
?

?a | a ? 1 ?

?a | ?2 ? a ? 1 ?

8. 已若当 x ∈R 时,函数 f ( x) ? a (a ? 0 且 a ? 1 )满足 f ( x) ≤1,则函数 y ? log a ( x ? 1)
| x|

的图像大致为(

)

9.设函数 f ( x) ? x ? x sin x ,对任意 x1 , x 2 ? (?? , ? ) ,若 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则下列式子成
2

立的是( A. x1 ? x 2 10.

) B. x1 ? x 2
2 2

C. x1 ?| x 2 |

D. | x1 |?| x 2 |

? x?

表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 例 如 [2.9] = 2 , [ - 4.1] = - 5 , 已 知 )

f ( x) ? x ? ? x ? ( x ? R ) ,g ( x) ? log 4 ( x ? 1) , 则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点个数是(
A.2 B.3 C.4 D.5

第Ⅱ卷 (共 100 分) 注意事项: 1. 第Ⅱ卷共 100 分. 2.考生用 0.5 毫米黑色签字笔将答案和计算步骤、过程填写在答题纸相应位置,直接在试卷 上作答的不得分. 二、 填空题: (本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分.请把答案填在答题纸的相应的横线上) . 11.已知正实数 a, b, m满足2 ? 5 ? m, 且
a b

1 1 ? ? 2 , 则 m 的值为 a b

12.曲线 y ? x , y ?
2

x 所围成的封闭图形的面积为
x

. .

13. 函数 f ( x) ? (1 ? x) ? e 的单调递减区间是

14. 已 知 函 数 f ( x) 是 (??, ??) 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 当

x ? [?1, 0] 时, f ( x) ? ? x ,则 f (2013) ? f (2014) ?
15.给出下列命题:

.

①若 y ? f ( x) 是奇函数,则 y ?| f ( x) | 的图像关于 y 轴对称;②若函数 f ( x) 对任意 x ? R 满
-2-

足 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 1 , 则 8 是 函 数 f ( x) 的 一 个 周 期 ; ③ 若 log m 3 ? log n 3 ? 0 , 则

0 ? m ? n ? 1 ;④若 f ( x) ? e | x ? a| 在 [1,??) 上是 增函数,则 a ? 1 . 其 中正确命题的序 号
是 . 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知全集 U=R,集合 A ? ? y y ? x ?
2

? ?

3 ? x ? 1, x ? ? 0, 2?? , B ? x y ? 1 ? x 。 2 ?

?

?

求集合 A, B, (CU A)

B.

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

2 (a ? R) 2 ?1
x

(Ⅰ)判断函数 f ( x) 的单调性,并用单调函数的定义证明; (Ⅱ)是否存在实数 a 使函数 f ( x) 为奇函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,请 说明理由.

18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)当 x ? [0, 3] 时,函数 y ? f ( x) 的图像恒在直线 y ? c 的下方,求 c 的取值范围.
2

19. (本小题满分 12 分) 已知一企业生产某产品的年固定成本为 10 万元,每生产千件需另投入 2.7 万元,设该企 业年内共生产此种产品 x 千件,并且全部销售完,每千件的销售收入为 f ( x) 万元,且

-3-

1 ? 10.8 ? x 2 (0<x ? 10) ? ? 30 f ( x) ? ? ?108 ? 1000 ( x ? 10) ? 3x 2 ? x
(Ⅰ)写出年利润 P (万元)关于年产品 x (千件)的函数解析式; (Ⅱ)年产量为多少千件时,该企业生产此产品所获年利润最大? (注:年利润=年销售收入-年总成本)

20. (本小题满分 13 分) 定 义 在 R 上 的 单 调 函 数 f ( x) 满 足 f (2) ?

3 , 且 对 任 意 x, y ? R 都 有 2

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ).
(Ⅰ)求证: f ( x) 为奇函数. x x x (Ⅱ)若 f (k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 2 已 知 函 数 f ( x) ? a ln x ? bx 图 象 上 一 点 P (2, f (2)) 处 的 切 线 方 程 为 y ? ?3 x ? 2 ln 2 ? 2 . (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? m ? 0 在 ? ,e ? 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自然 e 对数的底数) ; (Ⅲ)令 g ( x) ? f ( x) ? kx ,若 g ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 , 0), B ( x2 , 0) (其中 x1 ? x2 ) ,

?1 ? ? ?

