高考数学易错题解题方法大全

高考数学易错题解题方法总结
【范例 1】已知命题 p : ?x ? R ， x ? 2ax ? a ? 0 ．若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范
2

围是（

）

A． a ? 0或a

?1

B.

a ? 0或a ? 1

C. 0 ? a ? 1

D. 0 ? a ? 1

答案：D 【错解分析】此题容易错选为 B，错误的原因是没有很好的利用原命题与其否命题的关系。 【解题指导】命题 p 是假命题 ? ┓ p 是真命题 ? 对任意 x ? R ， x
2

? 2ax ? a ? 0 恒成立

? ? ? 4a 2 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 1.
【练习 1】若 “x ? 是假命题，则 x 的取值范围是（ ?2,5? 或 x ? ? x x ? 1或x ? 4?” ）

A． ?? ?,1? ? ?5,???

B.

?4,5?

C.

2? ?1，

D.

?? ?,4? ? ?5,???

【范例 2】若函数

f ( x) ?

k ? 2x (a为常数) 在定义域上为奇函数，则 k的值为 （ 1? k ? 2x
C. ? 1 D. 0

）

A． 1 答案：C

B. ? 1

【错解分析】此题容易错选为 A，错误原因是直接利用了 f (0) ? 0 ，万万不可。

【解题指导】利用定义： f (? x) ? f ( x) ? 0 ，

f ( x) ? f (? x) ?

k ? 2x k ? 2? x ? 1 ? k ? 2 x 1 ? k ? 2? x

仔细化简到底。 【练习 2】 已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? 3 , 3 ) 上的奇函数， 当 0 ? x ? 3 时， f ( x) 的图象如图所示， 则不等式

A． ( ? 3 , ? B． ( ? C． (

f / ( x)cos x ? 0 的解集是 ? ?
2 ) ? ( 0 ,1) ? (

（

） y

?
2

, ?1) ? ( 0 ,1) ? (

?

2 2

,3)

,3)

. 。
O

?
2

, 2) ( ?2, ? ) 2

?

。

1

2

3

x

D． (0,

?

2

) (?

?
2

, 0)

n 2 + 4 （ n ? N* ， 【范例 3】 右图是由所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序， 若 x 依次取数列 n

{

}

n≤2009）的项，则所得 y 值中的最小值为（
A．25 B.17 C. 20 D. 26

） Read x If x<5 Then y← x2+1 Else y←5x Print y

答案：B 【错解分析】此题容易错选为 A，错误原因是没有理解 x 的取值 范围。 【解题指导】 时最小 17.

?x 2 ? 1 x ? 5 n2 ? 4 4 ? n? ? 4 ， 又y?? 作出其图象， 观察单调性可知当 x ? 4 n n 5 x x ? 5 ?
T ←1 I←3 B.625 While I<50 T←T +I

本题在新的情境中考查学生算法语言，是比较好的创新能力试题，值得重视. 【练习 3】根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 T 为（ C.676 D.1275 ）A．624

【范例 4】当 a ? 1 时, f ?( x) ? 2 x ? a ? 1 且 f (0) ? a ,则不等式 f ( x) ? 0 的解集是（I←I +2 ） End While Print A． T

? a ? 1? ?x x ? ? 2 ? ?

B.

? x 1 ? x ? a?

C.

?x x ? a或x ? 1? D. {x | a ? x ? 1}

答案：D 【错解分析】此题容易错选为 B，错误原因是忘记了条件 a ? 1 。 【解题指导】

f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ? ( x ? 1)(x ? a) ? 0 .
）

【练习 4】 曲线 y ? x ln x 在 M (e, e) 处的切线在 x , y 轴上的截距分别为 a , b ， 则a ?b = （ A． ?

3 e 2

B． ?

1 e 2

C．

1 e 2

D．

3 e 2
b 有实根的概 x

【范例 5】利用计算机在区间 ? 0,1? 上产生两个随机数 a 和 b ，则方程 x ? 2 a ? 率为（ A．0 答案：B 【错解分析】此题容易出现的错误很多，主要是对方程 x ? 2 a ? 和利用作图计算几何概型理解不好。 【解题指导】方程 x ? 2 a ? ） B．

1 2

C．

3 4

D ．1

b 有实根进行有效的转化， x

b 2 有实根等价于 x ? 2 a x ? b ? 0 的判别式 ? ? 0 ，即 a ? b x

由?

