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2013高考文科试题解析分类汇编:圆锥曲线

时间:2015-05-01

2013 高考文科试题解析分类汇编:圆锥曲线
x2 y 2 1.(2013 辽宁,文 11)已知椭圆 C: 2 ? 2 =1 (a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的 a b 4 直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 5
为( ). A.

3 5

B.

5 7

C.

4 5

D.

6 7

答案:B 解析:如图所示,根据余弦定理,|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|BF||AB|cos∠ABF,即|AF|=6, 又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB||BF|cos∠ABF,即|OF|=5.又根据椭圆的对称性,|AF|+|BF|=2a =14,∴a=7,|OF|=5=c,所以离心率为

5 ,故选 B. 7

2.(2013 安徽,文 21)(本小题满分 13 分)已知椭圆 C: 4,且过点 P( 2 , 3 ). (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的焦距为 a 2 b2

(2)设 Q(x0, y0)(x0y0≠0)为椭圆 C 上一点. 过点 Q 作 x 轴的垂线, 垂足为 E.取点 A(0, 2 2 ), 连接 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG. 问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 解: (1)因为焦距为 4, 所以 a2-b2=4.又因为椭圆 C 过点 P( 2 , 3 ), 所以 故 a2=8,b2=4,从而椭圆 C 的方程为

2 3 ? ?1, a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1. 8 4 (2)由题意,E 点坐标为(x0,0).设 D(xD,0),则 AE =(x0, ?2 2 ), AD =(xD, ?2 2 ). AD =0,即 xDx0+8=0. 再由 AD⊥AE 知, AE · 8 由于 x0y0≠0,故 xD= ? . x0
因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,所以点 G ? 故直线 QG 的斜率 kQG=

?8 ? ,0? . x ? 0 ?

y0 x0 ? 8 x0

?

x0 y0 . x0 2 ? 8
1

又因 Q(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 2 2 x0 +2y0 =8.① 从而 kQG= ?

x0 . 2 y0
x0 ? 8? ? x ? ? .② 2 y0 ? x0 ?

故直线 QG 的方程为 y ? ?

将②代入椭圆 C 方程,得 (x02+2y02)x2-16x0x+64-16y02=0.③ 再将①代入③,化简得 x2-2x0x+x02=0. 解得 x=x0,y=y0,即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点. 3.(2013 福建,文 4)双曲线 x2-y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( A.

).

1 2

B.

2 2

C.1

D. 2

答案:B 解析:x2-y2=1 的渐近线方程为 y=±x,顶点坐标为(±1,0),点(±1,0)到 y=±x 的距 离为

| ?1| 1 2 . ? ? 2 2 2
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦 a 2 b2

4.(2013 福建,文 15)椭圆 Γ:

距为 2c.若直线 y= 3 (x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1, 则该椭圆的 离心率等于__________. 答案: 3 ? 1 解析:∵由 y= 3 (x+c)知直线的倾斜角为 60° , ∴∠MF1F2=60° ,∠MF2F1=30° . ∴∠F1MF2=90° . ∴MF1=c,MF2= 3 c. 又 MF1+MF2=2a, ∴c+ 3 c=2a,即 e ?

2 ? 3 ?1. 3 ?1

5.(2013 福建,文 20)(本小题满分 12 分)如图,抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆 C 与准线 l 交 于不同的两点 M,N.

(1)若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|;
2

(2)若|AF|2=|AM|· |AN|,求圆 C 的半径. 2 解:(1)抛物线 y =4x 的准线 l 的方程为 x=-1. 由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2), 所以点 C 到准线 l 的距离 d=2, 又|CO|= 5 ,
2 2 所以|MN|= 2 | CO | ? d ? 2 5 ? 4 =2.

