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浙江省温州中学2014届高三上学期期中数学理试卷 Word版含答案

时间:2013-11-28


2013 学年第一学期温州中学高三期中考试数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 A.1

1? z ? i ,则 z 的虚部为( 1? z
B.-1 C. i
2

) D. -i

2. 设 P ? y y ? ? x ? 1, x ? R , Q ? y y ? 2 , x ? R ,则(
x

?

?

?

?



A. P ? Q

B. Q ? P

C. C R P ? Q

D. Q ? C R P )

3.命题甲: x ? 2 或 y ? 3 ;命题乙: x ? y ? 5 ,则甲是乙的( A.充分非必要条件 C.充要条件 4.已知函数

B.必要非充分条件 D.既不充分条件也不必要条件

f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) ,则下面说法错误的是( ..

)

? f ( x) 在 (0, ) 上是增函数 B. f ( x) 的最小正周期为 ? 4 ? C. f ( x) 的图象向右平移 个单位得到曲线 y ? sin 2 x 6 5? D. x ? ? 是 f ( x ) 图象的一条对称轴 12
A. 5.已知数列 ,若利用 如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项, 则判断框内的条件是( ) A. B. C. D. 6.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据, 可得该几何体的体积是( ) A. 2 B .4 C .5 D .7
?y≥ x ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x+2 y ≤ 2 , ? x ≥-2 ?

则 z=x-3y 的最小值与最大值分别为(

)

A.-8,4

B.-

? ,0 3

C.-8,-

? 3

D.-

? ,4 3

8.已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2, CC1 ? 2 2 , E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为( A.2 B. )

3

C. 2

D.1

9.函数 y ?

1 1 ? x 2 ? x ? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则下列 2 2
) C. 3 D. 3 ? 1

给定的数中可能是该等比数列的公比的是( A.

1 3

B. 2

10.定义域为 R 的偶函数 f (x) 满足对 ?x ? R , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) , 有 且当 x ? [2,3] 时,

f ( x) ? ?2 x 2 ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零点,
则 a 的取值范围是 ( A. (0, )

2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知焦点在 y 轴上的双曲线的焦距为 2 3 ,焦点到一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线的 标准方程为 12.已知实数 a、 满足 2a ? b ? 1 ,则 a 2 ? ab 的最大值为 b 13.已知数列 ?an ?是单调递增的等差数列, 从 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 中取走任意三项, 则 剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率= 14.若椭圆中心为坐标原点,焦点在 x 轴上,过点(1,

1 2 2 )作圆 x +y =1 的切线,切点分别 2

为 A, B ,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 15.如图,在半径为 1 的扇形 AOB 中, ?AOB ? 60? , C 为弧上的动点, AB 与 OC 交于点

??? ??? ? ? P ,则 OP ? BP 的最小值是

A

C

P
O
16.若 (2 x ? 3)
9

第 15 题图

B

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a9 x 9 ,

则 (a1 ? 3a3 ? 5a5 ? 7 a7 ? 9a9 ) 2 ?

(2a2 ? 4a4 ? 6a6 ? 8a8 ) 2 =

x2 y2 17.椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其右焦点,若 AF⊥BF,设 a b ? ? ∠ABF= ? ,且 ? ∈[ , ],则该椭圆离心率的取值范围为 12 4

2013 学年第一学期温州中学高三期中考试数学(理科)答题卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 15. 12. 16. 13. 17. 14.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.已知 ?ABC 的内角 A , B , C 所对边分别为 a , b , c ,且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 bc ? 2 ,求边长 a 的最小值.

1 c?b. 2

19.已知 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且对任意 n ? N ? ,有 4a n ?3S n ?

1 2 n ?1 (2 ? 1) , 3

? an ? 的通项公式; n ? ?4 ? ? a ? (2)求数列 ? n n 2 ? 的前 n 项和 Tn . ? ?2 ?
(1)求 ?

20.如图在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, 侧面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD ? 设 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. (1) 求证: EF //平面 PAD ; (2) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ; (3) 求二面角 B ? PD ? C 的正切值.

2 AD , 2

P E D F A B C

? y 2 ? 1(| x |? 1) ,C2 : x 2 ? 8 y ? 1(| x |? 1) , 动直线 l 与 C1 相 切,与 C2 相交于 A, B 两点,曲线 C2 在 A, B 处的切线相交于点 M .
21.如图, 已知曲线 C1 : x
2

(1)当 MA ? (2)试问在

MB 时,求直线 l 的方程;

y 轴上是否存在两个定点 T1 , T2 ,

当直线 MT1 , MT2 斜率存在时,两直线的斜率 之积恒为定值?若存在,求出满足的 T1 , T2 点 坐标;若不存在,请说明理由.

M
第 21 题图

22.已知函数 (1)当 a

f ( x) ?

ax e x ?1

( a 为常数).

? 0 时,求 f ( x) 的极值;

(2) 设函数 g ( x ) ? 围.

x 3 ? ax 2 ? x ,若 x ? ? ?1,1? 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范

2013 学年第一学期温州中学高三期中考试数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
1 A 2 C 3 B 4 A 5 B 6 A 7 A 8 D 9 B 10 B

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

11.

y2 ?

x2 ?1 2

12.

