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第一章 第3讲 命题与逻辑联结词_图文

时间:2012-10-30

第3讲 基本逻辑联结词与量词

1、了解逻辑联结词“或”,“且”,“非”的含义; 能用“或”,“且”,“非”表述相关的数学内 容. 2、理解全称量词与存在量词的意义; 能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容. 理解对含有一个量词的命题的否定的意义; 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1.简单的逻辑联结词 “且”“或”“非” 常用的简单的逻辑联结词有___________________,分别 ∧、∨、┓ 用符号__________表示. 同时 其含义:“且”是若干个简单命题______成立;“或” 是若干个简单命题中______有一个成立;“非”是对一个命 至少 否定 题的______(只否定结论).

2.量词 (1)短语“对所有的”或“对任意一个”在陈述语句中表示所 全称 述事物的全体,逻辑中通常叫做______量词,并用符号“? ”表 示.含有全称量词的命题叫做全称命题. (2)短语“存在一个”或“至少有一个”在陈述语句中表示事 物的个体或部分,逻辑中通常叫做______量词,并用符号“? ”表 存在 示.含有存在量词的命题叫做特称命题,或叫存在性命题. (3)全称命题 p:?x∈M,p(x);它的否定是____________. ?x∈M ┓p(x) 特称命题 q:?x0∈M,q(x0);它的否定是_?x0∈M ? q(x0)_.

【课前热身】(5分钟)

( D)

A.命题 p 一定是真命题 B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 一定是假命题 D.命题 q 可以是真命题也可以是假命题

2.命题“?x∈R,x2-2x+1<0”的否定是( C ) A.?x∈R,x2-2x+1≥0 B.?x∈R,x2-2x+1>0 C.?x∈R,x2-2x+1≥0 D.?x∈R,x2-2x+1<0

其中正确的是( D )

A.②③
C.①③④

B.①②④ D.①②③④

4.命题p:若a、b∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必 要条件;命题q:函数y= |x-1|-2的定义域是(-∞,-1]∪ [3,+∞),则 (D) A.“p或q”为假 C.p真q假 B.“p且q”为真 D.p假q真

解析:因为|a+b|≤|a|+|b|,所以|a|+|b|>1 是|a+b|>1 必要 不充分条件,即 p 假;由|x-1|-2≥0 解得 x≤-1 或 x≥3,即 q 真,因此选 D.

考点一 判断命题的“否定”的真假 写出下列命题的否定,并判断其真假. 1 2 x - x ? ? 0; ? (1)p:?x∈R,
4

(2)q:所有的正方形都是矩形;

? (3) r:?x∈R,x2+2x+2≤0;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0. 【分析】在全称命题和特称命题的否定中,应明确全 称量词与存在量词是如何对应转换的, 全称命题的否定

是特称命题,而特称命题的否定是全称命题.

【解析】 (1) ? p:?x∈R, ?

x2-x+

1 4

<0.(假)

这是由于?x∈R, ?

2-x+ 1 x

(2)? q:至少存在一个正方形不是矩形.(假) (3) ? r: x∈R,x2+2x+2>0.(真) (4) ? s: x∈R,x3+1≠0.(假)

1 2 =(x- ) ≥0恒成立. 4 2

【评析】命题的“否定”与一个命题的“否命题” 是两个不同的概念,对命题 p 的否定是否定命题所作 的判断, 而“否命题”是对“若p,则q”形式的命题 而言,既要否定条件也要否定结论.

【互动探究】

[2010·安庆联考] 已知命题 p:? x∈R,ax2 +2x+3>0.如果命题 p 是假命题,那么 a 的范围是( ) 1 1 A.a< B.0<a≤ 3 3 1 1 C.a≤ D.a≥ 3 3
2 命题“二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与 y 轴相交”的否定 形式是( ) A.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与 y 轴不相交 B.任意二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与 y 轴相交 C.存在二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与 y 轴相交 D.存在二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与 y 轴不相交

3 下列命题的否定形式正确的是( ) A.“? x∈R,x2 +2x+1>0”的否定是“? x∈R,x2 +2x +1<0” B.“有一个实数 a 不能取对数”的否定形式是“所有的 a 不能取对数” C.“有的菱形是正方形”的否定形式是“有的菱形不是正 方形” D.“每一个人都喜欢体育锻炼”的否定形式是“存在一个 人不喜欢体育锻炼”

[点评] (1)含量词的命题的否定,要遵循“换量词, 否结论”的原则.(2)正确区别命题的否定与否命题.(3)判 断“┓p”的真假,可以直接判断,也可以利用 p 与┓p 的真假 相反判断.对于某些省略了量词的命题的否定形式,应在充 分理解题意确定它是何种命题,然后再写否定形式.

