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2015-2016学年四川省绵阳市高二下学期期末考试数学文试题(扫描版)_图文

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高中 2014 级第二学年末教学质量测试 数学(文科)参考答案及评分意见 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1~5 BDACB 6~10 CABDC x 11~12 AA 12.解析:原题意等价于方程 a =x3 恰有两个不同的解.当 0<a<1 时,y=ax 与 y=x3 的图 象只有一个交点,不符合题意.当 a>1 时,y=ax 与 y=x3 的图象在 x∈(-∞,0)上没有交 点,所以只考虑 x>0 ,于是可两边同取自然对数,得 xlna=3lnx ,即 lna= g(x)= 3 ln x ,令 x 3 ln x 3 ? 3 ln x , 则 g ?( x) ? , 于是当 x∈(0, e)时, g(x)单增, 且当 x<1 时, 当 g(x)<0, x x2 3 ,即 1<a< e e . e 3 x∈(e,+∞)时,g(x)单减且 g(x)>0.∴要有两个交点,0<lna< g(e)= 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 13. 3 2 14.1 15.2 16.3 三、解答题(每小题 10 分,共 40 分) 17.解:由已知有要使 p 正确,则必有 Δ=(-a)2-4a<0,解得 0<a<4.…………………2 分 由 x?3 ≥0,可得 x≤-3,或 x>2, x?2 ∴ 要使 q 正确,则 a>2.………………………………………………………………4 分 由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题可知,p 和 q 有且只有一个正确.………5 分 若 p 真 q 假,则 0<a≤2;………………………………………………………………7 分 若 p 假 q 真,则 a≥4. …………………………………………………………………9 分 2] ? [4 , ? ?) . ………………………………………10 分 ∴ 所求 a 的取值范围为 (0 , 18.解: (1) f ?( x) =-4x3+3ax2+bx=-x(4x2-3ax-b),………………………………………2 分 ∵ 函数 f (x)的单调递减区间为(0, 1 ),(1,+∞), 2 1 ,x3=1,………………………………3 分 2 ∴ 方程-x(4x2-3ax-b)=0 的根为 x1=0,x2= 即 4x2-3ax-b =0 的根为 x2= 于是 1 ,x3=1, 2 b 1 3a 1 = +1,- = ,解得 a=2,b=-2,…………………………………………5 分 4 2 4 2 (2)由(1)知,f (x)=-x4-2x3+x2, f ?( x) =-2x(2x-1)(x-1), x (-∞,0) + ↗ 0 0 极大值 (0, - 1 ) 2 1 2 0 极小值 ( 1 ,1) 2 + ↗ 1 0 极大值 (1,+∞) ↘ f ?( x) f (x) ↘ …………………………………………………………………………7 分 ∴ f (x)在[0, 1 1 ]上单调递减,在[ ,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减, 2 2 又∵ f (0)=0,f (1)=0, ∴ f (x)在[0,2]有最大值 0.…………………………………………………………10 分 19.解:(1)f (x)的定义域为(0,+∞), 由 f (x)= ? x 2 -lnx,得 f ?( x) =- 1 8 1 1 x- ,……………………………………………1 分 4 x ∴ f ?( x) <0,于是 f (x)在(0,+∞)上是减函数;……………………………………3 分 (2)由(1)知,切线 l 的斜率为 f ?(t ) ? ? t ? ,t>0, ∴ f ?(t ) ? ? t ? ≤-2 ∵ 0<t<2, ∴ f ?(t ) <-1,即切线的斜率范围为(-∞,-1), ∴ l 的倾斜角 θ 的取值范围为( 1 4 1 t 1 4 1 t 1 1 1 1 t ? =-1,(当且仅当 t ? ,即 t=2 时取“=”) 4 t 4 t ? 2 , 3? ).…………………………………………6 分 4 (3)曲线 y= f (x)在 x=t 处的切线方程为 y ? f ?(t )( x ? t ) ? f (t ) . 设 g ( x) ? f (x)-[ f ?(t )( x ? t ) ? f (t ) ],则 g ?( x) ? f ?( x) ? f ?(t ) , 于是 g(t)=0, g ?(t ) ? 0 . 设 h(x)= g?( x) ? ? x ? 1 4 1 1 1 ? f ?(t ) ,则当 x∈(0,2)时, h?( x) ? ? ? 2 >0, x 4 x ∴ g ?( x) 在(0,2)上是增函数,且 g ?(t ) ? 0 , ∴ 当 x∈(0,t)时, g ?( x) <0,g(x)在(0,t)上是减函数; 当 x∈(t,2)时, g ?( x) >0,g(x)在(t,2)上是增函数, 故当 x∈(0,t)或 x∈(t,2),g(x)>g(t)=0, ∴ 当且仅当 x=t 时,f(x)= f ?(t )( x ? t ) ? f (t ) , 即当 x∈(0,2)时,曲线 y=f(x)与 l 有且仅有一个公共点.………………………10 分 以下是选做题,考生只需在第 20、21、22 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分. 20.(1)证明:∵ CD//AP, ∴ ∠APE=∠ECD, ∵ ∠EDF=∠ECD, ∴ ∠APE=∠EDF. 又∵ ∠DEF=∠AEP, ∴ △DEF∽△PEA.……………………………………………………………………5 分 (2)解:∵ ∠EDF=∠ECD,∠CED=∠FED, ∴ △DEF∽△CED, ∴ DE∶EC=EF∶DE,即 DE2=EF?EC, ∵ DE=6,

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