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高考中常见圆锥曲线题型及解法分析

时间:2015-04-01


2 0 1 4年 第 7 期 

中学数 学月 刊 

?  4 9   ?  

高考 中常见圆锥 曲线题型 及解 法分析 
孙 辉  陈  闯  ( 江 苏省泗 洪 中学  2 2 3 9 0 0 )  

l   高考 定 位 


 ̄ / ( z一 4 )  + . y  一 ̄ /   。 +4 . 得  一8 x(  ≠ 0 ) .  
当0   在 Y轴上 时 , o   与 O重 合 , 点O  的坐标  ( 0 , O ) 也 满足 方程  一8 x . 所 以动 圆 圆心 的轨 迹  C的方 程 为 。 一8 x .   评注  直 接法 求 动 点 的轨 迹 方程 的一 般 步 
骤 :  

圆锥 曲线是 高 考 考查 的重 点 内容 , 在 高考 中  般 有 1~ 2道填 空题 , 一道解 答题 . 填 空题 有针 

对地 考查 圆锥 曲线 的定 义 、 标 准 方 程 和 简单 几 何 

性质 及其 应用 , 主要 针对 圆锥 曲线本 身 , 综合 性较 
小, 试 题难 度一 般不 大 ; 解 答题 主要 以 圆和 圆锥 曲  

线 为基本 依托 , 考查 椭 圆方程 的求解 、 直 线与 曲线  的位 置关 系等 , 除 了本身 知识 的综合 , 还 会与 其他 

( 1 )建 系 ——一 建立 适 当 的坐 标 系 ;   ( 2 ) 设 点 —— 设 轨迹 上 的任 意一 点 P(  ,  ) ;  

知识 如 函数 、 不等 式 、 向量 等知 识构 成综 合题 .  

2   应 对 策略 


( 3 )列式 —— 列 出动 点 P所满 足 的关 系式 ;   ( 4 )代换 —— 依 条件 式 的特 点 , 选 用 距离 公  式、 斜 率公 式等将 其 转化 为  , Y的方程 , 并 化简 ;  
( 5 ) 证 明 — — 证 明所 求方 程 即为符 合条 件 的 
动点 轨迹 方程.  

要 熟练 掌握 圆 、 椭圆、 双 曲线 、 抛 物线 的基 

础 知识 、 基本 方 法 , 在 抓 住通 性 通 法 的 同时 , 要 训 

练利 用代 数 方 法 解 决 几 何 问题 的运 算 技 巧 和 能  力. 二要 熟悉 圆锥 曲线 的几何 性质 , 重点 掌握 直线 
与 圆锥 曲线相 关 问题 的基 本求 解 方 法 与 策 略 , 提 

注意  ① 建 系要符 合最 优化 原则 ; ② 求 轨迹  与求 轨迹 方程 不 同 , 轨迹 通常 指 的是 图形 , 而轨迹 

高 运用 函数 与方程 思 想 来 解决 问题 的能 力. 三要 
在 二轮 复 习中熟练 掌握 圆锥 曲线 的通性 通法 和基 
本 知识.  

方程 则是 代数 表 达 式 ; ③ 化 简 是 否 同解 变 形 , 是  否满 足题 意 , 验 证特 殊点 是否 成立 等.  
例2  ( 2 0 1 3年辽 宁理 2 0 ) 如 图1 , 抛 物线 C . :   z  一4 y, C 2 :   一一2 p y ( P> 0 ) , 点 M( x   o ,  o ) 在 

3   常 见 题 型 
3 . 1   轨 迹 问题 

抛物 线 C  上 , 过 M作c  的切线 , 切 点为 A, B( M 

求 轨迹 方程 的常用 方法 :  

为原 点 。时 , A, B重 合 于 0) ,  。 一 1一√ 2, 切 线 
1  

( 1 ) 直接法 : 将 几 何 关 系 直 接 转 化成 代 数 方 
程.  

MA 的斜 率 为 一 ÷ .  
( 1 ) 求 p的值 ;  
( 2 )当 M 在 C   上 运 动 
Y 

( 2 ) 定义法 : 满 足 的条 件 恰 适 合某 已 知 曲线 

的定义 , 用待 定 系数法 求方 程.  
( 3 )相关 点 法 : 把 所 求 动 点 的坐 标 与 已 知 动  点 的坐标建 立联 系.   ( 4 )交轨 法 : 写 出两 条 动 直 线 的 方 程 直 接 消 

时, 求线 段 A B 中点 N 的轨  迹 方程 ( A, B重合 于0 时 , 中  
点 为 o) .  