?y2 ? ? y2? y4 y2 2 (2)设 C ? 0 , y0 ? ,则圆 C 的方程为 ? x ? 0 ? +(y-y0)2= 0 +y0 ,即 x2- 0 x+ 4 ? 16 2 ? 4 ? ?
y2-2y0y=0. 由 x=-1,得 y2-2y0y+1+ 设 M(-1,y1),N(-1,y2),

2

y0 2 =0, 2

? ? y0 2 ? 2 2 ? ? 4 y ? 4 1 ? ? ? ? ? 2 y0 ? 4 ? 0, 0 2 ? ? ? 则? 2 y ? y1 y2 ? 0 ? 1. ? ? 2
由|AF|2=|AM|· |AN|,得|y1y2|=4,

y0 2 +1=4,解得 y0 ? ? 6 ,此时 Δ>0. 2 ? ?3 ? ?3 所以圆心 C 的坐标为 ? , 6 ? 或 ? , ? 6 ? . ? ?2 ? ?2 33 33 33 从而|CO|2= ,|CO|= ,即圆 C 的半径为 . 4 2 2
所以 6.(2013 广东,文 9)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 的方程是(
2

1 ,则 C 2

).

x y2 ? ?1 A. 3 4 x2 y 2 ? ?1 C. 4 2

x2 y 2 ? ?1 4 3 x2 y 2 ? ?1 D. 4 3
B.

答案:D 解析:由中心在原点的椭圆 C 的右焦点 F(1,0)知,c=1. 又离心率等于

由 b2=a2-c2=3,

1 c 1 ,则 ? ,得 a=2. 2 a 2

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 C 的方程为 4 3
7 . (2013 湖北,文 2) 已知 0 < θ <

π x2 y2 ? =1 与 C2 : ,则双曲线 C1 : 4 sin 2? cos 2 ?

y2 x2 ? ? 1 的( cos 2 ? sin 2 ?
A.实轴长相等 C.离心率相等

). B.虚轴长相等 D.焦距相等
3

答案:D 解析:对于 θ∈ ? 0,

? ?

π? 2 2 ? ,sin θ+cos θ=1,因而两条双曲线的焦距相等,故选 D. 4?

x2 y 2 8.(2013 湖南,文 14)设 F1,F2 是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点.若 a b
在 C 上存在一点 P,使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为__________. 答案: 3 ? 1

解析:如图所示, ∵PF1⊥PF2,∠PF1F2=30° , 可得|PF2|=c. 由双曲线定义知, |PF1|=2a+c, 由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 得 4c2=(2a+c)2+c2,即 2c2-4ac-4a2=0, 即 e2-2e-2=0, ∴e ?

2?2 3 ,∴ e ? 1 ? 3 . 2

x2 9.(2013 湖南,文 20)(本小题满分 13 分)已知 F1,F2 分别是椭圆 E: +y2=1 的左、 5
右焦点,F1,F2 关于直线 x+y-2=0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点. (1)求圆 C 的方程; (2)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a,b,当 ab 最大时,求直 线 l 的方程. 解:(1)由题设知,F1,F2 的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆 C 的半径为 2,圆心为原点 O 关于直线 x+y-2=0 的对称点.

? y0 ? 1, ? ? x0 ? 2, ? x0 设圆心的坐标为(x0,y0),由 ? 解得 ? ? y0 ? 2. ? x0 ? y0 ? 2 ? 0 ? ?2 2
所以圆 C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=4. (2)由题意,可设直线 l 的方程为 x=my+2,则圆心到直线 l 的距离 d ? 所以 b ? 2 2 ? d ?
2 2

| 2m | 1 ? m2

.

4 1 ? m2

.

? x ? my ? 2, ? 由 ? x2 得(m2+5)y2+4my-1=0. 2 ? ? y ?1 ?5
4

设 l 与 E 的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1+y2= ?

4m 1 ,y1y2= ? 2 . 2 m ?5 m ?5
2 2 2 2 2

于是 a ? ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? = ?1 ? m ?? y1 ? y2 ?
2

= ?1 ? m ?[? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ] = ?1 ? m ? ?
2

? 16m2 4 ? ? 2 ? 2 2 ? ? m ? 5? m ? 5 ?

2 5 ? m 2 ? 1? = . m2 ? 5
从而 ab= =

8 5 ? m2 ? 1 8 5 ? m2 ? 1 ? m2 ? 5 ? m2 ? 1? ? 4
8 5 4

m2 ? 1 8 5 ?2 5. ≤ 4 2 2 m ?1 ? m2 ? 1 4 2 当且仅当 m ? 1 ? ,即 m ? ? 3 时等号成立. m2 ? 1 故当 m=± 3时,ab 最大,此时,直线 l 的方程为 x= 3 y+2 或 x= ? 3 y+2, 即 x- 3 y-2=0,或 x+ 3 y-2=0.
10.(2013 大纲全国,文 8)已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直 于 x 轴的直线交 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为( ).

m2 ? 1 ?

x2 +y2=1 2 x2 y 2 ? ?1 C. 4 3
A. 答案:C

x2 y 2 ? ?1 3 2 x2 y 2 ? ?1 D. 5 4
B.

