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重庆市重庆一中2014届高三上学期期中考试 数学理试题

时间:2013-11-30


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秘密★启用前

2013 年重庆一中高 2014 级高三上期半期考试

数 学 试 题 卷(理科)2013.11
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) ? ? ? ? 1.已知向量 a ? (1, x) , b ? (8, 4) ,且 a ? b ,则 x ? ( A.
1 2

) D. ?2 )

B.2

C. ?2
x ?1 ? 0}, 则集合CU A 等于( x?2

2. 已知全集 U=R,集合 A ? {x | A. {x | x ? ?1或x ? 2} C. {x | x ? ?1或x ? 2}

B. {x | x ? ?1或x ? 2} D. {x | x ? ?1或x ? 2} )

3.(原创)等比数列 {an } 中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a3 ”是“ a3 ? a4 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.(原创)已知 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2 x ? a ,若 f ( x) 在 R 上的极值点分别为 m, n ,则

m ? n 的值为( ) A.2 B.3

C.4

D.6

?3 x ? y ? 2 ? 0 ? 5. 原创) x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ( 设 , 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) ? x ? 0, y ? 0 ?

的最大值为 4,则 a ? b 的值为( A. 4 B.2

) C.
1 4

D. 0

?? ? ? ? A B C 6. 已 知 三 个 向 量 m ? (a, cos ) , n ? (b, cos ) , p ? (c, cos ) 共 线 , 其 中 2 2 2
a, b, c, A, B, C 分别是 ?ABC 的三条边及相对三个角,则 ?ABC 的形状是(



A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

7. ( 原 创 ) 设 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S1 5 ? 0, a 8 ? a 9 ? 0 , 则 使 得
an ? Sn ? 0 的最小的 n 为( n A.10 B. 11

) C. ) 12 D. 13

8.(原创)

2 cos10? ? tan 20? ? ( ? cos 20

---

A.

1

B.

3 ?1 2

C.

3

D.

3 2

9. 已知实数 x, y 分别满足: x ? 3)3 ? 2014( x ? 3) ? 1 , y ? 3)3 ? 2014(2 y ? 3) ? ?1 , ( (2 则 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x 的最小值是( A.0 B.26
3 2

) C. 28 D.30
1 ; 2 1 ? 2 xn ? 3xn

10. 定义数列 ?x n ? : x1 ? 1, xn ?1 ? 3x n ? 2 x n ? xn ;数列 ?y n ?: y n ? 数列 ?z n ?:z n ? 那么 P ? Q ? ( A.

2 ? 3xn ;若 ?y n ?的前 n 项的积为 P ,?z n ?的前 n 项的和为 Q , 2 1 ? 2 xn ? 3xn

) B. 2 C. 3 D.不确定

1

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.在等比数列 ?an ? 中, a3 ? 2 , a5 ? 8 ,则 a7 ? . .

? ? ? ? ? ? ? ? 12. 已知向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 3 , 2a ? b ? 37 ,则 a, b 的夹角为

13.(原创)关于 x 的不等式 (log 2 x)2 ? b log 2 x ? c ? 0 ( b, c 为实常数)的解集为
[2,16] ,则关于 x 的不等式 c?22 x ? b?2x ? 1 ? 0 的解集为

.

14.(原创)若直线 y ? ax 与函数 y ? ln x 的图象相切于点 P ,则切点 P 的坐标 为 .

m 15. 原创) ( 设等差数列 {an } 有无穷多项, 各项均为正数, n 项和为 S n , , p ? N ? , 前

且 m ? p ? 20 , S10 ? 4 ,则 Sm ? S p 的最大值为 三.解答题(共 75 分)

.

16.(13 分)设函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x ? cos x ? m(m, x ? R) . (1)求 f ( x) 的最小正周期;

? 1 7 (2)当 x ? [0, ] 时,求实数 m 的值,使函数 f (x) 的值域恰为 [ , ], 并求此 2 2 2
时 f ( x) 在 R 上的对称中心.

---

17.(13 分)已知 {a n } 是单调递增的等差数列,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ;数 列 {bn } 是等比数列,首项 b1 ? 1, 且a2 b2 ? 12, S 3 ? b2 ? 20. (1)求 {a n }和{bn } 的通项公式; (2)令 cn ? Sn cos(
an ? )(n ? N ? ), 求 {cn } 的前 20 项和 T20 . 3

18.(13 分)函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?
y ? f ( x) 的图象向右平移

?
2

) 的部分图象如下图所示,将

?
4

个单位后得到函数 y ? g ( x) 的图象.
y 1
?