/  
一  

\ 
图 1  

参, 求得 两 条动直 线交 点 的轨迹 .   例 1 ( 2 0 1 3年 陕 西理 2 0 )已知 动 圆过 定 点 
A( 4 , O ) , 且 在 Y轴 上截 得 的弦 M N 的长为 8 .   ( 1 )求动 圆 圆心 的轨 迹 C的方程 ; ( 2 )略.  
解 析  设 动 圆 圆 心 0   (  ,  ) , 由题意 , 0   A—  
ol M.  

解 析  ( 1 ) 因为抛物 线 

C   : z  一4 y上 任 意 一 点 (  ,  

) 的 切 线 斜 率 为  一 专 , 且 切 线M A的 斜 率 为  

一  



所 以 A 点 坐 标 为 ( 一 1 ,   1 ) , 故 切 线 M A 的  


当o   不 在 Y轴上 时 , 过0   作O   H 上 MN 交 
MN 于 H , 则 H 是 MN 的 中 点 , 所 以 o  M 一 

方 程 为  = = = 一   1( z+ 1 ) +  1 因为 点 M ( 1 一  ,  


) 在 切线 MA 及抛 物线 C   z 上, 于是 
一  

 ̄ /   +4 .   又 01 A 一  ̄ / ( 1 z一 4 ) 。 +Y  , 所 以  

1( 2



 

) + 丢 一 一  

,①  



宿迁 市 教 育 学 会 课 题 “ 在 高 中 数 学课 堂 中开 展 数 学 思 想 方 法 教 学 的 实 践 研 究 ” ( 编号: S HY 2 0 ) 的研 究 成 果 

? 

5 O   ?  

中学数 学月 刊 

2 0 1 4年 第 7期 

且  。 一

 



 



② 

( 1 )如果 建 立 的 函数 是 关 于斜 率 的 函数 , 要  增 加考 虑斜 率不 存 在 的情 况 ;   ( 2 )如果 建 立 的 函数 是 关 于 点 的 坐 标 的 函   数, 可 以考 虑用 代 入 消元 、 基本 不 等 式 、 三角 换 元 
或几 何解 法来 解决 问题 .   例 3  ( 2 0 1 3年 浙 江 理 2 1 )如 图 2 , 点 P( O ,  


由 ① ② 得 P一2 .  

设N c  
一  

(  等 ) , B (  等 ) ,  
  ③,  

≠   。 , 由 N为 线 段 A B中 点 知 z 一 半

2  

. 2  



≯ ④ .  
切 线 MA , MB 的 方 程 分 别 为 

1 ) 是椭圆c   :   +告 一1 ( n >b >o ) 的一个顶  a  f J  

点, C 1 的长轴 是 圆 C   : X   +y 。 = = = 4的直径 . z 1 , z 2 是 
过 点 P且 互相 垂直 的两 条直 线 , 其 中Z   交圆C   于 

. y = = =   5 E " 1 (   —  ) + 等 ,  


⑤  

A, B两 点 , z  交 椭 圆 C  于另 一点 D.  

号( z —   : ) + 鲁,  
,  。 一   .  

⑥   程 ;  
程.  

( 1 )求 椭 圆 c  的 方 
( 2 )求 △ A B D 面 积 

+  

一、 , .  

由 ⑤ ⑥ 得 MA , MB 的 交 点 M ( x 。 , Y 。 )的 坐  标为 z 。 一 

取最 大 值 时 直 线 Z   的 方 
解 析  ( 1 )由 题 意 

因为 点 M ( . z  。 v   )在 C, h 。 即  :一 一 4 v  。  

所以z   一一堕÷至.  
n  

⑦  

得  方 
程 

由 ③ ④ ⑦ 得 z   2 一 ÷   , z ≠ o .  
当  一  。 时, A, B重 合 于原点 0, A B 中点 N 

所 

+ 

以  z)凶 力 且 线 t l上 £ 2, 且 郡 姐 息  L o, 一1 ), 所 

为0 , 坐标满足  一÷  .   0  因此 , A B 中点 N 的轨迹方程为z 。 一÷  .  
o 

椭  一   以设 直线 z 1 : . y =k x— l =  ̄ k x—Y一 1 —0 . 直线 l 2 :   圆   L 


C 


的 

去 z 一 1   z + 忌   - t - k = 0 . 所 以 圆 心 ( o , o ) 到  
‘ 故 直线  被 圆 z 。 +  一   .   A B _2  

