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高中数学必修一用二分法求方程的近似解

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高中数学必修一用二分法求方程的近似解 知识梳理 一.零点存在性定理 如果函数 y ? f ?x ? 在一个区间 ?a, b? 上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值 异号 , 即 f ?a ? ? f ?b? ? 0 , 则这个函数在这个区间上至少有一个零点 , 即存在 x0 ? ?a, b? 使 f ?x0 ? ? 0 . 1.变号零点与不变号零点 如果函数图像通过零点时穿过 x 轴,即函数 f ?x ? 在零点 x 0 左右两侧的函数值异号 ,则 称该零点为变号零点 .如函数 f ( x) ? 2 x ? 4 的零点 x ? 2 是变号零点.如果函数图象通过零 点时不穿过 x 轴,即函数 f ?x ? 在零点 x 0 左右两侧的函数值同号 ,则称该零点为函数 f ?x ? 的 不变号零点.如函数 f ( x) ? x 的零点 x ? 0 是不变号零点. 2 2.已知函数 f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是一条连续的曲线,若 f ?a ? ? f ?b? ? 0 ,则 f ?x ? 在 区间 ?a, b ? 内有零点,反之不成立. 二.二分法的定义 对于区间 ?a, b? 上连续不断且 f ?a ? ? f ?b? ? 0 的函数 y ? f ?x ? ,通过不断地把函数 f ?x ? 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫 做二分法. 三.用二分法求函数 y ? f ?x ? 零点近似值的步骤: 1.确定区间 ?a, b? ,验证 f ?a ? ? f ?b? ? 0 ,给定精确度 ? . 2.求区间 ?a, b ? 的中点 c . 3.计算 f ?c ? : ⑴若 f ?c ? ? 0 ,则 c 就是函数的零点; ⑵若 f ?a ?? f ?c ? ? 0 ,则令 b ? c (此时零点 x0 ? ?a, c ? ); ⑶若 f ?c ?? f ?b? ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x0 ? ?c, b ?); 4.判断是否达到精确度 ? ,即若 a ? b ? ? ,则得到零点的近似值 a(或b) (区间内的每一个数 都可作为零点近似值),否则重复⑵~⑷,直到 a ? b ? ? 为止. 典例解析 题型一:二分法的概念 例 1.下列选项所示函数中,不能用二分法求零点的是( ) 规律方法: 判断一个函数能否用二分法求零点的依据是 :函数在零点附近是连续不断的,且该零点 为变号零点. 题型二:用二分法求函数的零点(或方程的根)的近似值 例 2.用二分法求方程 2 x ? 3x ? 3 ? 0 的一个正实数近似解(精确度 0.1 ). 3 规律方法: 1.用二分法求函数零点的近似值 ,关键是找一个区间 ?a, b? ,区间 ?a, b? 长度尽量小 ,同时 一定要使零点 x0 ? ?a, b?,且使 f ?a ? ? f ?b? ? 0 :⑴需根据图象估算初始区间(一般采用估值的 方法完成);⑵取区间两端点的平均数 c ? a?b ,计算 f ?c ? ,确定有解区间是 ?a, c ? 还是 ?c, b ? 2 逐步缩小区间“长度” ,直到计算所得的区间满足精确度的要求 ,终止计算.所得区间内的每 一个数 ,都可作为函数零点的近似值.一般取值后区间的一个端点作为函数的零点的近似值 即可,若起始区间长度为 1 ,使用二分法 n 次后,长度为 即为满足 1 ,达到精确度 ? 时的次数的最小值 2n 1 ? ? 的最小自然数 n. 2n 2.根据函

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