考点 2

复合命题问题

【互动探究】 2. 已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数

都是负数,则下列命题中为真命题的是 ( D )

考点3

以含逻辑联结词的命题的真假为背景,求解参数

例 3 已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根,命 题 q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,若 p∨q 为假命题,求 实数 m 的取值范围.

[思路] 分别求出满足命题 p,q 的实数 a 的取值范围,然 后根据含逻辑联结词命题真假的判断准则,得出命题 p,q 的 真假情况,从而求得实数 a 的取值范围.

[解答] 命题 p 为真命题时,方程 x2+mx+1=0 有两 个不等的负根,则 x1+x2=-m<0,x1x2=1>0,且 Δ=m2 -4>0,解得 m>2; 命题 q 为真命题时,方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实 根,则 Δ=16(m-2)2-16<0,解得 1<m<3; ∵p∨q 为假命题,∴p,q 都是假命题,所以 m 所满 足的条件为{m|m≤2}∩{m|m≥3 或 m≤1}= {m|m≤1}, m 的 即 取值范围是{m|m≤1}.

【互动探究】

设p:

m?2 m?3

?

2 3

;q:关于x的不等式x2-4x+m2≤0 的解集

是空集,若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求

m的取值范围.
∵p∨q为真,p∧q为假,

∴p,q有且只有一个为真.
①若p真q假,则0≤m<3且-2≤m≤2, ∴0≤m≤2. ②若p假q真,则m<0或m≥3,同时m<-2或m>2, ∴m<-2或m≥3. ∴m的取值范围是(-∞,-2)∪[0,2]∪[3,+∞).

【走进高考】

1、[2010· 海南卷] 已知命题 p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数, 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(┓p1)∨p2 和 q4: p1∧(┓p2)中,真命题是( ) A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4
5 2 [2010· 常德模拟] 已知命题 p:?x∈R,使 sinx= ;命题 q: 2 ?x∈R,都有 x2+x+1<0.给出下列结论:①命题“p∧q”是真 命题;②命题“p∧┓q”是假命题;③命题“┓p∨q”是真命题; ④命题“┓p∨┓q”是真命题. 其中正确的是( ) A.②④ B.②③ C.③④ D.①②③

【课堂总结】

1.命题与集合之间可以建立对应关系,在这 样的对应下,逻辑联结词与集合的运算具有一致 性,命题的“且”“或”“非”恰好分别对应集 合的“交”“并”“补”.因此,可以从集合的 角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定. 2.全称命题与特称命题的关系 3命题的否定与否命题的区别 含量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”,即把 全称量词与存在量词互换,然后否定原命题的结论,对 于某些省略了量词的命题,可以在理解命题的基础上, 添上量词,再按规命题的否定.

否命题是把命题的条件和结论同时否定

1.命题的否定与否命题是完全不同的概念 (1) 任何命题均有否定 ,无论是真命题还是假命题 ; 而否命题仅针对命题“若p,则q”提出来的.

(2)命题的否定是原命题的矛盾命题,两者的真假性
必然是一真一假 ;而否命题与原命题可能是同真同 假, 也可能是一真一假.

2.一个命题的原命题与其逆否命题同真假;原命题的
逆命题与否命题互为逆否关系,也同真假.有时一个命题 的真假不易被判断时, 可以通过判断它的逆否命题的真

假,从而得知原命题的真假.
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全称量词和存在量词

4.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下: 正面词 等于(=) 语 大于 (>) 小于 (<) 不小 于(≥) 任意 的 某个 是 不是 所有 的 某些 都是 不都是

否定词 不大 不等于(≠) 于(≤) 语 正面 至多有 词语 一个 否定 至少有 词语 两个 至少有 一个 一个也 没有

一定 一定 不





5:p或q的否定为:非p且非q;p且q的否定为:非p或非q.


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