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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 11.3 几何概型

时间:2015-08-26


§ 11.3

几何概型

1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模 型为几何概率模型,简称为几何概型. 2.几何概型中,事件 A 的概率的计算公式 P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性. 4.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似 值的方法就是模拟方法. (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步骤 是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代 M 表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N;③计算频率 fn(A)= 作为所求概率的近似 N 值. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ ) (2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每 一点被取到的机会相等.( √ ) )

(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ )

(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) 1 (6)从区间[1,10]内任取一个数,取到 1 的概率是 P= .( × 9 )

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1.在线段[0,3]上任投一点,则此点坐标小于 1 的概率为( 1 1 1 A. B. C. D.1 2 3 4 答案 B

)

解析 坐标小于 1 的区间为[0,1],长度为 1,[0,3]区间长度为 3, 1 故所求概率为 . 3 2. (2014· 辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中, 其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( π A. 2 π C. 6 答案 B 解析 设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A, 1 2 π·1 阴影面积 2 π 则 P(A)= = = . 长方形面积 1×2 4 3.(2014· 福建)如图,在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子,有 180 粒落到阴影部分, 据此估计阴影部分的面积为________. π B. 4 π D. 8 )

答案 0.18 解析 由题意知,这是个几何概型问题, S阴 180 = =0.18, S正 1 000 ∵S 正=1,∴S 阴=0.18. 4.(2013· 山东)在区间[-3,3]上随机取一个数 x 使得|x+1|-|x-2|≥1 成立的概率为________. 答案 1 3

解析 由绝对值的几何意义知: 使|x+1|-|x-2|≥1 成立的 x 值为 x∈[1,3], 由几何概型知所求 3-1 2 1 概率为 P= = = . 3+3 6 3

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题型一 与长度、角度有关的几何概型 π 1 例 1 (1)在区间[-1,1]上随机取一个数 x,求 cos x 的值介于 0 到 之间的概率. 2 2 (2)如图所示, 在△ABC 中, ∠B=60° , ∠C=45° , 高 AD= 3, 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率. π 解 (1)如图,由函数 y=cos x 的图象知, 2

2 2 当-1<x<- 或 <x<1 时, 3 3 π 1 0<cos x< . 2 2 由概率的几何概型知: 2 3 1 π 1 cos x 的值介于 0 到 之间的概率为 = . 2 2 2 3 (2)因为∠B=60° ,∠C=45° ,所以∠BAC=75° , 在 Rt△ABD 中,AD= 3,∠B=60° , AD 所以 BD= =1,∠BAD=30° . tan 60° 记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,使 BM<1”,则可得∠BAM<∠BAD 时事 件 N 发生. 30° 2 由几何概型的概率公式,得 P(N)= = . 75° 5 思维升华 几何概型有两个特点:一是无限性;二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽

管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型 的概率. (1)(2014· 湖南)在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为( 4 A. 5 2 C. 5 3 B. 5 1 D. 5 )

(2)在半径为 1 的圆内的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过圆内 接等边三角形边长的概率是________.

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1 答案 (1)B (2) 2 3 解析 (1)在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1,即-2≤X≤1 的概率为 P= . 5 (2)记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”,如图,不妨在过等边三角形 BCD 的顶 点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦,当弦为 CD 时,就是等边三 角形的边长(此时 F 为 OE 中点), 弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距 离小于 OF,由几何概型公式得: 1 ×2 2 1 P(A)= = . 2 2 题型二 与面积、体积有关的几何概型
? ?0≤x≤2, 例 2 (1)设不等式组? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到 ?0≤y≤2 ?

坐标原点的距离大于 2 的概率是( π-2 4-π π π A. B. C. D. 4 2 6 4

)

(2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内 随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. 思维点拨 求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比. 2 答案 (1)D (2) 3 解析 (1)如图所示, 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D, 且区域 D 的面积为 4, 而阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域.易知 4-π 该阴影部分的面积为 4-π.因此满足条件的概率是 ,所以选 D. 4 (2)先求点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率,圆柱的体积 V
圆柱



1 4 2 π×12×2=2π,以 O 为球心,1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球= × π×13= π.则点 2 3 3 2 π 3 1 1 2 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为 = , 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1- = . 2π 3 3 3 思维升华 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法.用图解题的关键:用图