解析:如图,|AF2|= 由椭圆定义得 |AF1|=2a-

1 3 |AB|= ,|F1F2|=2, 2 2

3 .① 2
5

?3? 2 ? +2 .② ?2? x2 y 2 ? ? 1 ,应选 C. 由①②得 a=2,∴b2=a2-c2=3.∴椭圆 C 的方程为 4 3 x2 y2 5 11.(2013 课标全国Ⅰ,文 4)已知双曲线 C: 2 ? 2 =1 (a>0,b>0)的离心率为 , a b 2
在 Rt△AF1F2 中,|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2= ? 则 C 的渐近线方程为( ). B.y= ? D.y=± x

2

1 x 4 1 C.y= ? x 2
A.y= ? 答案:C 解析:∵ e ?

1 x 3

c2 5 c 5 5 ,∴ ? ,即 2 ? . a 4 a 2 2 2 b 1 b 1 ∵c2=a2+b2,∴ 2 ? .∴ ? . a 2 a 4 b ∵双曲线的渐近线方程为 y ? ? x , a 1 ∴渐近线方程为 y ? ? x .故选 C. 2
12.(2013 山东,文 22)(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中 心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)A,B 为椭圆 C 上满足△AOB 的面积为

2 . 2

6 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 4

OE 交椭圆 C 于点 P.设 OP = tOE ,求实数 t 的值. 解:(1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? =1 (a>b>0), a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 2 ?c 由题意知 ? ? , 2 ?a ?2b ? 2, ? 解得 a= 2 ,b=1. x2 因此椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2
(2)当 A,B 两点关于 x 轴对称时, 设直线 AB 的方程为 x=m, 由题意 ? 2 <m<0 或 0<m< 2 .

x2 将 x=m 代入椭圆方程 +y2=1, 2

6

得|y|=

2 ? m2 . 2

2 ? m2 6 . ? 2 4 3 1 解得 m2= 或 m2= .① 2 2 1 1 又 OP = tOE = t OA ? OB = t (2m,0)=(mt,0), 2 2 ? mt ?2 因为 P 为椭圆 C 上一点,所以 =1.② 2 4 由①②得 t2=4 或 t2= . 3 2 3 又因为 t>0,所以 t=2 或 t= . 3
所以 S△AOB=|m|

?

?

当 A,B 两点关于 x 轴不对称时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+h.

x2 将其代入椭圆的方程 +y2=1, 2
得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由判别式 Δ>0 可得 1+2k2>h2, 此时 x1+x2= ?

4 kh 2h 2 ? 2 , x x = , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2h y1+y2=k(x1+x2)+2h= , 1 ? 2k 2
所以|AB|= 1 ? k = 2 2 1? k
2
2

? x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

1 ? 2k 2 ? h2 . 1? 2 ? k 2
|h| 1? k 2


因为点 O 到直线 AB 的距离 d= 所以 S△AOB= =

1 |AB|d 2

1 1 ? 2k 2 ? h 2 ? 2 2 1? k 2 2 1 ? 2k 2

|h| 1? k 2

1 ? 2k 2 ? h 2 | h|. 1 ? 2k 2 6 又 S△AOB= , 4 1 ? 2k 2 ? h 2 6 所以 2 .③ | h |? 2 1 ? 2k 4
= 2

令 n=1+2k2,代入③整理得 3n2-16h2n+16h4=0,

7

解得 n=4h2 或 n=

4 2 h , 3 4 2 h .④ 3

即 1+2k2=4h2 或 1+2k2= 又 OP = tOE =

1 t OA ? OB 2 1 ht ? ? 2kht = t (x1+x2,y1+y2)= ? ? , , 2 2 ? 2 ? 1 ? 2k 1 ? 2 k ?
因为 P 为椭圆 C 上一点, 所以 t ? ? ?
2

?

?

?1 ?

2kh ? ? h ? ?? 2 ? 2 ? 2 1 ? 2 k ? ? ? 1 ? 2k ? ? ?

