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【课堂新坐标】高中数学北师大版必修五练习:2.2三角形中的几何计算(含答案解析)

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学业分层测评(十三) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 → → → → → 1.在△ ABC 中,|BC|=3,|CA|=5,|AB|=7,则CB· CA的值为( 3 A.- 2 3 B. 2 C.- 15 2 D. 15 2 ) → → → |CA|2+|BC|2-|AB|2 52+32-72 1 【解析】 由余弦定理 cos C= = =- , → → 2× 5× 3 2 2|CA|· |BC| → → → → ?-1? ∴CB· CA=|CB|· |CA|cos C=3× 5× ? 2? 15 =- . 2 【答案】 C 2.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 asin B· cos C+csin Bcos A= 1 b,且 a>b,则 B=( 2 π A. 6 2π C. 3 ) π B. 3 5π D. 6 【解析】 由正弦定理可得 sin Asin Bcos C+sin Csin B· 1 cos A= sin B, 2 1 1 所以 sin(A+C)= ,即 sin B= , 2 2 π 但 B 不是最大角,所以 B= . 6 【答案】 A 3.E,F 是等腰直角△ ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ∠ECF=( ) 图 224 16 A. 27 2 B. 3 C. 3 3 3 D. 4 1 2 【解析】 设 AC=1,则 AE=EF=FB= AB= . 3 3 由余弦定理得 CE=CF = AE 2+AC 2-2AC· AEcos 45° = 5 , 3 CE 2+CF 2-EF 2 4 所以 cos∠ECF= = , 2CE· CF 5 sin∠ECF tan∠ECF= = cos∠ECF 【答案】 D 4.如图 225,在△ ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD, 则 sin C 的值为( ) 4?2 1-? ?5? 4 5 3 = . 4 图 225 A. C. 3 3 6 3 B. D. 3 6 6 6 2c 4c ,BC= , 3 3 【解析】 设 AB=c,则 AD=c,BD= 4 c2+c2- c2 3 1 在△ ABD 中,由余弦定理得 cos A= = . 2c2 3 4c 3 2 2 c BC 6 则 sin A= ,在△ ABC 中,由正弦定理得 = = ,解得 sin C= . 3 sin C sin A 2 2 6 3 【答案】 D 5.(2016· 宝鸡高二检测)若△ ABC 的周长为 20,面积为 10 3,A=60° ,则 a 等于( A.5 C.7 B.6 D.8 ) 1 1 3 【解析】 S= bcsin A= bc· =10 3,∴bc=40, 2 2 2 1 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bc· , 2 ∴a2=(20-a)2-120, ∴a=7. 【答案】 C 二、填空题 6.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,sin A,sin B,sin C 成等比 数列,且 c=2a,则 cos B 的值为________. 【解析】 因为 sin A,sin B,sin C 成等比数列, 所以 sin2B=sin A· sin C,由正弦定理得 b2=ac,又 c=2a,故 cos B= 4a2+a2-2a2 3 = . 4a2 4 【答案】 3 4 a2+c2-b2 = 2ac 7.在△ ABC 中,AB= 3,点 D 是 BC 的中点,且 AD=1,∠BAD=30° ,则△ ABC 的 面积为________. 【解析】 ∵D 为 BC 的中点,∴S△ ABC=2S△ ABD 1 1 3 =2× × |AB||AD|· sin∠BAD=2× × 3× 1× sin 30° = . 2 2 2 【答案】 3 2 8. 如图 226 所示, 已知圆内接四边形 ABCD 中 AB=3, AD=5, BD=7, ∠BDC=45° , 则 BC=________. 图 226 3 +5 -7 1 【解析】 cos A= =- , 2× 3× 5 2 ∴A=120° , BC 7 ∴C=60° .从而 = , sin 45° sin 60° 7sin 45° 7 2 7 6 ∴BC= = = . sin 60° 3 3 【答案】 7 6 3 2 2 2 三、解答题 9.如图 227,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60° , ∠BCD=135° ,求 BC 的长. 图 227 【解】 在△ BAD 中,设 BD=x. 则 BA2=BD2+AD2-2BD· AD· cos∠BDA, 即 142=x2+102-2× 10xcos 60° ,解得 x=16,即 BD=16, 又 BC BD = , sin∠CDB sin∠BCD 16 · sin 30° =8 2. sin 135° ∴BC= C A 3 10.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 acos2 +ccos2 = b. 2 2 2 (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 B=60° ,b=4,求△ ABC 的面积. 1+cos C 1+cos A 3 C A 【解】 (1)证明:acos2 +ccos2 =a· +c· = b, 2 2 2 2 2 即 a(1+cos C)+c(1+cos A)=3b. 由正弦定理得 sin A+sin Acos C+sin C+cos Asin C=3sin B, 即 sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B, ∴sin A+sin C=2sin B, 由正弦定理得 a+c=2b,所以 a,b,c 成等差数列. (2)由 B=60° ,b=4,及余弦定理得 4

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