形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式, 构成事件A的区域的测度 在图形中画出事件 A 发生的区域,通用公式:P(A)= . 试验的全部结果所组成的区域的测度 (1)在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为 a,b,则函数 f(x)=x2+2ax-b2

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+π2 有零点的概率为( π A.1- 8 π C.1- 2

) π B.1- 4 3π D.1- 4

(2)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. π 答案 (1)B (2)1- 12 解析 (1)由函数 f(x)=x2+2ax-b2+π2 有零点, 可得 Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0,整理得 a2+b2≥π2, 如图所示,(a,b)可看成坐标平面上的点, 试验的全部结果构成的区域为 Ω={(a,b)|-π≤a≤π,-π≤b≤π}, 其面积 SΩ=(2π)2=4π2. 事件 A 表示函数 f(x)有零点, 所构成的区域为 M={(a,b)|a2+b2≥π2}, 即图中阴影部分,其面积为 SM=4π2-π3,
2 3 SM 4π -π π 故 P(A)= = 2 =1- ,所以选 B. SΩ 4π 4

1 4 2 (2)V 正=23=8,V 半球= × π×13= π, 2 3 3 V半球 2π π = = , V正 8×3 12 π 故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为 1- . 12 题型三 生活中的几何概型问题 例 3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是 等可能的.如果甲船停泊时间为 1 h,乙船停泊时间为 2 h,求它们中的任意一艘都不需要等 待码头空出的概率. 思维点拨 当基本事件受两个连续变量控制时,一般是把两个连续变量分别作为一个点的横

坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决. 解 这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y,A 为“两船都不 需要等待码头空出”,则 0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲 比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上,即 y-x≥1 或 x-y≥2.故所求事件构成集合 A ={(x,y)|y-x≥1 或 x-y≥2,x∈[0,24],y∈[0,24]}.

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A 为图中阴影部分,全部结果构成集合 Ω 为边长是 24 的正方形及其内 部. A的面积 所求概率为 P(A)= = Ω的面积 = 506.5 1 013 = . 576 1 152 1 1 ?24-1?2× +?24-2?2× 2 2 242

思维升华 生活中的几何概型度量区域的构造方法: (1)审题:通过阅读题目,提炼相关信息. (2)建模:利用相关信息的特征,建立概率模型. (3)解模:求解建立的数学模型. (4)结论:将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论. (2014· 重庆)某校早上 8: 00 开始上课, 假设该校学生小张与小王在早上 7: 30~7: 50 之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到 校的概率为________.(用数字作答) 答案 9 32

解析 在平面直角坐标系中画出由小王(x)和小张(y)到校的时间对应的点(x, y)所构成的平面区 域,再画出小张比小王至少早到 5 分钟对应的点(x,y)所构成的平面区域,计算出两区域的面 积,利用几何概型的概率公式计算即可.设小王到校时间为 x,小张到校时间为 y,则小张比 小王至少早到 5 分钟时满足 x-y≥5.如图,原点 O 表示 7:30,在平面直角坐标系中画出小王 和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域),该正方形区域的面积为 400,小张比小 225 2 1 225 王至少早到 5 分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为 ×15×15= , 故所求概率 P= = 2 2 400 9 . 32

混淆长度型与面积型几何概型致误

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典例:(12 分)在长度为 1 的线段上任取两点,将线段分成三段,试求这三条线段能构成三角形 的概率. 易错分析 不能正确理解题意,无法找出准确的几何度量来计算概率. 规范解答 解 设 x、y 表示三段长度中的任意两个. 因为是长度,所以应有 0<x<1,0<y<1,0<x+y<1, 即(x,y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点,如图 所示.[4 分] 要形成三角形,由构成三角形的条件知 x+y>1-x-y, ? ? ?1-x-y>x-y, ? ?1-x-y>y-x, 1 1 1 所以 x< ,y< ,且 x+y> ,故图中阴影部分符合构成三角形的条件.[8 分] 2 2 2 1 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的 , 4 1 故这三条线段能构成三角形的概率为 .[12 分] 4 温馨提醒 解决几何概型问题的易误点: (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型,导致错误. (2)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否具有等可能性,导致错误.