2

2

? ? ?1, ? ?



h2 t 2 ? 1 .⑤ 1 ? 2k 2

4 , 3 2 3 又知 t>0,故 t=2 或 t= . 3
将④代入⑤得 t2=4 或 t2= 经检验,适合题意. 综上所得 t=2 或 t=

2 3 . 3
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为__________. 16 9

13.(2013 陕西,文 11)双曲线 答案:

5 4

x2 y 2 ? ? 1 中,a=4,b=3, 16 9 c 5 则 c= 16 ? 9 =5,∴ e ? ? . a 4
解析:在双曲线 14.(2013 陕西,文 20)(本小题满分 13 分)已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4 的距离是它 到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A,B 两点,若 A 是 PB 的中点,求直线 m 的斜 率. (1)解:设 M 到直线 l 的距离为 d,根据题意,d=2|MN|.

2 2 由此得 |4 ? x| ? 2 ? x ? 1? ? y ,

化简得

x2 y 2 ? ? 1, 4 3
8

所以,动点 M 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)解法一:由题意,设直线 m 的方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).

x2 y 2 ? ? 1 中, 将 y=kx+3 代入 4 3

有(3+4k2)x2+24kx+24=0, 其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0, 由求根公式得,x1+x2= ? x1x2=

24k ,① 3 ? 4k 2

24 .② 3 ? 4k 2 8k 12 2 , x1 ? , 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

又因 A 是 PB 的中点,故 x2=2x1,③ 将③代入①,②得 x1 ? ?
2

3 12 ? ?8k ? 2 可得 ? ,且 k ? , ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 4k ? 3 ? 4k 3 3 3 3 解得 k ? ? 或 k ? ,所以,直线 m 的斜率为 ? 或 . 2 2 2 2
解法二:由题意,设直线 m 的方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). ∵A 是 PB 的中点,

x2 ,① 2 3 ? y2 y1 ? .② 2 x12 y12 ? ? 1 ,③ 又 4 3 x2 2 y2 2 ? ? 1 ,④ 4 3
∴ x1 ? 联立①,②,③,④解得 ?

? x2 ? 2, ? x2 ? ?2, 或? ? y2 ? 0 ? y2 ? 0,
3 3 或 . 2 2
). C. 3 D.1

即点 B 的坐标为(2,0)或(-2,0), 所以,直线 m 的斜率为 ?

15.(2013 四川,文 5)抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- 3 y=0 的距离是( A. 2 3 答案:D B.2

解析:y2=8x 的焦点为 F(2,0),它到直线 x- 3 y=0 的距离 d=

2 =1.故选 D. 1? 3

9

16.(2013 四川,文 9)从椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为 a 2 b2

左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是 坐标原点),则该椭圆的离心率是( ). A.

2 4

B.

1 2

C.

2 2
? ? b2 a

D.

3 2

答案:C 解析:由题意知 A(a,0),B(0,b),P ? ? c , ∵AB∥OP,

? ?, ?

b2 b ? ? .∴b=c. ∴? ac a
∵a2=b2+c2,∴ e ?
2

c2 1 ? . a2 2

∴e ?

2 .故选 C. 2
2

x2 y2 17.(2013 天津,文 11)已知抛物线 y =8x 的准线过双曲线 2 ? 2 =1 (a>0,b>0)的 a b
一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为__________. 答案 x ?
2

解析:抛物线 y2=8x 的准线为 x=-2,则双曲线的一个焦点为(-2,0),即 c=2,离心

y2 ?1 3

c y2 2 ? 1. =2,故 a=1,由 a2+b2=c2 得 b2=3,所以双曲线的方程为 x ? a 3 x2 y 2 18.(2013 天津,文 18)(本小题满分 13 分)设椭圆 2 ? 2 =1 (a>b>0)的左焦点为 F, a b 3 4 3 离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 3
率 e= (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 分别为椭圆的左、 右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若

DB + AD · CB =8,求 k 的值. AC · c 3 解:(1)设 F(-c,0),由 ? ,知 a ? 3c . a 3

( ?c ) 2 y 2 ? 2 ? 1 ,解得 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x =- c ,代入椭圆方程有 a2 b 6b y?? , 3 2 6b 4 3 ? 于是 ,解得 b= 2 , 3 3 又 a2-c2=b2,从而 a= 3 ,c=1, x2 y2 ? =1 . 所以椭圆的方程为 3 2
(2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1),
10