AB 的中点为 C ( x0 , 0) ,求证: g ( x) 在 x0 处的导数 g ?( x0 ) ? 0 .

-4-

2015 届高三数学试题(理科)参考答案及评分标准 一、 二、 11. 选择题:BABDC 填空题 CD CB A

10

12.

1 3

13.

? 0, ?? ?

14. ?1

15.①②④

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 17 解:A={ y | y ? x 2 ?

3 x ? 1, x ? [0,2] } 2 3 7 7 ={ y | y ? ( x ? ) 2 ? , x ? [0,2] }={ y | ≤ y ≤2},??4 分 4 16 16

B={ x | y ? 1? | x | }={ x |1-| x |≥0}={ x |-1≤ x ≤1}??????8 分

7 },??????????????10 分 16 ( UA)∪B={ x | x ≤1 或 x >2}??????????????12 分
∴ UA={ y | y >2 或 y < 17. (本小题满分 12 分) 解:(1)

设 0<x1 <x 2 ,则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0<x1 <x 2 , ? 2 x1 ? 2 x2 , 2 x2 ? 1, 2 x1 ? 1,

2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) = 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? 2 x1 ? 2 x2 ? 0, 2 x1 ? 1 ? 0, 2 x2 ? 1 ? 0 从而f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在(0,+?)上为增函数

同理可证 f ( x)在( - ?,0)上是增函数 ?????6 分
(Ⅱ)

(法一)当x ? 0时, 有f ( ? x) ? f ( x) ? 0, 得2a ? 2 ? 0, 解得a ? ?1.....................12分 (法二)由f (?1)= ? f (1)得a ? ?1,用定义验证,不证扣2分.....................12分

18. (本小题满分 12 分) (1) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,
2

因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . 即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
????????????????????????????6 分

解得 a ? ?3 , b ? 4 .

-5-

(2)当 x ? [0, 3] 时,函数 y ? f ( x) 的图像恒在直线 y ? c 2 的下方,即 f ( x) ? c 2 ,

f ' ( x) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) 当x ? (0,1)时, f ' ( x) ? 0, 当x ? (1, 2)时, f ' ( x) ? 0 当x ? (2,3)时, f ' ( x) ? 0,?当x ? 1时 , f ( x)取得极大值 ??????????8 分 又 f (1) ? 5 ? 8c, f (0) ? 8c, f (3) ? 9 ? 8c. ?当x ? ? 0,3? 时,f ( x)的最大值为f (3) ? 9 ? 8c

又因为 f ( x) ? c

2

??????10 分

所以 9+8c ? c 2 ,即c 2 ? 8c ? 9 ? 0, 解得 c< ? 1或c ? 9, 因此c的取值范围为 ? ??, -1? (9,+?).

??????????12 分

19. (本小题满分 12 分解: (1) 当 0 ? x ? 10 时,P ? xf ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ? 当 x ? 10 时, P ? xf ( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?

x3 ? 10 30

1000 ? 2.7 x 3x

? x3 8.1 x ? ? 10(0 ? x ? 10) ? ? 30 P?? ??????????????????????? 4 ?98 ? 1000 ? 2.7 x( x ? 10) ? 3x ?
分 (2)①当 0 ? x ? 10 时,由 P? ? 8.1 ?

x2 ? 0 ,得 x ? 9 且当 x ? (0,9) 时, P? ? 0 ;当 10

x ? (9,10) 时, P? ? 0 ;
? 当 x ? 9 时, P 取最大值,且 Pmax ? 8.1? 9 ?
分 ②当 x ? 10 时, P ? 98 ? ( 当且仅当

1 ? 93 ? 10 ? 38.6 ?????????8 30

1000 1000 ? 2.7 x) ? 98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 3x 3x

1000 100 时, Pmax ? 38 ? 2.7 x ,即 x ? 3x 9 综合①、②知 x ? 9 时, P 取最大值.
所以当年产量为 9 千件时,该企业生产此产品获利最大.?????????????12 分 20. (本小题满分 13 分(Ⅰ)证明: f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y )( x, y ? R ), ①

-6-

令 x ? y ? 0 ,代入①式,得 f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0), 即 f (0) ? 0. 令 y ? ? x ,代入①式,得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f ( ? x) ,又 f (0) ? 0, 则有 0 ? f ( x) ? f ( ? x). 即 f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 成立, 所以 f ( x) 是奇函数.?????????????????4 分 (Ⅱ)解: f (2) ?

