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高中数学必修一集合的含义及其表示教案

时间:2012-05-25


第一章 1.1 集合 1.1.1

集合与函数概念 集合的含义及其表示

教学目的: (1)初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法; (2)初步了解“属于”关系的意义; (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义; 教学重点:集合的含义与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合。 教学过程: 一、问题引入: 我家有爸爸、妈妈和我; 我来自燕山中学; 省溧中高一(1)班; 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征,归纳出集合的含义。 二、建构数学: 1.集合的概念:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合(set) 。集合常用 大写的拉丁字母来表示,如集合 A、集合 B?? 集合中的每一个对象称为该集合的元素(element),简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表 示。如 a、b、c、p、q?? 指出下列对象是否构成集合,如果是,指出该集合的元素。 (1)我国的直辖市; (2)省溧中高一(1)班全体学生; (3)较大的数 (4)young 中的字母; (5)大于 100 的数; (6)小于 0 的正数。 2.关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此,同 一集合中不应重复出现同一元素。 (3)无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照习惯 的由小到大的数轴顺序书写。
3.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记作 a ∈ A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A ,记作 a ? A ( “∈”的开口方向,不能把 a∈A 颠倒过来写 )
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4.有限集、无限集和空集的概念:
5.常用数集的记法: (1)非负整数集(自然数集) :全体非负整数的集合 记作 N, N ? ?0,1,2, ??
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(2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集 记作 N*或 N+
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N* ?? 1,2,3, ??

? 1, ? 2, ?? (3)整数集:全体整数的集合 记作 Z , Z ? ?0,
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(4)有理数集:全体有理数的集合 记作 Q ,
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? Q ? ?整数与分数
(5)实数集:全体实数的集合 记作 R
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?的 R ?? 数 轴 上 所 有 点 所 对数 应

注: (1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数 0 (2)非负整数集内排除 0 的集 记作 N*或 N+ Q、Z、R 等其它数集内排除 0 的集,也是这样 表示,例如,整数集内排除 0 的集,表示成 Z* 6.集合的表示方法:集合的表示方法,常用的有列举法和描述法
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(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2, 5y3-x,x2+y2},?;各元素之间用逗号分开。 (2)描述法:把集合中的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成 {x | p( x)} 的形式。 (3)韦恩(Venn)图示意 7.两个集合相等:如果两个集合所含的元素完全相同,则称这两个集合相等。

三、数学运用: 1.例题: 例 1.用列举法和描述法表示方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集。 答案:列举法: {?1,3} 描述法: {x | x ? x2 ? 2x ? 3, x ? R} 例 2.下列各式中错误的是 (1){奇数}= {x | x ? 2k ? 1, k ? Z} ( )

(2) {x | x ? N *,| x |? 5} ? {1, 2,3, 4} (4) ?3?3 ? N

?x ? y ? 1 (3) {( x, y) | ? } ? {(2, ?1), (?1, 2)} ? xy ? ?2
答案: (4) 例 3.求不等式 2 x ? 3 ? 5 的解集 答案: {x | x ? 4, x ? R}

例 4.求方程 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的所有实数解的集合。 答案: ? 例 5.已知 M ? {2, a, b}, N ? {2a, 2, b2} ,且 M ? N ,求 a , b 的值
1 1 答案: a ? 0, b ? 1 或 a ? , b ? 4 2

例 6.已知集合 A ? ? x ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R? ,若集合 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范 围.

【思路分析】本题主要考查元素与集合之间的关系,以及集合的表示法.由描述法可知集合 A 是关于 x 的方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 的实数解集,首先考虑方程是不是一元二次方程. 1 解:当 a ? 0 时,方程只有一个根 ? ,则 a ? 0 符合题意; 2 2 当 a ? 0 时,则关于 x 的方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 是一元二次方程,由于集合 A 中至多有一个元素,则一 元二次方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个相等的实数根或没有实数根,所以△= 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? ?1 . 综上所得,实数 a 的取值范围是 ?a a ? 0或a ? ?1? .
答案: a a ? 0或a ? ?1 2.练习:

?

?

(1)请学生各举一例有限集、无限集、空集。 (2)用列举法表示下列集合: ① {x | x 是 15 的正约数} ③ {( x, y) | x ? y ? 2, x ? 2 y ? 4} ② {( x, y) | x ?{1, 2}, y ?{1, 2}} ④ {x | x ? (?1)n , n ? N}

*⑤ {( x, y) | 3x ? 2 y ? 16, x ? N , y ? N}
8 2 答案:① {1,3,5,15} ② {(1,1),(1, 2),(2,1),(2, 2)} ③ {( , ? )} ④ {?1,1} ⑤ {(2,5),(4, 2)} 3 3

(3)用描述法表示下列集合: ① {1, 4,7,10,13} ; ② {?2, ?4, ?6, ?8, ?10}

答案:① {x | x ? 1 ? 3k , k ? 1, 2,3, 4} ② {x | x ? ?2k , k ? 1, 2,3, 4,5} 四、课堂练习
1. 下列说法正确的是 A. ?1, 2? , ?2,1? 是两个集合 C. ? x ? Q | B. ?(0, 2)? 中有两个元素
2 D. x ? Q | 且x ? x ? 2 ? 0 是空集

(

)

? ?

6 ? ? N ? 是有限集 x ?

?

?

2.将集合 ?x | ?3 ? x ? 3且x ? N? 用列举法表示正确的是 A. ??3, ?2, ?1,0,1, 2,3? C. ?0,1,2,3? B. ??2, ?1,0,1, 2? D. ?1, 2,3?