?0 ? a ? 1 ，可作出正方形，应满足的条件为 a ? b ，画图计算面积之比. ?0 ? b ? 1

【练习 5】一只蚂蚁在边长分别为 5，12，13 的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点距 离都大于 1 的地方的概率为（ A. ）

4 5

B.

3 5

C.

? 60

D.

? 3
n? 2007

【范例 6】若数列

?an?,?bn? 、的通项公式分别是 an ? (?1)

(?1) n ? 2008 ， ? a ， bn ? 2 ? n
）

且 an A.

? bn ，对任意 n ? N ? 恒成立，则常数 a 的取值范围是（
B.

?? 2,1?

?? 2,???

C.

?? 2,1?

D.

?? ?,1?

答案：A 【错解分析】此题容易错在不知道讨论奇偶性，以及 n 是偶数时，要从 2 开始。 【解题指导】当 n 是奇数时，由 a n

1 ? bn 得 a ? 2 ? ， a ? 1 ； n 1 当 n 是偶数时，由 a n ? bn 得 ? a ? 2 ? ， ?a ? 2, a ? ?2 ， n
因此常数 a 的取值范围是

?? 2, 1? .

【练习 6】已知数列

?an ?的通项公式是 an ? ?n 2 ? ?n （其中 n ? N ? ）是一个单调递减数列，
） C. （-∞，0） D. （-∞，3） B. （-∞，2）

则常数 ? 的取值范围（ A. （-∞，1）

【范例 7】曲线 y ? 2 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) 和直线在 y ?
.

1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小 2

到大依次记为 P 1, P 2, P 3, ? ,则 P2 , P4 等于 答案：

?
? ，错误原因是想当然的认为 P2, P4 是半个周期。 2

【错解分析】此题容易错选为

【解题指导】 y ? 1 ? sin 2 x ，作出函数图象，知 P2 , P4 ? T ? ? . 【练习 7】 函数 f ( x ) ? 的最小值为

1 sin 2 x ， 对于任意的 x∈R， 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) ， 则 x1 ? x2 2
.

? x ? ，当 ? 取不同的正数时，在区间 ?0,1? 上它们的图像是一族美丽的曲线 ? ? （如图）．设点 A(1,0), B(0,1) ,连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y ? x , y ? x 的 图像三等分，即有 BM ? MN ? NA. 那么，??= . y
【范例 8】幂函数 y B M

N x A

答案：1 【错解分析】此题容易错很多，错误的主要原因是没有考虑到借助与点 M，N 的坐标去求两个 幂函数

y ? x? , y ? x ? 。
1 2 3 3 2 1 3 3

【解题指导】因为 M，N 为 A，B 的三等分点，所以 M ( , ), N ( , ) 【练习 8】如果幂函数

y ? (m2 ? 3m ? 3) x m
【范例 9】 A ? {x | x 求实数 a 的取值范围 答案： (??,3]
2

2

?m?1

的图象不过原点，则 m 的取值是

.

? 3x ?10 ? 0} ， B ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1} ， U ? R ，且 B ? CU A ，
.

【错解分析】此题容易错填 【解题指导】 CU A ? {x

??3,3? ，错误原因是漏掉考虑 A 为空集的情况。

x2 ? 3x ?10 ? 0} ? {x ?2 ? x ? 5}

或 ?2 ? a ? 1 ? 2a ? 1 ? 5 ? a ? 3 B? C 1 ? 2 a? 1 U A? a? 【练习 9】 设 p :| 4 x ? 3 |? 1; q : ( x ? a)(x ? a ? 1) ? 0 ， 若 p 是 q 的充分不必要条件， 则实数 a 的取值范围是 .

2 围成的三角形区域（包含边界）为 2 D，点 P( x, y) 为 D 内的一个动点，则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为 ．
【范例 10】设双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线与直线 x ? 答案：－

2 2

【错解分析】此题容易错填 值，而没有灵活掌握。

3 2 ，错误原因是死记住最高点时取到最大值，最低点时取到最小 2

【解题指导】这里 z ? x ? 2 y ，中间是减号，最小值在直线最高时取得。

? x? y ?0 ?2 x ? y ? 2 ? 【练习 10】若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则 a 的取值范围 ? y?0 ? ? x? y ?a
是 ． 则 MN y 2 ? x 上一点，N 是圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1上的动点， 的 【范例 11】 已知 M 是抛物线 最小值是 答案： .