评 注  此题 ( 2 ) 考 查相 关点 法确 定动 点轨 迹 
方 程.   3 . 2   最 值 与 范 围 问 题 

直线 f 1 的距 离 为  一   4所截 

解决 圆锥 曲线 中最值 与范 围 问题 的基 本思 想  是 建立 目标 函数 和 建 立不 等 关 系 , 根 据 目标 函数 

图 

+ k y + k一 0,  

和不等 式求 最 值 、 范 围, 因此 这类 问题 的难 点 , 就 
是 如何 建立 目标 函数 和 不 等关 系. 建 立 目标 函数  或不 等关 系的关 键 是 选 用一 个 合 适 变 量 , 其 原 则  是这个 变量 能够 表 达 要 解决 的 问题 , 这个 变量 可  以是直 线 的斜 率 、 直 线 的截距 、 点 的 坐标 等 , 要 根 
据 问题 的 实 际 情 况 灵 活 处 理 .  

由 1   +   z 一 1  
所 以  。+ z  一  

+ 4   + 8   一 0 ’  
,  

故 DP= /   1 +  、
( k   2   - 4 -   4 ) 2 —

8   JP -   +1
. 

求 参 数 范 围 的方 法 : 根 据 已知 条 件 建 立 等式  或不 等式 的关 系 , 再 求参 数范 围.   圆锥 曲线 中 的最值 问题 类 型 较 多 , 解 法灵 活  多变 , 但总 体上 主要 有两 种方 法 : 一 是 利用几 何 方  法, 即通过 利用 曲线 的定 义 、 几何 性质 以及 平面 几  何 中的定 理 、 性质等进行求解 ; 二 是 利 用 代 数 方 
、 

因 此 S  ̄ . A B D =   1 彻?  : 专 ×  
8   甭 广 一 —  8   一  4×8   _ =   干 了  一 
一  



 

3 2  
— 
  ’   ’

≤ 
1 3   、 

4 志  + 3

.  
。  

1 3  
_ =  

  .
  。

法, 即把要 求最 值 的几 何 量 或代 数 表 达 式 表 示 为 
某个 参数 的 函数 , 然 后利 用 函数方 法 、 不等 式方 法  等进 行求 解 .   求解 最值 应 注意 :  

蕊 3 2一   1 6   ?  

当 丽

一 志  是 一 ±  时 等  

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?  5 1   ?  

号成 立 , 此时 直线 z  的方 程 为 . y 一±  

z— 1 .  

圆锥 曲线 中的定点 、 定 值 问题 是 高考 的热 点 ,   是指 某 些 几 何 量 如 线 段 的长 度 、 图形 的 面 积 、 角 

度、 直线 的斜率 等 的大 小 或 某 些代 数 表 达 式 的值  等 和题 目中的参数 无关 , 不依 参数 的变化 而变化 ,  
始终 是一个 确 定 的值 . 题 型 以解答 题 为主 , 解决 的 
基本 思想从 变 量 中寻 求 不 变 , 即先 用 变 量 表 示要  求 的量或 点 的坐标 , 再通 过推 理计 算 , 得 出这些量  直 角 坐标 系 x Oy中 , 过椭 圆 M :   +  一1 ( a >b  
a。   D 。  

或点 的坐 标和 变量 无关 .   常见 的类 型 : ( 1 )直线 或 曲线恒 过 定 点 问题 ;   ( 2 ) 探求 或 证 明定 值 问题 .  

A, B两点 , P为 A B的中点 , 且O P的斜率为÷.  

直线 或 曲线 过 定 点 问题 的基 本思 路 是 : 把 直 
线或 曲线 方程 中 的变 量 当 作 常数 看 待 , 把 方 程 一  端化 为零 , 既然 是过 定点 , 那 么这个 方程 就 要对任 

意参 数都成 立 , 这 时参数 的系数就 要全 部等 于零 ,  
解析  ( 1 ) M 的方 程 为  +  S L 一1


这样 就得 到一 个 关 于  z的方 程 组 , 这 个方 程 组 的  ( 解略)   解所 确定 的点 就是 直线 或 曲线 所 过 的定点 .  



q - y- -   ̄ f 3 - -o ,


I z 一  ’