? y ? k ? x ? 1?, ? 由方程组 ? x 2 y 2 消去 y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. ?1 ? ? 2 ?3 6k 2 3k 2 ? 6 求解可得 x1+x2= ? , x x = . 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 因为 A( ? 3 ,0),B( 3 ,0), 所以 AC · DB + AD · CB =(x1+ 3 ,y1)· ( 3 -x2,-y2)+(x2+ 3 ,y2)· ( 3 -x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2 =6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2

2k 2 ? 12 . 2 ? 3k 2 2k 2 ? 12 由已知得 6 ? =8, 2 ? 3k 2 解得 k= ? 2 .
=6? 18.(2013 浙江,文 9)如图,F1,F2 是椭圆 C1:

x2 +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点, 4

A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是 ( ).

A. 2 答案:D

B. 3

C.

3 2

D.

6 2

解析:椭圆 C1 中,|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c= 2 3 .又四边形 AF1BF2 为矩形, ∴∠ F1AF2= 90° ,∴ |AF1|2 + |AF2|2 = |F1F2|2 ,∴ |AF1|= 2 ? 2 , |AF2|= 2 ? 2 ,∴双曲线 C2 中,2c= 2 3 ,2a=|AF2|-|AF1|= 2 2 ,故 e ?

3 6 ,故选 D. ? 2 2

19.(2013 重庆,文 10)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O,所成 的角为 60° 的直线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是这对直线与 双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ).

?2 3 ? 2? ? 3 , ? ? ?2 3 ? , ? ? C. ? ? ? 3 ? ? ?
A. ? 答案:A

B. ? D. ?

?2 3 ? , 2? ? ? 3 ?

?2 3 ? , ? ?? ? ? 3 ?

11

解析:不妨令双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0),由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对 a 2 b2

称性知 A1,A2,B1,B2 关于 x 轴对称,如图.

又∵满足条件的直线只有一对, ∴tan 30° < ∴

b 3 b ≤tan 60° ,即 ? ? 3. a 3 a

1 b2 ? ? 3. 3 a2

4 1 c2 ? a2 ? ? 3 ,即 <e2≤4. 2 3 3 a ?2 3 ? 2 3 2 ? .故选 A. ∴ <e≤2,即 e∈ ? ? 3 , 3 ? ?
∵b2=c2-a2,∴ 20.(2013 重庆,文 21)(本小题满分 12 分,(1)小问 4 分,(2)小问 8 分.)如图,椭圆的 中心为原点 O,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 两点,|AA′|=4.

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,A′ 2

(1)求该椭圆的标准方程; (2)取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P,P′,过 P,P′作圆心为 Q 的圆,使 椭圆上的其余点均在圆 Q 外. 求△PP′Q 的面积 S 的最大值, 并写出对应的圆 Q 的标准方程.

4 ??c ?2 22 ? 2 ? 1.从而 e2+ 2 =1. 解:(1)由题意知点 A(-c,2)在椭圆上,则 2 b a b 2 4 b 2 2 ? 8 ,从而 a 2 ? ? 16 . 由e ? 得b ? 2 1? e 1 ? e2 2 x2 y 2 ? ? 1. 故该椭圆的标准方程为 16 8
(2)由椭圆的对称性,可设 Q(x0,0). 又设 M(x,y)是椭圆上任意一点,则
12

|QM|2=(x-x0)2+y2 =x2-2x0x+x02+ 8 ? 1 ?

? ?

x2 ? ? 16 ?



1 (x-2x0)2-x02+8(x∈[-4,4]). 2

设 P(x1,y1),由题意,P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点,因此,上式当 x=x1 时取最小 值, 又因 x1∈(-4,4),所以上式当 x=2x0 时取最小值,从而 x1=2x0,且|QP|2=8-x02. 由对称性知 P′(x1,-y1),故|PP′|2=|2y1|, 所以 S=

1 |2y1||x1-x0| 2

? x12 ? 1 = ? 2 8 ?1 ? ? |x0 | 2 ? 16 ?
= 2 ? 4 ? x0 ? x0
2
2

2

= 2 ?? x0 ? 2 ? ? 4 .
2

当 x0 ? ? 2 时,△PP′Q 的面积 S 取到最大值 2 2 . 此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q( ? 2 ,0),半径 |QP| ? 8 ? x0 ?
2

6,

因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+ 2 )2+y2=6,(x- 2 )2+y2=6.

13


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