3 ? 0 ,即 f (2) ? f (0) ,又 f ( x) 在 R 上是单调函数, 2

所以 f ( x) 在 R 上是增函数. 又由(1) f ( x) 是奇函数. f (k ? 3x ) ? ? f (3x ? 9 x ? 2) ? f (?3x ? 9 x ? 2), ? k ? 3x ? ?3x ? 9 x ? 2,32 x ? (1 ? k ) ? 3x ? 2 ? 0 对任意 x ? R 成立. ( 法 一 ) : 令 t ? 3x ? 0 , 问 题 等 价 于 t 2 ? (1 ? k )t ? 2 ? 0 对 任 意 t ? 0 恒 成 立.?????????8 分 令 g (t ) ? t ? (1 ? k )t ? 2, 其对称轴 t ?
2



1? k ? 0 时,即 k ? ?1 时, g (0) ? 2 ? 0 ,符合题意; 2

1? k . 2

?1 ? k ?0 1? k ? 当 ? 0 时,对任意 t ? 0, g (t ) ? 0 恒成立 ? ? 2 2 ? ? (1 ? k ) 2 ? 4 ? 2 ? 0 ?
解得 ?1 ? k ? ?1 ? 2 2. ??????????????????12 分 综 上 所 述 当 k ? ?1 ? 2 2 时 , f ( k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对 任 意 x ? R 恒 成
x x x

立. ????13 分 (法二):分离

k , k ? 3x ? ?3x ? 9 x ? 2,? k ? 3x ? 2 ? 3? x ? 1, k ? (3x ? 2 ? 3? x ? 1) min
,

? k ? ?1 ? 2 2 ????13 分
21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

a a ? 2bx, f ?(2) ? ? 4b, f (2) ? a ln 2 ? 4b. x 2

a ? ? 4b ? ?3, 且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2 ln 2 ? 2, 2 解得 a ? 2, b ? 1. ?????????????????????????4 分 2 2 (Ⅱ) f ( x) ? 2 ln x ? x ,令 h( x) ? f ( x) ? m ? 2 ln x ? x ? m,
则 h?( x) ?

2 2(1 ? x 2 ) ? 2x ? , x x
?1 ? ?e ?

令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1( x ? ?1 舍去). 当 x ? ? ,1? 时, h?( x) ? 0,?当 x ? ? ,1? 时 h( x) 是增函数; 当 x ? (1, e] 时, h?( x)<0,? 当 x ? (1, e] 时 h( x) 是减函数;?????????6 分

?1 ? ?e ?

-7-

? 1 ? h( e ) ? 0 ? 1 于是方程 h( x) ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是: ? h(1) ? 0 . e ? h ( e) ? 0 ? ?
1 . ??????????????????10 分 e2 2 (Ⅲ)由题意 g ( x) ? 2 ln x ? x 2 ? kx, g ?( x) ? ? 2 x ? k . x
即1 ? m ? 2 ? 假设结论不成立,则有:

?2 ln x1 ? x12 ? kx1 ? 0 ① ? 2 ?2 ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0 ② ? ???????????????11 分 ? x1 ? x2 ? 2 x0 ③ ? ? 2 ? 2x ? k ? 0 ④ 0 ? ? x0
①-②,得 2 ln

x1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 0. x2

x1 x2 ?k ? 2 ? 2 x0 . x1 ? x2 ln x1 x2 1 2 由④得 k ? ? ? 2 x0 , ? x1 ? x2 x0 x0 ln
x x1 2 1 ?2 x x2 x2 2 ,即 ln 1 ? . ⑤?????????????13 分 ? x1 x2 x1 ? x2 x1 ? x2 ?1 x2

ln

(t ? 1) 2 x1 2t ? 2 ? ? 0. 令t ? , u (t ) ? ln t ? (0 ? t ? 1), 则 u (t ) ? t (t ? 1) 2 x2 t ?1
? u (t ) 在(0,1)增函数, ? u (t ) ? u (1) ? 0, ? ⑤式不成立,与假设矛盾. ? g ?( x0 ) ? 0. ?????????????????????????14 分

-8-


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