定值 问题 的求 解策 略 : ( 1 ) 从特殊入手, 求 出 
定值 , 再 证 明 这个 值 与 变量 无 关 ; ( 2 )直 接 推理 、   计算 , 并在 计算 推理 中消去变 量 , 从而 得到 定值 .   例5 ( 2 0 1 3年 陕西 理 2 0 )已知 动 圆 过 定 点  ( 1 ) 求 动 圆圆心 的轨迹 C的方程 ;   ( 2 )已知 点 B( 一1 , O ) , 设 不垂 直 于 z轴 的直  线 £ 与轨 迹 C 交 于 不 同 的两 点 P,Q, 若 z轴 是 

蛐 1 吾 + 等  
J I z 一   因 此 A B 一 筚.   Y- - ̄ / 3,  

解得

l   y   e - - 一   或  

A( 4 , O ) , 且 在 y轴上截 得 的弦 MN 的长 为 8 .  

( 一   <   <  ) .  

P B Q 的角平 分线 , 证 明直 线 z 过 定点 .  
解 析  ( 1 ) 动 圆圆心 的轨迹 C的方程 为y   一  

由 1   + 等 _ l , 得  
于 是 
/ 2  ̄  ̄ ( 9   一— - — 2 n
— — —

8 x . ( 求 解 过程见 例 1 )  
( 2 )由题意 , 设 直线 Z 的方程 为 y—k x+b ( k  

≠0 ) , P( x 1 , Y 1 ) , Q( x   2 , y 2 ) . 将 y一   +b 代入Y  


n 2 )




8 x 中, 得 k   3 5  + ( 2   一8 )  + b   一0 , 其 中 △一  
3 2 k b+ 6 4> 0 . 由根 与 系 数 的 关 系 得 




.  



7 C 1 +z 十  一   — 

①’ ,  

3 2   2 = 一 = :   ②‘ .  



z 。 l —   4 ̄ /  二 二 _   由 已知 , s一  c D × AB 一  


因 z轴 是  P B Q 的角平分线 , 所 以— 

 ̄ /  

. 当   一0 时, s取得最大值 

.  
一 一 —   ,

即Y l ( z -   2 +1 ) +Y 2 ( zl +1 )一0 . 所 以 

(  

+6 ) (  2 +1 ) + (   2 +6 ) ( z  + 1 ) 一0 , 故 

2 k x1 z   2 + ( b+ k ) ( zl +  2 ) + 2 b一0 ③ .  

将 ① ② 代 入 ③ 并整 理得 2 k b  + (  +6 ) ( 8 —  
2 b k ) +2 k   b 一0 , 所 以k 一 一6 . 此 时 △> 0 . 故 直线  Z 的方 程 为 y—k ( z一 1 ) , 即直 线 z 过 定点 ( 1 , O ) .  

评 注  对 直 线 过定 点 的证 明 体 现 了设 而 不 
求思想 、 消元 思 想 、 方 程 思想 等 数 学 思想 方 法 , 考  查 了学生 抽象概 括 能力 、 应用 意识 和创 新意 识.  

? 

5 2   ?  

中学 数学 月 刊 

2 0 1 4年第 7期 

例6  ( 2 0 1 3 年 山东理 2 2 ) 椭圆c :   +告 一   a  f , 。  
1 ( Ⅱ> b > O ) 的左 、 右 焦点分 别是 F   , F : , 离心 率 
为  , 过F   且 垂 直 于  轴 的 直 线 被 椭 圆 c截 得 的  线 段长 为 1 .  

例 7 ( 2 0 1 3 年 江 西理 2 0 ) 如图 3 , 椭 圆 C:  
& 

+  y2
===

1 ( a> 6 >。 ) 经 过 点 P( 1 ,   3) 离 心 率 e =  


1 


直线 z 的方程 为  一4 .   ( 1 ) 求椭 圆 C的方 程 ;   ( 2 ) A B 是 经过 右焦 点 
y   。  

( 1 ) 求 椭 圆 C 的方程 ;   ( 2 )点 P是 椭 圆 C 上 除 长 轴 端 点 外 的 任 一 

点, 连结 P F   , P F   , 设  F   P F。的 角平 分 线 P M  交 C 的长轴 于点 M ( m, 0 ) , 求  的取 值范 围 ;   ( 3 ) 在( 2 ) 的条 件下 , 过 P点作 斜率 为 k的直 
线z , 使得 £ 与椭 圆 C有且 只有 一个 公共 点 , 设 直线  P F   , P F  的斜 率分 别 为 k   , k 。 , 若 k≠ 0 , 试 证 明 

F 的任 一 弦 ( 不 经过 点 P) ,   设直 线 A B 与直 线 z相 交  于 点 M ,记 P A, P B, P A d   的斜 率 分 别 为 k  , k   , k 。 .  