11 ?1 2
MN 转化 M 为到焦点距离，以及考虑不到消元化归的思想。

【错解分析】此题容易错在没有将

【解题指导】如图，设 M 是

y 2 ? x 上一点，
的最小值即为

| MN | ? | NC |?| MC | ，所以 MN
点 M 到圆心 C 的距离减去半径 R 。 设 M(y
2

? ,? y ) 是抛物线 y 2 ? x 上一点，则

5 11 | MC |2 ? ( y 2 ? 3) 2 ? y 2 ? y 4 ? 5 y 2 ? 9 ? ( y 2 ? ) 2 ? ， 2 4
∴

y??

10 11 11 时， | MC | min ? ，∴ | MN | min ? ? 1? . 2 2 2

【练习 11】已知曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0? ,? b ? 0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60° a2 b2
.

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

【范例 12】某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3km（不超过 3km 按起步价 付费）；超过 3km 但不超过 8km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8km 时，超过部分 按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元。现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元， 则此次出租车行驶了__ ___km.

答案：9 【错解分析】此题容易错选为 10，错误原因是不能准确地列出乘坐一次出租车付费 y 与此次出 租车行驶的里程 x 之间的函数关系式。 【解题指导】乘坐一次出租车付费 y 与此次出租车行驶的里程 x 之间的函数关系式为

8 ?1 x ? 3 ? ? y ? ? 8 ? ( x ? 3) ? 2.15 ? 1 3 ? x ? 8 ?8 ? 5 ? 2.15 ? ( x ? 8) ? 2.86 ? 1 x ? 8 ?
【练习 12】一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 0.3mg/mL，在停止喝酒后，血 液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》 规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至 少经过 小时，才能开车？（精确到 1 小时）. 【范例 13】 高考数学试题中共有 10 道选择题，每道选择题都有 4 个选项，其中有且仅有一个 是正确的.评分标准规定：“每题只选 1 项，答对得 5 分，不答或答错得 0 分.” 某考生每道题都给 出了一个答案，已确定有 6 道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是 错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考 生： （1）得 50 分的概率； （2）得多少分的可能性最大； 【错解分析】此题容易错在审题不清，考虑不全等方面。 解：（1）得分为 50 分，10 道题必须全做对.

1 1 在其余的四道题中，有两道题答对的概率为 ，有一道题答对的概率为 ，还有一道答 2 3 1 1 1 1 1 1 对的概率为 ，所以得分为 50 分的概率为：P＝ ? ? ? ? . 4 2 2 3 4 48
（2）依题意，该考生得分的范围为｛30，35，40，45，50｝. 得分为 30 分表示只做对了 6 道题，其余各题都做错，所以概率为：

P 1 ?

1 1 2 3 6 1 ? ? ? ? ? ; 2 2 3 4 48 8

1 1 1 3 1 1 2 1 17 1 1 1 2 3 同样可以求得得分为 35 分的概率为： P2 ? C2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48
得分为 40 分的概率为： P3 ? 得分为 45 分的概率为： P4 ? 得分为 50 分的概率为： P5 ?

17 ; 48

7 ; 48
1 . 48

所以得 35 分或得 40 分的可能性最大. 【练习 13】某会议室用 3 盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同。假定每盏灯能 否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为 1 年以上的概率为 0.8，寿命为 2 年以上 的概率为 0.3，从使用之日起每满 1 年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换。 （1）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍和更换 2 只灯棍的概率； （2）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率； 【范例 14】已知椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ，直线 l : y ? x ? 2 与以原点 2 a b 3

为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆 C1 的方程； （2）设椭圆 C1 的左焦点为 F 1 ，右焦点 F2 ，直线 l1 过点 F 1 且垂直于椭圆的长轴，动直线 l 2 垂 直 l1 于点 P ，线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M ，求点 M 的轨迹 C2 的方程； （3）设 C2 与 x 轴交于点 Q ，不同的两点 R, S 在 C2 上，且满足 QR ? RS

? 0, 求 QS 的取值

范围. 【错解分析】直线与圆锥曲线的题目本身运算量就大，所以大家 应该从全局入手，确定方法在 下手，不能盲目去写，那样只能做无用功。 解（1）∵ e ?