方法与技巧 1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个. 2.转化思想的应用 对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型 概率公式. (1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在坐标轴上即可; (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本 事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型; (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基 本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型. 失误与防范

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1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键; 2.几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.(2014· 陕西)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小 于该正方形边长的概率为( 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 答案 C 6 解析 取两个点的所有情况为 10 种,所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种,概率为 = 10 3 .故选 C. 5 p 1 2.设 p 在[0,5]上随机地取值,则方程 x2+px+ + =0 有实根的概率为( 4 2 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 答案 C p 1? 解析 一元二次方程有实数根?Δ≥0, 而 Δ=p2-4? 解得 p≤-1 或 p≥2, ?4+2?=(p+1)(p-2), [0,5]∩{?-∞,-1]∪[2,+∞?}的长度 3 故所求概率为 P= = . 5 [0,5]的长度 1 3.在区间[-1,4]内取一个数 x,则 2x-x2≥ 的概率是( 4 1 1 2 3 A. B. C. D. 2 3 5 5 答案 D 1 解析 不等式 2x-x2≥ ,可化为 x2-x-2≤0, 4 则-1≤x≤2, 2-?-1? 3 故所求概率为 = . 4-?-1? 5 4.已知△ABC 中,∠ABC=60° ,AB=2,BC=6,在 BC 上任取一点 D,则使△ABD 为钝角 三角形的概率为( 1 A. 6 ) 1 B. 3 ) ) )

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1 C. 2 答案 C

2 D. 3

解析 如图,当 BE=1 时,∠AEB 为直角,则点 D 在线段 BE(不包含 B、 E 点)上时,△ABD 为钝角三角形;当 BF=4 时,∠BAF 为直角,则点 D 在线段 CF(不包含 C、F 点)上时,△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为 1+2 1 钝角三角形的概率为 = . 6 2 5.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半 圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( 2 A.1- π 2 C. π 答案 A 解析 设分别以 OA,OB 为直径的两个半圆交于点 C,OA 的中点为 D,如 图,连接 OC,DC. 不妨令 OA=OB=2, 则 OD=DA=DC=1. π 1 π 1 ? 在以 OA 为直径的半圆中,空白部分面积 S1= + ×1×1-? ?4-2×1×1?= 4 2 1, 所以整体图形中空白部分面积 S2=2. 1 又因为 S 扇形 OAB= ×π×22=π, 4 所以阴影部分面积为 S3=π-2. π-2 2 所以 P= =1- . π π 6.已知集合 A={α|α= nπ ,n∈Z},若从 A 中任取一个元素均可作为直线 l 的倾斜角,则直线 9 1 1 B. - 2 π 1 D. π )

的斜率小于零的概率是________. 答案 4 9

π 2π 解析 由于倾斜角范围为[0,π),故当 0≤n≤8 时,集合 A 中共有 9 个解,分别为 0, , , 9 9 3π 4π 5π 6π 7π 8π 5π 6π 7π 8π , , , , , .其中当 α 为 , , , 时,此时 α 为钝角,直线 l 的斜率小于 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 零.

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4 故直线 l 的斜率小于零的概率 P= . 9 5 7. (2013· 湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x, 若 x 满足|x|≤m 的概率为 , 则 m=________. 6 答案 3 解析 由|x|≤m,得-m≤x≤m. 2m 5 当 m≤2 时,由题意得 = ,解得 m=2.5,矛盾,舍去. 6 6 m-?-2? 5 当 2<m<4 时,由题意得 = ,解得 m=3. 6 6 即 m 的值为 3. x2 y2 8.在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的 m n 椭圆的概率是________. 答案 1 2

x2 y2 解析 ∵方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴m>n. m n 如图,由题意知,在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m,n),点 Q 落在阴影部分 的概率即为所求的概率,易知直线 m=n 恰好将矩形平分, 1 ∴所求的概率为 P= . 2 9.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的 1 1 距离大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家看书.则 2 4 小波周末不 在家看书的概率为________. . 13 答案 16 1 π×12-π×? ?2 2 3 解析 ∵去看电影的概率 P1= = , 2 4 π×1 1 π×? ?2 4 1 去打篮球的概率 P2= = , π×12 16 3 1 13 ∴不在家看书的概率为 P= + = . 4 16 16 10.已知向量 a=(-2,1),b=(x,y). (1)若 x, y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两 次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a· b=-1 的概率; (2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足 a· b<0 的概率.

