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2013全国各省高考试题汇编—导数

时间:2013-07-14


(天津理数)已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有
2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

(江苏数)设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为实数. (1) f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数, g (x) 在 (1,??) 上有最小值, a 的取值范围; 若 且 求 (2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论.

(安微理数) (本小题满分 13 分) 设函数 f n ( x) ? ?1 ? x ?

x2 x2 xn ? 2 ? ? ? 2 ( x ? R, n ? N n ) ,证明: 22 3 n
2 3

n (Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;

n (Ⅱ)对任意 p ? N ,由(Ⅰ)中 xn 构成的数列 ?xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ?

1 n

(大纲文数)已知函数 f ? x ? =x3 ? 3ax2 ? 3x ?1. (I)求 a ? 2时,讨论 f ? x ?的单调性; ; (II)若 x ??2, ???时,f ? x ? ? 0, 求a的取值范围.

(大纲全国,理 22) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

x(1 ? ? x) . 1? x

(Ⅰ)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 ? 的最小值; (Ⅱ)设数列 {an } 的通项 an ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ,证明: a2 n ? an ? ? ln 2 . 2 3 n 4n

(广东理数)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R). (1) 当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2) 当k∈(1/2,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.

(广东文数)设函数 f ( x) ? x3 ? kx2 ? x(k ? R) (1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 在 {1, k} 上最小值 m 和最大值 M.

(新课标理数)已知函数 f(x)=ex-ln(x+m) (Ι )设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f(x)>0

(湖南理数)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

x?a 。 x ? 2a

(I)记 f ( x)在区间?0, 4? 上的最大值为g(a),求 g(a )的表达式; (II)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间 ? 0, 4 ? 内的图像上存在两点,在该两点处 的切线相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

(辽宁理数)已知函数 f ? x ? ? ?1 ? x ? (I)求证:1-x ? f ? x ? ?

e?2 x

, g ? x ? ? ax ?

x3 ? 1 ? 2 x cos x.当x ? ?0,1?时, 2

1 ; (II)若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立, 求实数a的 取值范围. 1? x

(辽宁文数) (I)证明:当 x ? ?0,1?时,

2 x ? sin x ? x; 2

x3 ? 2 ? x ? 2 ? cosx ? 4对x ? ?0,1? 恒成立,求实数a的 取值 (II) 若不等式 ax ? x ? 2
2

范围.

(山东理数)设函数 f ( x) ?

x ? c(e ? 2.71828? 是自然对数的底数, c ? R) . e2 x

(1)求 f ( x) 的单调区间,最大值; (2)讨论关于 x 的方程 | ln x |? f ( x) 根的个数.

(福建理数)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R). 当 a ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点

A(1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f (x) 的极值.

(江西理数)已知函数 f (x)=a(1-2 x-

1 ) , a 为常数且 a >0 . 2
1 对称; 2

(1) 证明:函数 f (x) 的图像关于直线 x =

(2) 若 x0 满足 f (f (x0 ))=x0 ,但 f (x0 ) ? x0 ,则称 x0 为函数 f (x) 的二阶周期点,如果 f (x) 有两个二阶周期点 x1 ,x2 , 试确定 a 的取值范围;

(3) 对于(2)中的 x1 ,x2 和 a , 设 x3 为函数 f(f(x) )的最大值点,A(x1,f(f(x1)) ), B(x2,f(f(x2)) ),C(x3,0) ,记△ABC 的面积为 S(a) ,讨论 S(a)的单调性.

(重庆理数)设 f ? x ? ? a ? x ? 5 ? ? 6 ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处
2

?

?

的切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? 。 (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

(安微文数)设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a2 ) x2 ,其中 a ? 0 ,区间 I ? ?x | f ( x) ? 0? . (Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ; (Ⅱ)给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值.

(重庆文数) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) .设该蓄水池的底面半径为 r 米, 高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元 ? ( 为圆周率) . (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V (r ) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

(陕西文数)已知函数 f ( x) ? e x , x ? R .

(Ⅰ) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点. 2 f (b) ? f (a) ?a?b? (Ⅲ) 设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ?与 b?a ? 2 ?
(Ⅱ) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ?

( 四 川 文 数 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ?