1 4

13.

1 7

14.

x2 y 2 ? ?1 5 4

15.

?

1 16

16.

182 ? 58

17.

? 2 6? , ? ? ? 2 3 ?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. 解: (1) sin A cos C ?

1 sin C ? sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 2 1 1 ? ∴ sin C ? cos A sin C ,∴ cos A ? ? A ? 2 2 3

(2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc ? 2

a ? 2 ? 边长 a 的最小值为 2 .
19. 解: (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? 3S1 ? 当n ? 2时

1 3 (2 ? 1) 3
① ②

得 a1 ? 3

1 2 n ?1 (2 ? 1) 3 1 得 4a n ?1 ?3S n ?1 ? (22 n ?1 ? 1) 3
由 4a n ?3S n ? ① ? ②得 4a n ?4an ?1 ? 3an ? 2 2 n ?1 即 an ? 4an ?1 ? 22 n ?1 化为 数列 ?

an an ?1 1 ? ? 4n 4n ?1 2

a 3 1 3 1 n 1 ? an ? 是以 为首项,以 为公差的等差数列, n ? ? (n ? 1) ? ? ? n n ? 4 2 4 4 2 2 4 ?4 ?

an 1 1 ? n? n 4 2 4 a (2)由(1)得: n n 2 ? (2n ? 1)2 n 2?
Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n

2 ? Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ?Tn ? 6 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n ?1 ? (2n ? 1) ? 2n ?1 Tn ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ? 2
20. 法一:(Ⅰ)证明: ABCD 为平行四边形 连结 AC ? BD ? F , F 为 AC 中点,

E 为 PC 中点∴在 ?CPA 中 EF // PA
且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD (Ⅱ)证明:因为面 PAD ? 面 ABCD ∴ EF // 平面PAD 平面 PAD ? 面 ABCD ? AD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD 所以 CD ? 平面 PAD ∴ CD ? PA
又 PA ? PD ? 且 ?PAD ?

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2

即 PA ? PD 2 CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 ABCD PA ? 面 PDC 又 PA ? 面 PAB 面 PAB ? 面 PDC (Ⅲ) 【解】 :设 PD 的中点为 M ,连结 EM , MF , A 则 EM ? PD 由(Ⅱ)知 EF ? 面 PDC , EF ? PD , PD ? 面 EFM , PD ? MF , ?EMF 是二面角 B ? PD ? C 的平面角

?

P E M D F B C

Rt ?FEM 中, EF ?

1 2 PA ? a 2 4

1 1 EM ? CD ? a 2 2

2 a EF 2 2 tan ?EMF ? ? 4 ? 故所求二面角的正切值为 1 EM 2 2 a 2 z 法二:如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP , OF . P ∵ PA ? PD , ∴ PO ? AD . ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD ,
平面PAD ? 平面ABCD ? AD ,
∴ PO ? 平面ABCD ,
A O F D

E

C

y B

而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,∴ OF // AB , 又 ABCD 是正方形,故 OF ? AD .

x

∵ PA ? PD ?

2 a AD ,∴ PA ? PD , OP ? OA ? . 2 2

以 O 为原点,直线 OA, OF , OP 为 x, y, z 轴建立空间直线坐标系,

a a a a a , 0) , D(? , 0, 0) , P(0, 0, ) , B( , a, 0) , C (? , a, 0) . 2 2 2 2 2 a a a ∵ E 为 PC 的中点, ∴ E (? , , ) 4 2 4 ??? ? ??? ? a a a (Ⅰ)证明:易知平面 PAD 的法向量为 OF ? (0, , 0) 而 EF ? ( , 0, ? ) , 2 4 4 ??? ??? ? ? a a a 且 OF ? EF ? (0, , 0) ? ( , 0, ? ) ? 0 , ∴ EF //平面 PAD 2 4 4 ??? a ? ??? ??? ? ? a ? a ??? a (Ⅱ)证明:∵ PA ? ( , 0, ? ) , CD ? (0, a, 0) ∴ PA ? CD ? ( , 0, ? ) ? (0, a, 0) ? 0 , 2 2 2 2 ??? ??? ? ? ∴ PA ? CD ,从而 PA ? CD ,又 PA ? PD , PD ? CD ? D ,
则有 A( , 0, 0) , F (0, ∴ PA ? 平面PDC ,而 PA ? 平面PAB , ∴平面 PAB ? 平面 PDC . (Ⅲ) 由(Ⅱ)知平面 PDC 的法向量为 PA ? ( , 0, ? ) . 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .∵ DP ? ( , 0, ), BD ? ( ? a, a, 0) ,

a 2

??? ?

?