3 c 2 a 2 ? b2 1 ,? e2 ? 2 ? ? ,? 2a 2 ? 3b2 3 a c2 3 2 2 2 ∵直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相切， 2 ? b,? b ? 2 , b 2 ? 2 ∴ a 2 ? 3 ∴ 2 x2 y2 ? ?1 ∴椭圆 C1 的方程是 3 2
（2）∵MP=MF2， ∴动点 M 到定直线 l1

: x ? ?1 的距离等于它到定点 F1（1，0）的距离，即动点 M 的轨迹是 C

为 l1 准线，F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为

y 2 ? 4x

2 y12 y2 , y1 ), S ( , y 2 ) （3）Q（0，0），设 R ( 4 4 2 2 2 y y ? y1 , y 2 ? y1 ) ∴ QR ? ( 1 , y1 ), RS ? ( 2 4 4 y 2 ( y 2 ? y12 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ∵ QR ? RS ? 0 ∴ 1 2 16 16 ∵ y1 ? y 2 , y1 ? 0 ，化简得 y 2 ? ?( y1 ? ) y1 256 2 2 ∴ y 2 ? y1 ? 2 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y1 256 2 2 当且仅当 y1 ? 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立 y1

2 y2 1 2 2 2 ∵ | QS |? ( ) 2 ? y2 ? ( y2 ? 8) 2 ? 64，又? y 2 ? 64 4 4

∴当

2 y2 ? 64, y2 ? ?8时， | QS |min ? 8 5，故 | QS | 的取值范围是 [8 5,??) 【练习 14】

设动点 P( x , y) ( y ? 0) 到定点 F (0, 1) 的距离比它到 x 轴的距离大 1， 记点 P 的轨迹为曲线 C . （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设圆 M 过 A (0, 2) ，且圆心 M 在曲线 C 上， EG 是 圆 M 在 x 轴上截得的弦，试探究当 M 运动时，弦长 否为定值？为什么？ 【范例 15】如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 a 的菱 形, ?DAB ? 60 , PD ? 平面 ABCD , PD ? AD .
?

EG 是

P

D

C

（1）求直线 PB 与平面 PDC 所成的角的正切值; （2）求二面角 A－PB－D 的大小. A B

【错解分析】交代清楚哪个角是我们要找的角，然后去证明，是大家容易忘记的地方，而不能 只有计算的结果。 解：（1）取 DC 的中点 E.

∵ABCD 是边长为 a 的菱形, ?DAB ? 60? ，∴BE⊥CD. ∵ PD ? 平面 ABCD , BE ? 平面 ABCD ，∴ PD ? BE. ∴BE⊥平面 PDC.∠BPE 为求直线 PB 与平面 PDC 所成的角. ∵BE=
BE 3 5 15 a ，PE= a ,∴ tan ?BPE = = . PE 2 2 5

（2）连接 AC、BD 交于点 O，因为 ABCD 是菱形，所以 AO⊥BD.

∵ PD ? 平面 ABCD , AO ? 平面 ABCD ，

∴ AO ? PD. ∴AO⊥平面 PDB.
作 OF⊥PB 于 F，连接 AF，则 AF⊥PB. 故∠AFO 就是二面角 A－PB－D 的平面角.

∵AO=

AO 2 3 = 6 .∴ ?AFO = arctan a ，∴ tan ?AFO ? a ，OF= OF 4 2

6.

【练习 15】 在正三角形 ABC 中， E、 F、 P 分别是 AB、 AC、 BC 边上的点， 满足

AE CF CP 1 ? ? ? EB FA PB 2

（如图 1）.将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置，使二面角 A1－EF－B 成直二面角，连结 A1B、 A1P（如图 2） （1）求证：A1E⊥平面 BEP； （2）求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小； （3）求二面角 B－A1P－F 的大小（用反三角函数表示）.

A

A1

E
Ｄ

F

Ｅ Ｆ

B
图1

P

C

Ｂ 图2

Ｐ

Ｃ

练习题参考答案： 1． C 11. 2． C 3． B 4． B 12. 5 5． A 6． D 7．

? 2

8． 1

[ 0, ] 9．

1 2

10. 0 ? a ? 1或a ?

4 3

?2? ,? ? ??