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解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为 6×6=36(个); 由 a· b=-1 有-2x+y=-1, 所以满足 a· b=-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共 3 个; 3 1 故满足 a· b=-1 的概率为 = . 36 12 (2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为 Ω={(x, y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 满足 a· b<0 的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且-2x+y<0}; 画出图形如图, 矩形的面积为 S 矩形=25, 1 阴影部分的面积为 S 阴影=25- ×2×4=21, 2 21 故满足 a· b<0 的概率为 . 25 B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) x≤0, ? ? ? ?x+y≤1, 11.(2014· 湖北)由不等式组?y≥0, 确定的平面区域记为 Ω1,不等式组? 确 ?x+y≥-2 ? ? ?y-x-2≤0 定的平面区域为 Ω2,在 Ω1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω2 内的概率为( 1 A. 8 3 C. 4 答案 D 解析 如图,平面区域 Ω1 就是三角形区域 OAB,平面区域 Ω2 与平面区域 Ω1 的重叠部分就是 区域 OACD, S四边形OACD 1 3 易知 C(- , ),故由几何概型的概率公式,得所求概率 P= 2 2 S△OAB 1 2- 4 7 = = . 2 8 12.一个长方体空屋子,长,宽,高分别为 5 米,4 米,3 米,地面 三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计),可捕捉距其一米空间内 的苍蝇,若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入,并在房间内盘旋,则苍蝇被捕捉的概率 是( ) 1 B. 4 7 D. 8 )

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π π π π A. B. C. D. 180 150 120 90 答案 C 解析 屋子的体积为 5×4×3=60 米 3, 1 4 π 捕蝇器能捕捉到的空间体积为 × π×13×3= . 8 3 2 π 2 π 故苍蝇被捕捉的概率是 = . 60 120 13.已知点 A 在坐标原点,点 B 在直线 y=1 上,点 C(3,4),若 AB≤ 10,则 △ABC 的面积大于 5 的概率是( 19 A. 24 5 C. 24 答案 C 3 解析 设 B(x,1),根据题意知点 D( ,1), 4 1 5 7 13 若△ABC 的面积小于或等于 5, 则 ×DB×4≤5,即 DB≤ ,此时点 B 的横坐标 x∈[- , ], 2 2 4 4 而 AB≤ 10, 所以点 B 的横坐标 x∈[-3,3],所以△ABC 的面积小于或等于 5 的概率为 7 3-?- ? 4 19 P= = , 6 24 5 所以△ABC 的面积大于 5 的概率是 1-P= . 24 S 14.在面积为 S 的△ABC 内部任取一点 P,△PBC 的面积大于 的概率为________. 4 答案 9 16 ) 1 B. 3 5 D. 27

解析 如图,假设当点 P 落在 EF 上时(EF∥BC),恰好满足△PBC 的面积 S 等于 , 4 PG 1 作 PG⊥BC,AH⊥BC,则易知 = .符合要求的点 P 可以落在△AEF 内的 AH 4 S△AEF 9 任意处,其概率为 P= = . S△ABC 16 15.平面内有一组平行线,且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚半径为 1 cm 的硬币任意投 掷在这个平面内,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________.

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答案 解析 1 为 . 3

1 3 如图所示,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不与任何一条平行线相碰,故所求概率

16.如图所示,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1), C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点. (1)求这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2)求这 3 点与原点 O 共面的概率. 解 从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果是 x 轴上取 2 个点的有 A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,共 4 种; y 轴上取 2 个点的有 B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,共 4 种; z 轴上取 2 个点的有 C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共 4 种; 所选取的 3 个点在不同坐标轴上有 A1B1C1, A1B1C2, A1B2C1, A1B2C2, A2B1C1, A2B1C2, A2B2C1, A2B2C2,共 8 种. 因此,从这 6 个点中随机选取 3 个点的所有可能结果共 20 种. (1)选取的这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有 A1B1C1,A2B2C2, 2 1 共 2 种,因此,这 3 个点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为 P1= = . 20 10 (2)选取的这 3 个点与原点 O 共面的所有可能结果有 A1A2B1, A1A2B2, A1A2C1, A1A2C2, B1B2A1, B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,共 12 种,因此,这 3 个点与原 12 3 点 O 共面的概率为 P2= = . 20 5

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