??? ?

a 2

a 2

a 2

? a ??? 2

a ?a ? ??? ? ? ??? ? ? ? x ? 0? y ? ? z ? 0 ∴由 n ? DP ? 0, n ? BD ? 0 可得 ? 2 ,令 x ? 1 ,则 y ? 1, z ? ?1 , 2 ??a ? x ? a ? y ? 0 ? z ? 0 ?
? ??? ? ? ? ??? ? n ? PA 故 n ? (1,1, ?1) ∴ cos ? n, PA ?? ? ??? ? ? n PA a 2 a? 3 2 ? 6 , 3

即二面角 B ? PD ? C 的余弦值为

6 , 3 2 2

所以二面角 B ? PD ? C 的正切值为

21.(1)设半圆 C1 上的切点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l AB

: x0 x ? y0 y ? 1 ,

? x0 x ? y0 y ? 1 ?y ?8 ? y0 x 2 ? 8 x0 x ? y0 ? 8 ? 0 得: x1 x2 ? 0 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ? 2 。 y0 ?x ? 8y ?1

? MA ? MB 时, y? yB ? A
x0 ? ?

?y ?8 1 x1 x2 ? 0 ? ?1 ,得 y0 ? 8 ,又 x0 2 ? y0 2 ? 1 ,求得: 16 16 y0 15

161 ,所求的直线方程为: ? 161x ? 8 y ? 15 ? 0 。 15

(2)曲线 C2 在 A, B 处的切线 l A

:y?

1 1 1 1 1 1 x1 x ? x12 ? , lB : y ? x2 x ? x2 2 ? 4 8 8 4 8 8

两直线的交点 M (

?4 x0 1 1 x1 ? x2 1 , ? ? ) ,设 M ( x, y ) 则 , ( x1 x2 ? 1)) ,即 M ( y0 4 y0 2 8

?4 x0 ? x? ? y0 ? ? ?y ? ? 1 ? 1 ? 4 y0 ?

x ? ? x0 ? 4 y ? 1 ? 2 2 求得: ? ,代入 x0 ? y0 ? 1 化得: ? y ? ?4 ? 0 4 y ?1 ?

x 2 ? (4 y ? 1) 2 ? 16 ? 16 y 2 ? 8 y ? 15 ,设 T1 (0, t1 ), T2 (0, t2 ) ,则
k MP ? kMQ ? ( y ? t1 )( y ? t2 ) y 2 ? (t1 ? t2 ) y ? t1t2 1 y 2 ? (t1 ? t2 ) y ? t1t 2 ? ? ? 1 15 x2 16 y 2 ? 8 y ? 15 16 y2 ? y ? 2 16
为定

1 3 5 ? ? ? t1 ? t2 ? ? t1 ? t1 ? ? ? ? ? ? ? 2 4 或? 4 5 3 ? ? ? 值,必须 ,解得: ,不妨取 T1 (0, ? ), T2 (0, ) 4 4 ?t t ? ? 15 ?t ? ? 5 ?t ? ? 3 1 2 2 2 ? ? 16 ? 4 ? ? 4 ?

22. (1)

? ax ? e x ?1 , x ? 0 ? f ( x) ? ? ? -ax ? e x ?1 , x ? 0 ?

(a

? 0)

?ax ,显然是减函数; e x ?1 a (1 ? x) ' ' 当 x ? 0 时, f ' ( x) ? , x ? ? 0,1? f ( x) ? 0 , x ? ?1, ?? ? 时, f ( x) ? 0 。 e x ?1
当 x ? 0 时, f ( x) ? 综上, f ( x) 分别在 x ? (??, 0) , x ? ?1, ?? ? 是减函数,在 x ? ? 0,1? 增函数

? f ( x)极小值 ? f (0) ? 0 , f ( x)极大值 ? f (1) ? a 。

(2)

x ? ? ?1,1?

时,

f ( x) ? g ( x)

恒成立,先有

? f (?1) ? g (?1) ? ? f (1) ? g (1)

,求得:

a??
当x

2 ? 0 ,所求 a 的取值在此范围上讨论即可。 e ?1
2

? 0 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,显然;

当 x ? (0,1] 时,只须 立。设 h( x ) ? e
x ?1

ax 2 ? x3 ? ax 2 ? x ,即 a ? e x ?1 ( x 2 ? ax ? 1) (a ? ? 2 ) 恒成 e x ?1 e ?1

( x 2 ? ax ? 1) 在 x ? (0,1] 是增函数,

2 ? a?? 2 ? 2 ? e ?1 ?a?? 2 ? e ? 1 ……………(1) ?h( x) ? h(0) ? 1 ? e ?
当 x ? [ ?1, 0) 时,同理化得只须 ? a

? e x ?1 ( x 2 ? ax ? 1) (a ? ?

2 ) 恒成立, e2 ? 1

h( x) ? e x ?1 ( x 2 ? ax ? 1) ,h?( x) ? e x ?1 ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] ? 0 ,h( x) 在 x ? [?1, 0) 是
2 ? a?? 2 ? 1 ? e ?1 1 ? a ? ? ……………(2) h( x) ? h(0) ? ,此时, ? 增函数。得 e e ??a ? 1 ? e ?
综上, x ?

? ?1,1? 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立, a 的取值范围是 a ? ? 1 。
e


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