(1)求函数 y ? g ( x) 的解析式;
(2) 若 ? ABC 的三边为 a, b, c 成单调递
?
6

3 ? 增等差数列,且 g ( B) ? (B ? ) , 2 3
求 cos A ? cos C 的值.

O -1

?
12

x

19.(12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的最值;

ln ax (a ? 0, a ? R) , e 为自然对数的底, x

(2)若关于 x 方程 ln 2x ? x3 ? ex 2 ? mx 有两个不同解,求 m 的范围.

? an , an ? 3l , l ? N* , ? 20.(12 分)已知数列 {an } 的首项 a1 ? a, 其中 a ?N , an ?1 ? ? 3 , ? a ? 1 , a ? 3l , l ? N* . n ? n
?

令集合 A ? {x | x ? an , n ? N*} . (1)若 a3 是数列 {an } 中首次为 1 的项,请写出所有这样数列的前三项; (2)求证:对 ?k ? N ? , 恒有 ak ?3 ? ak ? 2 成立; (3)求证: {1,2,3} ? A .
1 3

---

21.(12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x 2 . (1)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; ( 2 ) 设 F ( x)? 2 f ( x?)
2

3? x

若 k x( k , R 函 数 F ( x ) 存 在 两 个 零 点 ? )

m, n(0 ? m ? n) ,且实数 x0 满足 2x0 ? m ? n ,问:函数 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的

切线能否平行于 x 轴?若能,求出该切线方程;若不能,请说明理由.

2013 年重庆一中高 2014 级高三上期半期考试

数 学 答 案(理科)2013.11

---

1---10:CDBAA 11. 32

BBCCA 13.
[?2,0]

? 12. 3

14. (e,1)

15. 16

16. (1) f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? m ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? m
? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? m ? 1 ∴函数 f (x) 的最小正周期 T= ? 。

7? 1 ? ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 6 6 2 6 1 7 1 ? m ? f ( x) ? m ? 3 又 ? f ( x) ? 故m ? , 2 2 2 ? k? ? k? ? 3 令 2 x ? ? k? , k ? Z ,解得 x ? ? , k ? Z ,对称中心为 ( ? , ) 。 6 2 12 2 12 2

(2)? 0 ? x ?

?

?

?

? 2x ?

?

?

17. 解:(1)设公差为 d ,公比为 q ,则 a2b2 ? (3 ? d )q ? 12 ,

30 S3 ? b2 ?3 a2 ? b2 ? ( 3 ? d ) ? q ?9 ?3d ?q ? d ? q ? 11, q ? 11 ? 3d 3 2
(3 ? d )(11 ? d ) ? 33 ? 2d ? 3d 2 ? 12 , 3d 2 ? 2d ? 21 ? 0,(3d ? 7)(d ? 3) ? 0 ,

?an ? 是单调递增的等差数列, d ? 0 .
则 d ? 3, q ? 2 , an ? 3 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n , bn ? 2n?1
? S n n是偶 (2) cn ? S n cos n? ? ? 。 ? ? S n, n是奇
T20 ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? c20 ? ? S 1 ? S2 ? S 3 ? S4 ? ? ? S19 ? S20 ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ? 6 ? 12 ? 18 ? ? ? 60 ? 330

18. 解: (1)由图知:
2 ? f ( x) ? sin(2 x ? ) 3

2?



?
6

?? ?

?

? ? , ? ? 2 ,∵ f ( ) ? sin(2? ? ? ) ? 1 , ? 12 12

?

?

? 2 k? , 即 ? ?

?

3

? 2 k? ,

由 于 | ? |? 的

?

2

,所以?? 析 式

?
3

, 为







y ? g ( x)



g ( x) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) 。 4 3 6

?

?

?

(2)由于 a, b, c 成等差,且 B ?

?