? x2 ? 2 x ? a ,x ? 0

?ln x, x ? 0 B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 。

, 其 中 a 是 实 数 。 设 A( x1 , f ( x1 )) ,

(Ⅰ )指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,证明: x2 ? x1 ? 1 ; (Ⅲ )若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围。

(新课标 2 文数) 己知函数 f(X) = x2e-x(I)求 f(x)的极小值和极大值; (II)当曲线 y = f(x)的切 线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

(新课标 1 文数) 已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x2 ? 4 x , 曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切 线方程为 y ? 4 x ? 4 。 (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性,并求 f ( x ) 的极大值。

(浙江文数).已知 a∈ R,函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax (Ⅰ )若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ )若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.

(湖北文数)设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ?

ax ? b . x ?1

(Ⅰ)当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 0 时,称 f ( x) 为 a 、 b 关于 x 的加权平均数.

(i)判断 f (1) , f (

b b b b ) , f ( ) 是否成等比数列,并证明 f ( ) ? f ( ) ; a a a a

(ii) a 、 b 的几何平均数记为 G. 称

2ab 为 a 、 b 的调和平均数,记为 H. a?b

若 H ? f ( x) ? G ,求 x 的取值范围.

(课标 1 理数)已知函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线 y=f(x) 和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2 (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值 (Ⅱ)若 x≥-2 时,f(x)≤kgf(x),求 k 的取值范围。

(湖北理数)设 n 是正整数, r 为正有理数。 (I)求函数 f ( x ) ? ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1( x ? ?1) 的最小值;

n r ?1 ? ? n ? 1? (II)证明: r ?1

r ?1

?n

r

? n ? 1? ?

? n r ?1 ; r ?1
? 3? ? ?

r ?1

(III)设 x ? R ,记 ? x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 4 , ? ? ? ? ?1 。 ? ? ? ? ? ? 2 令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ?? 3 125 ,求 ? S ? 的值。 ? ? (参考数据: 80 3 ? 344.7 , 813 ? 350.5 , 124 3 ? 618.3 , 126 3 ? 631.7 )
4 4 4 4

( 四 川 理 数 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ?

? x2 ? 2x ? a ,x ? 0

?ln x, x ? 0 B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 。

, 其 中 a 是 实 数 。 设 A( x1 , f ( x1 )) ,

(Ⅰ)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围。

(湖南文数)已知函数 f(x)=

1? x x e . 1? x2

(Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:当 f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.

(江西文数)设函数错误!未找到引用源。常数且 a∈(0,1). (1) 当 a=错误!未找到引用源。时,求 f(f(错误!未找到引用源。)); (2) 若 x0 满足 f(f(x0))= x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶有且仅有两个二 阶周期点,并求二阶周期点 x1,x2; (3) 对于(2)中 x1,x2,设 A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a ,0),记 △ABC 的面积为 s(a),求 s(a)在区间[错误!未找到引用源。,错误!未找到引 用源。]上的最大值和最小值。
2

(山东文数)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x (a, b ? R) (Ⅰ)设 a ? 0 ,求 f (x) 的单调区间 (Ⅱ) 设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) 。试比较 ln a 与 ?2b 的大小

(天津文数)
? x 3 ? (a ? 5) x, x ? 0, ? 设 a ? [?2, 0] , 已知函数 f ( x) ? ? 3 a ? 3 2 x ? ax , x ? 0 . ?x ? ? 2

(Ⅰ) 证明 f ( x) 在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (Ⅱ) 设曲线 y ? f ( x) 在点 P ( x i , f ( xi ))(i? 1, 2, 3) 处的切线相互平行, 且 x1 x2 x3 ? 0, 证明 i

1 x1 ? x 2 ? x 3 ? . 3

(上理) 分+8 分)甲厂以 x 千 克 / 小 时 的 速 度 运 输 生 产 某 种 产 品 ( 生 产 条 件 要 求 (6

3 1 ? x ? 10 ) ,每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. x
(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大

利润. 【解答】(1)根据题意, 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? 又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 (2)设利润为 y 元,则 y ?

3 x

3 ?0 x

900 3 1 1 61 ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] x x x 6 12

故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元. (上文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题.第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 . (1)令 ? ? 1 ,判断函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?
2

) 的奇偶性并说明理由;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再往上平移 1 个单位,得到函 6

数 y ? g ( x) 的图像.对任意的 a ? R ,求 y ? g ( x) 在区间 [a, a ? 10? ] 上零点个数的所有可 能值.

(浙江理) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 3ax ? 3a ? 3 . (1)求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 x ? [0,2] 时,求 f (x) 的最大值.


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