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【全程复习方略】(湖北专用)2013版高中数学 8.9直线与圆锥曲线的位置关系课件 理 新人教A版

时间:2014-04-18


第九节

直线与圆锥曲线的位置关系

??????三年7考

高考指数:★★ 知识要求





了解 (A)

理解 (B)

掌握 (C) √

直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点,常常与平面
向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题;

2.直线与圆锥曲线相交,求其弦长、中点、定点、定值、最值、
面积、对称、存在性问题等是高考的热点; 3.以解答题的形式出现,多属于中、高档题目,重点考查学生 分析问题、解决问题的能力.

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法

判断直线与圆锥曲线的位置关系,通常是将直线方程与圆锥曲
线方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程: ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)当a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ ,有 相交 ; ①Δ >0?直线与圆锥曲线______ 相切 ; ②Δ =0?直线与圆锥曲线______

相离 ③Δ <0?直线与圆锥曲线_______.

(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一元一次方程,则直线l与圆
锥曲线E相交,且只有一个交点, ①若E为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ; ______ ②若E为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 平行或重合 __________.

【即时应用】 (1)思考:直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线 相切的什么条件? 提示:必要不充分条件.因为当直线与圆锥曲线相切时,直线 与圆锥曲线有一个公共点;当直线与圆锥曲线有一个公共点时, 直线与圆锥曲线不一定相切,如与抛物线对称轴平行(或重合)

的直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线相交;与
双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点,此时直线

与双曲线相交.

(2)直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点,则m2=____.

【解析】直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1联立,消去y得:
(1+4m2)x2+8mx+3=0. 又因为其Δ=(8m)2-12(1+4m2)=16m2-12=0, 解得:m2= . 答案:3
4 3 4

2.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点, A(x1,y1),B(x2,y2),则
1 1 ? k 2 ? (x1 ? x 2 ) 2 ? 4x1x 2 |AB|=______________=_____________________= 1 ? k 2 | x1 ? x 2 | 1 ? 2 ? | y1 ? y 2 | 1 2 1 ? ? (y ? y ) ? 4y1y 2 1 2 2 =_____________________. k k

【即时应用】(1)抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长 为3 5,则k值为______.
x2 2 (2)过椭圆 +y =1的左焦点且倾斜角为 π 的直线被椭圆所 9 6

截得的弦长为_____.

【解析】(1)直线方程与抛物线方程联立,消去y得: 4x2-4(1-k)x+k2=0,
k2 所以x1+x2=1-k,x1x2= . 4

依题意得: 3 5 = 1 ? 22 | x1 ? x 2 |, 即9=(x1+x2)2-4x1x2=(1-k)2-k2, 解得:k=-4.

x2 2 (2)设直线与椭圆 +y =1的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由 9 2 x 椭圆方程 +y2=1得: 9

a=3,b=1,所以c= 2 2 ,
x2 2 3 因此,直线方程为:y= +y =1联立,消 (x ? 2 2),与椭圆 9 3

去y得:4x2+12 2x+15=0,

则x1+x2= ?3 2 ,x1x2=

15 , 4

所以|AB|= 1 ? 1 | x ? x | 2 1

3 = 2 3 (x1 ? x 2 )2 ? 4x1x 2 = 2 3 18 ? 15 =2. 3 3

答案:(1)-4

( 2) 2

直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用 【方法点睛】 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数,可以研 究直线与圆锥曲线的位置关系,即用代数法研究几何问题,这

是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有
几个公共点问题,实际上是研究方程组解的个数问题.

2.直线与圆锥曲线相交的两个问题及求解方法 (1)与弦的中点有关的问题,常利用“点差法”求解;

(2)与抛物线焦点弦长有关的问题,要注意应用抛物线的定义.
【提醒】在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时,

要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.

x 2 y2 【例1】(1)已知直线y=kx-1与椭圆 + =1相切,则k、a 4 a

之间的关系式为_____.

(2)已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,
k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点;有两个公共

点;没有公共点?

【解题指南】(1)直线与椭圆相切,实际上是直线方程与椭 圆方程组成的方程组有唯一解,即判别式等于零;

(2)直线与抛物线公共点的个数问题,即为直线方程与抛物
线方程组成的方程组解的个数问题,可将两方程联立求解 .

x 2 y2 【规范解答】(1)直线y=kx-1与椭圆 + =1联立,消去y 4 a

得:(a+4k2)x2-8kx+4-4a=0, 其判别式Δ=(-8k)2-4(a+4k2)(4-4a) =16a(a+4k2-1)=0,又因为a≠0, 所以a+4k2-1=0. 答案:a+4k2-1=0

(2)由题意,得直线l的方程为y-1=k(x+2),
y ? 1 ? k(x ? 2) 2-4y+4(2k+1)=0 由? ,得 ky ? ? y ? 4x
2

(*)

(ⅰ)当k=0时,由方程(*)得y=1,方程组有一个解,

此时,直线与抛物线只有一个公共点.
(ⅱ)当k≠0时,方程(*)的判别式为 Δ=-16(2k2+k-1).

①由Δ=0,即2k2+k-1=0,解得k=-1或k=

∴当k=-1或k= 1 时,方程组有一个解,
2

1 , 2

此时,直线与抛物线只有一个公共点.