(

)

3.给出下列4个关系式: 3 ? R,0.3 ? Q,0 ? N ? ,0 ??0? 其中正确的个数是( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

)

4.方程组 ?

?x ? y ? 2 的解集用列举法表示为____________. ?x ? y ? 5

2 5.已知集合A= 0,1, x ? x 则 x 在实数范围内不能取哪些值___________.

?

?

6 .( 创 新 题 ) 已 知 集 合 S ? ?a, b, c? 中 的 三 个 元 素 是 ?ABC 的 三 边 长 , 那 么 ?ABC 一 定 不 是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

五、回顾小结: 1.集合的有关概念 2.集合的表示方法 3.常用数集的记法 六、课外作业: 一、选择题 1.下列元素与集合的关系中正确的是(
1 A. ? N 2

) C.|-3|?N* D.-3.2?Q

B.2?{x?R|x≥ 3 }

2.给出下列四个命题: (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合; (3)1,
3 6 1 , , ? ,0.5 这些数字组成的集合有 5 个元素; 2 4 2

(4)集合{(x,y)|xy≤0,x,y?R}是指第二象限或第四象限内的点的集合. 以上命题中,正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 ) )

3.下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={(2,3)} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={1,2},N={2,1}

4.已知 x?N,则方程 x2 ? x ? 2 ? 0 的解集为(

)

A.{x|x=-2}

B. {x|x=1 或 x=-2}

C. {x|x=1}

D.? ) D.9

5.已知集合 M={m?N|8-m?N},则集合 M 中元素个数是( A.6 二、填空题 6.用符号“?”或“?”填空: 0_______N, 5 ______N, 16 ______N. B.7 C.8

7.用列举法表示 A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,x?Z}为_______________. 8.用描述法表示集合“方程 x2-2x+3=0 的解集”为_____________. 9.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一集合?________ 10.已知集合 P={x|2<x<a,x?N},已知集合 P 中恰有 3 个元素,则整数 a=_________. 三、解答题 11.已知集合 A={0,1,2},集合 B={x|x=ab,a?A,b?A}. (1)用列举法写出集合 B; (2)判断集合 B 的元素和集合 A 的关系.

12.已知集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合,求实数 a、b 的值.

13.(探究题)下面三个集合:① ? x | y ? x 2 ? 2? ,② ? y | y ? x 2 ? 2? ,③ ?( x, y ) | y ? x 2 ? 2? (1)它们是不是相同的集合? (2)试用文字语言叙述各集合的含义.

第一章集合与函数的概念 1.1.1 集合的含义与表示 【课堂练习】

1.D

2. C

3.B

4. ?? , ? ? ?

?? 7 ?? 2

3 ?? 2 ??

5. x ? 0,1,

1? 5 2

6.D

【课后作业】 选择题 1-5 BADCC 填空题 6. ? ? ? 解答题 11. B ? {0,1,2,4} 集合 A 中的元素都在集合 B 中。 12.(1)若 a ? ?1, b ? ?b ? 0 (2)若 a ? ?b, b ? ?1则a ? 1(不合题意,舍去) 13.(1)不是 (2)集合①是指自变量 x 的取值范围,是全体实数; 集合②是指函数值 y 的取值范围,与集合 ? y | y ? ?2? 相等 集合③是抛物线 y ? x ? 2 上的点所构成的集合。
2

7.

?2,4,5?

8.

?x | x

2

? 2 x ? 3 ? 0?

9.是 10. 6

综上 a ? ?1, b ? 0

§1.1.1 集合的含义与表示
一. 教学目标: l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具:投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. (二)研探新知 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面 9 个实例: (1)1—20 以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形; (5)海南省在 2004 年 9 月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的所有实数根;
2

(8)不等式 x ? 3 ? 0 的所有解; (9)国兴中学 2004 年 9 月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这 9 个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出 9 个实例的特征,并给出集合的 含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出:集合常用大写字母 A,B,C,D,?表示,元素常用小写字母 a, b, c, d ?表示. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有什么特点?并注意个别辅导,解答学生疑难.使学 生明确集合元素的三大特性, 即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相

等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于 3 小于 11 的偶数; (2)我国的小河流. 让学生充分发表自己的建解. 3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子, 并说明理由.教师对学生的学习活动给予 及时的评价. 4.教师提出问题,让学生思考 (1)如果用 A 表示高—(3)班全体学生组成的集合,用 a 表示高一(3)班的一位同学, b 是高一(4)班的一位同学, 那么 a , b 与集合 A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A . 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A . (2)如果用 A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合,则中国.日本与集合 A 的关系分别是什么?请用数学 符号分别表示. (3)让学生完成教材第 6 页练习第 1 题. 5.教师引导学生回忆数集扩充过程,然后阅读教材中的相交内容,写出常用数集的记号.并让学生完成习题 1.1A 组第 1 题. 6.教师引导学生阅读教材中的相关内容,并思考.讨论下列问题: (1)要表示一个集合共有几种方式? (2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对象是什么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法? 使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。 (四)巩固深化,反馈矫正 教师投影学习: (1)用自然语言描述集合{1,3,5,7,9}; (2)用例举法表示集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 8} (3)试选择适当的方法表示下列集合:教材第 6 页练习第 2 题. (五)归纳整理,整体认识 在师生互动中,让学生了解或体会下例问题: 1.本节课我们学习过哪些知识内容? 2.你认为学习集合有什么意义? 3.选择集合的表示法时应注意些什么? (六)承上启下,留下悬念 1.课后书面作业:第 13 页习题 1.1A 组第 4 题. 2. 元素与集合的关系有多少种?如何表示?类似地集合与集合间的关系又有多少种呢?如何表示?请同学们通 过预习教材.


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