13. 解：（1）设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为 P2，需要列换 2 只灯棍 的概率为 p2 则
3 P 1 ? 0.8 ? 0.152

2 P2 ? C3 0.8(1 ? 0.8) 2 ? 0.096

（2）假设该盏灯需要更换灯棍的概率为 p，对该盏灯来说，设在第 1，2 次都更换了灯棍的概率 为 则

p3 ；在第一次未更换灯棍而在第二次需要更换灯棍的概率为 p4

p ? p3 ? p4 ? (1 ? 0.8) 2 ? 0.8(1 ? 0.3) ? 0.6;

14．解：（1）依题意知，动点 P 到定点 F (0, 1) 的距离等于 P 到直线 y ? ?1 的距离，曲线 C 是以原点为顶点， F (0, 1) 为焦点的抛物线
y x 2 =4y

M

A

x

∵ ∴

p ?1 2

∴ p?2
2

曲线 C 方程是 x

? 4y

（2）设圆的圆心为 M (a, b) ，∵圆 M 过 A (0, 2) ， ∴圆的方程为
2

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? a2 ? (b ? 2)2

令 y ? 0 得： x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 设圆与 x 轴的两交点分别为 ( x1 ,0) ， ( x2 ,0) 方法 1：不妨设 x1

? x2 ，由求根公式得

x1 ?

2a ? 4a 2 ? 16b ? 16 2a ? 4a 2 ? 16b ? 16 ， x2 ? 2 2
4a 2 ? 16b ? 16
2

∴ x1 ? x2 ?

又∵点 M (a, b) 在抛物线 x ∴

? 4 y 上，∴ a 2 ? 4b ，

x1 ? x2 ? 16 ? 4 ，即 EG ＝4 EG 为定值 4

∴当 M 运动时，弦长 〔方法 2：∵ x1 ? x2 ∴

? 2a ， x1 ? x2 ? 4b ? 4

( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 ? x2 ? (2a)2 ? 4(4b ? 4) ? 4a2 ?16b ? 16
2

又∵点 M (a, b) 在抛物线 x ∴当 M 运动时，弦长

? 4 y 上，∴ a 2 ? 4b ， ∴ ( x1 ? x2 )2 ? 16

x1 ? x2 ? 4

EG 为定值 4〕

15．解：不妨设正三角形 ABC 的边长为 3，则 （1）在图 1 中，取 BE 中点 D ，连结 DF ， 则∵

A E C F C P1 ? ? ? , EB F A P B2
0

∴ AF ? AD ? 2 而 ?A ? 60 ，即△

ADF 是正三角形 又∵ AE ? ED ? 1 , ∴ EF ? AD
∴在图 2 中有 A1E ? EF , BE ? EF , ∴ ?A 1EB 为二面角 A 1? EF ? B 的平面角

∵二面角 A 1? EF ? B 为直二面角, 又∵ BE

∴ A1E ? BE

EF ? E , ∴ A1E ⊥平面 BEF ,即 A1E ⊥平面 BEP .

（2）由（1）问可知 A1E⊥平面 BEP，BE⊥EF,建立如图的坐标系，则Ｅ（0，0，0），A1 （0，0，1）B（2，0，0），F（0，0， ＤＥ// FP 且ＤＥ＝FP 故点Ｐ的坐标Ｐ（1，

3 ）.在图１中，不难得到ＥF//ＤP 且ＥF＝ＤP；

3 ，0）

∴ A1 B ? (2,0, ?1) ， BP ? (?1, 不妨设平面 A1BP 的法向量 n 1

3,0) ， EA1 ? (0,0,1)

? ? A1 B ? n 1 ? 2 x ? z ? 0 ? ( x, y, z) ，则 ? ? ? BP ? n 1 ? x ? 3 y ? 0
n 1 ? EA1 | n 1 | ? | EA1 | ? 6 3 ? 2 1? 4 3

令

y ? 3 得 n1 ? (3, 3,6) ∴ cos ? n 1 , EA1 ??

故直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小为 （3） 由 （2） 问可知平面 A1BP 的法向量 n1 设平面 AEP 的法向量 n 2

? . 3
? (3, 3,6) ，A1F ? (0, 3, ?1) ，FP ? (1,0,0)

? ? A1F ? n 2 ? 3 y ? z ? 0 ? ( x, y, z) ，则 ? ? ? BP ? n 1 ? x ? 0
n1 ? n 2 21 7 ? ? | n1 | ? | n 2 | 4 3 ? 2 3 8

令

y ? 3 得 n 2 ? (0, 3,3) 故 cos ? n 1 , n 2 ??

显然二面角 B－A1P－F 为钝角

故二面角 B－A1P－F 为 ? ? arccos

7 . 8