P  / 


M  /  
~  

,  

问: 是 否 存 在 常 数  , 使 得  k  +k 。 一, l k 。 ? 若存 在 , 求出   的值 ; 若 不存 在 , 说 
明理 由.  

图 3  

+ 

为定 值 , 并 求 出这个 定值 ?  

解析  ( 1 ) 椭 圆方 程为  +y   一1 .  

解 析  ( 1 )椭 圆 C的方 程 为  +  一 1 .  
吐  . )  

( 2 ) m∈ ( 一昔 , ÷) .  
( 3 )由题 意 可 知 , Z 为 椭 圆在 P 点 处 的切 线 ,   由导数   ̄u J 小何 - ' 1  ̄ I   瓴 月任  X _ _ O   X+ 。 y 一1 , 所以k  

( 2 )由题 意可 设 A B 的斜 率 为 k, 则直线 A B   的方 程为 y—k ( z一 1 ) ①, 代人 椭 圆方程 并 整 理 ,  
得( 4 k  + 3 )   一8 k   +4 ( 是  一 3 ) 一0 . 设 A( z1 ,  

Y   ) , B( z   2 , y   ) , 则有 





 



而是   一  Y O  , k   z 一: 二 Y o  , 代入   +  
= 一 一

9 2 " 1 +2 十  r   2 —4 一 k    ̄ +3 ㈣ ’ z   X   2 一  

干  ②‘ .  

在 方程 ① 中令  一4 , 得 M 的坐标 为 ( 4 , 3 k ) .  
1   T O 0何 .  ̄ N   1 +  1

Y l   一   导   Y 2   一   导   4 ( 生  + 生  )   从而 志  一   , 志 z —   , k 。  
一 一

3 k 一   3

一是  





8 , 为定 值.  
评 注  定 值 问题 就 是 在 运 动 变 化 中 寻 找不 

÷. 注 意到 A, F, B共线 , 则有k 一是   =k B F , 即有 


变 量 的问题 , 基 本 思 想是 使 用 参 数 表 示 要 解 决 的 
问题 , 证 明要 解 决 的问题 与参数 无 关. 在 这类 试题 
一  

旦 
+ 

中选择 消元 的方 向是 非 常关键 的.  
3 . 4 “ 存 在 性 ”问 题 

所以 是  

一 

所谓存 在 性 问题 , 就 是 判 断 满足 某 个 ( 某些)  
, 一



 

1  

一 l  

+ 
。  

一 1  

一 

条 件 的点 、 直线 、 曲线 ( 或 参数 )等几 何 元 素是 否  存 在 的 问题 . 这 类 问 题 通 常 以开 放 性 的 设 问 方式 

号 (   + 老 ) 一2 k一 号 ?  
_ T1+  2— 2   1   2一 ( z1+  2 )+ 1   ’  

给出, 若存 在符 合条 件 的几何 元素 或参 数值 , 就求  出这 些几 何元 素或 参数 值 , 若 不存 在 , 则要 求说 明 
理 由.  

求解 策 略 : 首 先 假设 满 足 条 件 的几 何 元 素 或  参 数 值存 在 , 然 后 利 用 这 些 条件 并 结 合 题 目的其  他 已知条 件进行 推 理与 计算 , 若 不 出现 矛 盾 , 并 且 
得到 了相 应 的几何 元 素 或 参 数 值 , 这 说 明满 足 条  件 的几何 元素 或参 数 值 存 在 ; 若在推理与计算 中   出现 了矛 盾 , 则说 明满 足 条 件 的几 何 元 素 或 参 数 

② 代 入 ③ 得 k  + k 。一 2 k一  

?  

墨 垒 :  一  

4 ( k   。喜 3     )  


8 k  

 1 l   …   “ 

一 2 是 一1 . 又忌 。 一 是 一 一 1 2 ,   。   ’  

干丁 一  

十  

所以 k   +k  一2 k 。 . 故 存在 常数  一2符合 题 意.  


值不 存在 , 同时推 理 与 计 算 的 过程 就 是 说 明理 由  
的过 程.  

评 注  探究 性 问题 一直是 高 考考 查 的热点 ,   般先 假设 结论 成立 , 再逆 推 所需 要求 解 的条件 ,  

对 运算 求解 能力 和逻 辑推 理 能力有 较 高 的要 求 .  


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