3



? ? ? ? 3 ? ? ? 所以 g ( B) ? sin(2 B ? ) ? ,? 2 B ? ? ( ? , ) , 2 B ? ? ,??B ? , 6 2 6 6 2 6 3 4 所以 2sin B ? sin A ? sin C ? 2 , 令 cos A ? cos C ? t , (sin A ? sin C )2 ? (cos A ? cos C )2 ? 2 ? t 2 ,

--1 4

t ? ?2 cos( A ? C ) ? 2 ,由于 t ? 0 ,所以 t ? 2 。
2

19. 解: (1)a ? 0 ,定义域为 (0, ??) , f ' ( x) ?

1 ? ln ax e ,令 f ' ( x) ?0 ,解得 x ? , 2 x a

e e 当 x ? (0, ) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 a a e a f max ( x) ? f ( ) ? ; a e ln 2 x e 2 在 x? 时 , 取 得 最 大 值 , ( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知 f ( x) ? x 2 e
ln 2 x ? x3 ? ex 2 ? mx ? ln 2 x e e2 要让方程有两个不同 ? x 2 ? ex ? m ? ( x ? )2 ? m ? , x 2 4 e2 2 2 e2 ? ,解得 m ? ? 。 4 e e 4
1 3

解,结合图像可知: m ?

20. 解: (1)2,3,1;9,3,1; (2)若 ak 被 3 除余 1,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1 , ak ?2 ? ak ? 2, ak ?3 ? (ak ? 2) ;
1 1 3 3 1 1 1 若 ak 被 3 除余 0,则由已知可得 ak ?1 ? ak , ak ?3 ? ak ? 2 ;所以 ak ?3 ? ak ? 2 , 3 3 3 1 2 (3)由(2)可得 ak ? ak ?3 ? ak ? ( ak ? 2) ? (ak ? 3) , 3 3

若 ak 被 3 除余 2,则由已知可得 ak ?1 ? ak ? 1 , ak ?2 ? (ak ? 1) , ak ?3 ? (ak ? 1) ? 1 ;

所以,对于数列 {an } 中的任意一项 ak , “若 ak ? 3 ,则 ak ? ak ?3 ”. 因为 ak ? N* ,所以 ak ? ak ?3 ? 1 . 所以数列 {an } 中必存在某一项 am ? 3 (否则会与上述结论矛盾! ) 若 am ? 3 ,则 am?1 ? 1, am?2 ? 2 ; am ? 2 ,则 am?1 ? 3, am?2 ? 1 ,若 am ? 1 ,则 am?1 ? 2, am?2 ? 3 , 若 由递推关系易得 {1,2,3} ? A . 21. 解: (1) g ( x) ? f ( x) ? ax ? ln x ? x 2 ? ax, g ?( x) ?
1 ? 2 x ? a. x 1 由题意,知 g ?( x) ? 0, x ? (0, ??) 恒成立,即 a ? (2 x ? ) min . x 2 1 又 x ? 0, 2 x ? ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时等号成立. 2 x 1 故 (2 x ? )min ? 2 2 ,所以 a ? 2 2 . x

---

(2)设 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 的切线平行于 x 轴,其中 F ( x) ? 2ln x ? x 2 ? kx.
?2 ln m ? m 2 ? km ? 0, ① ? 2 ?2 ln n ? n ? kn ? 0, ? ② 结合题意,有 ?m ? n ? 2 x0 , ? ③ ? 2 ? 2 x0 ? k ? 0, ④ ? x0 ? m ①—②得 2ln ? (m ? n)(m ? n) ? k (m ? n). n m 2ln n ? 2 x . 由④得 k ? 2 ? 2 x . 所以 k ? 0 0 x0 m?n m 2( ? 1) m 2(m ? n) 所以 ln ? ? n .⑤ m n m?n ?1 n m 2(u ? 1) 设 u ? ? (0,1) ,⑤式变为 ln u ? ? 0(u ? (0,1)). n u ?1 2(u ? 1) 设 y ? ln u ? (u ? (0,1)) , u ?1 1 2(u ? 1) ? 2(u ? 1) (u ? 1) 2 ? 4u (u ? 1) 2 y? ? ? ? ? ? 0, u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2 2(u ? 1) 所以函数 y ? ln u ? 在 (0,1) 上单调递增, u ?1 2(u ? 1) 因此, y ? y |u ?1 ? 0 ,即 ln u ? ? 0. u ?1 m 2( ? 1) m 也就是, ln ? n ,此式与⑤矛盾.所以 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线不能 m n ?1 n 平行于 x 轴.


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