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【课堂新坐标】高中数学北师大版必修五练习:1.1.2数列的函数特性(含答案解析)

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学业分层测评(二) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 n+2 1.(2016· 佛山高二检测)已知数列{an}的通项公式是 an= ,则这个数列是( n+1 A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.摆动数列 ) 【解析】 数列{an}的通项公式是 an= n+2 n+1+1 1 1 1 = =1+ ,an+1-an= - = n+1 n+1 n+1 n+2 n+1 n -1 n+ ,∵n∈N+,∴an+1 <an,即数列{an}为递减数列. 【答案】 B 2.设 an=-n2+10n+11,则数列{an}中第几项最大( A.第 6 项 B.第 7 项 ) C.第 6 项或第 7 项 D.第 5 项 【解析】 an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,由 n∈N+,所以 n=5 时,an 有最大值. 【答案】 D 3.已知在数列{an}中,a1=3,a2=6,且 an+2=an+1-an,则 a2 014=( A.3 C.6 B.-3 D.-6 ) 【解析】 由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3, a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3, a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6, a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3, … 故知{an}是周期为 6 的数列, 所以 a2 014=a4=-3. 【答案】 B 4.一给定函数 y=f(x)的图像在下列图中,并且对任意 a1∈(0,1),由关系式 an+1=f(an) 得到的数列{an}满足 an+1>an,则该函数的图像是( ) 【解析】 由 an+1=f(an),an+1>an 得 f(an)>an, 即 f(x)>x,结合图像知 A 正确. 【答案】 A ? -a x-3,x≤7 ? 5. (2016· 九江高二检测)设函数 f(x)=? x-6 , 数列{an}满足 an=f(n), n∈N ?a , x>7 ? + ,且数列{an}是递增数列,则实数 a 的取值范围是( A.(1,3) 9 ? C.? ?4,3? B.(2,3) D.(1,2) ) 【导学号:67940005】 ? -a x-3,x≤7 ? 【解析】 ∵函数 f(x)=? x-6 ,数列{an}满足 an=f(n),n∈N+,且数 ?a ,x>7 ? 列{an}是递增数列, a>1 ? ? ∴?3-a>0 ? ?a>18-7a 9 即 <a<3. 4 【答案】 C 二、填空题 6.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+50,则数列中的最小项是________. 7?2 151 【解析】 数列 an=n2-7n+50=? ?n-2? + 4 ,因为 n∈N+,所以 n=3,4 时,a3=a4 =38. 【答案】 38 7.若数列?n ? ? a>1 ? ?a<3 ,解得? 9 ? ?a>4 , n+ ?2?n? ? ?3? ?中的最大项是第 k 项,则 k=________. 【解析】 由 ak+1≤ak,且 ak≥ak-1, 2?k ?2?k+1 得 k(k+4)? ?3? ≥(k+1)(k+5)?3? 且 k(k+4)· ?2?k≥(k-1)(k+3)?2?k-1, ?3? ?3? 化简得 k2≥10 且 k2-2k-9≤0, 解得 10≤k≤ 10+1, 由于 k 是正整数,所以 k=4, 即数列最大项是第 4 项. 【答案】 4 8.(2016· 吉安高二检测)数列{an}满足 an=n2+kn+2,若不等式 an≥a4 恒成立,则实数 k 的取值范围是________. k k2 n+ ?2+2- , 【解析】 an=n2+kn+2=? ? 2? 4 ∵不等式 an≥a4 恒成立, k ∴3.5≤- ≤4.5, 2 解得-9≤k≤-7. 【答案】 [-9,-7] 三、解答题 9.(2016· 宝鸡高二检测)已知数列{an}的通项公式为 an=n2-21n+20. (1)-60 是否是该数列中的项, 若是, 求出项数; 该数列中有小于 0 的项吗?有多少项? (2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. 【解】 (1)由 n2-21n+20=-60 得 n=5 或 n=16;所以数列的第 5 项,第 16 项都为 60.由 n2-21n+20<0,得 1<k<20,所以共有 18 项. 21?2 361 21 (2)因为 an=n2-21n+20=? 可知对称轴方程为 n= =10.5.又因 n∈N+, ?n- 2 ? - 4 , 2 故 n=10 或 n=11 时,an 有最小值,其最小值为 112-21× 11+20=-90. 10.已知函数 f(x)=2x-2 x,数列{an}满足 f(log2an)=-2n. - (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明数列{an}是递减数列. 【解】 (1)∵f(x)=2x-2 x,f(log2an)=-2n, - ∴2log2an-2-log2an=-2n, 1 ∴an- =-2n, an 2 ∴a2 n+2nan-1=0,解得 an=-n± n +1. ∵an>0,∴an= n2+1-n,n∈N+. an+1 (2)证明: = an n+ 2 2 +1- n+ n +1-n = n2+1+n n+ 2 +1+ n+ <1. ∵an>0,∴an+1<an, ∴数列{an}是递减数列. [能力提升] k 1.已知数列 an 的通项公式为 an=n+ ,若对任意 n∈N+,都有 an≥a3,则实数 k 的取 n 值范围为( A.[6,12] C.[5,12] ) B.(6,12) D.(5,12) k k 【解析】 由题意知 n+ ≥3+ 对任意 n∈N+恒成立. n 3 1 1? 3-n? - ≥3-n,即 k? 所以 k? n 3 ? ? ? 3n ?≥3-n, 当 n≥4 时,k≤3n,所以

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