②由Δ>0,得2k2+k-1<0,解得-1<k< ,
∴当-1<k<1 且k≠0时,方程组有两个解,
2

1 2

此时,直线与抛物线有两个公共点 .

③由Δ<0,得2k2+k-1>0,解得k<-1或k> 1 , ∴当k<-1或k> 1 时,方程组无解,
2 2

此时直线与抛物线没有公共点. 综上,当k=-1或k=0或k= 当-1<k<
2 1 时,直线与抛物线只有一个公共点; 2

且k≠0时,直线与抛物线有两个公共点; 时,直线与抛物线没有公共点.
1 2

1 当k<-1或k >

【反思·感悟】1.直线与圆锥曲线公共点有零个、一个、两个

和直线与圆锥曲线的相离、相切、相交不是等价关系;
2.在直线与圆锥曲线所组成的方程组消元后,要注意所得方程 的二次项系数是否含有参数.若含参数,需按二次项系数是否 为零进行讨论,只有二次项的系数不为零时,方程才是一元二 次方程,后面才可以利用判别式的符号来判断方程解的个数, 进而说明直线与圆锥曲线的位置关系.

圆锥曲线中的存在性问题 【方法点睛】

存在性问题的解题步骤
(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的方

程或不等式(组).
(2)解此方程或不等式(组),若有解即存在,若无解则不存在.

【例2】已知:向量 OA =( 3,0),O为坐标原点,动点M满足: | OM+ OA|+| OM - OA|=4. (1)求动点M的轨迹C的方程; (2)已知直线l1、l2都过点B(0,1),且l1⊥l2,l1、l2与轨迹C分 别交于点D、E,试探究是否存在这样的直线使得△BDE是等腰 直角三角形.若存在,指出这样的直线共有几组(无需求出直线
???? ? ???? ???? ? ????

????

的方程);若不存在,请说明理由.

【解题指南】(1)由椭圆的定义可知,点M的轨迹为椭圆,只需 再确定a、c即可.(2)可先假设存在,由题意知两条直线的斜率
1 k

存在且不为零,可分别设为k、- ,由等腰直角三角形满足的
条件求出其值,或经计算得知其值不存在,从而得出结论 . 【规范解答】(1)方法一:设A′( ? 3,0),则
? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? |OM + OA |+|OM - OA |=| OM- OA? |+| OM- OA | ????? ???? ? =|A?M|+| AM|=4>2 3 ,∴动点M的轨迹为以A、A′为焦点,长

轴长为4的椭圆. 由c= 3 ,2a=4,得a=2, b= a 2 ? c2 =1. x2 ∴动点M的轨迹C的方程为 +y2=1.
4

方法二:设点M(x,y),则
???? ? ???? ???? ? ???? + =( , y), OM OA x ? 3 OM - OA =( x ? 3,y), ???? ? ???? ???? ? ???? ∵|OM + OA |+|OM - OA |=4,

∴ (x ? 3)2 ? y2 ? (x ? 3)2 ? y2 =4>2 3.

∴点M的轨迹C是以( 3,0)、(? 3,0)为焦点,长轴长为4的
椭圆.

∴a=2,c= 3 ,∴b= a 2 ? c2 =1,
x2 2 ∴动点M的轨迹C的方程为 +y =1. 4

x2 2 (2)轨迹C是椭圆 +y =1,点B(0,1)是它的上顶点, 4

设满足条件的直线l1、l2存在,由题意知两直线斜率存在且不为 零,不妨设直线l1的方程为 y=kx+1(k>0) ①
1 k

则直线l2的方程为y= ? x+1



将①代入椭圆方程并整理得:(1+4k2)x2+8kx=0,可得
?8k ?8k 2 x D= ,则yD= ? 1.将②代入椭圆方程并整理得: 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k ?8 (4+k2)x2-8kx=0,可得xE= 8k 2 ,则yE= ?1 . 2 4?k 4?k

由△BDE是等腰直角三角形得 |BD|=|BE|?
?8k 2 ?8k 2 2 = ( ) ?( ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

(

8k 2 ?8 2 ) ? ( ) 2 2 4?k 4?k

2 4 2 64k 64k 64k 64 ? = ? ? (1 ? 4k 2 ) 2 (1 ? 4k 2 ) 2 (4 ? k 2 ) 2 (4 ? k 2 ) 2 2 2 2 k2 1 1 ? k k (1 ? k ) ? = ? = 2 2 (4 ? k 2 ) 2 (1 ? 4k 2 ) 2 (4 ? k 2 ) 2 (1 ? 4k )

?

k 1 = 1 ? 4k 2 4 ? k2

?k3+4k=1+4k2?k3-1=4k2-4k ?(k-1)(k2+k+1)=4k(k-1) ∴k=1或k2-3k+1=0 ④ ③

∵方程④的判别式Δ=5>0,即方程④有两个不相等的实根,
且不为1.

∴方程③有三个互不相等的实根.即满足条件的直线l1、l2存在,
共有3组.

【反思·感悟】1.本题第(1)问是利用定义法求轨迹方程,
???? ? ???? ???? ? ???? 解决本题的关键是对|OM+ OA |+| OM- OA |=4的转化与理解.

2.第(2)问探索存在性问题,此类问题一般是先假设存在,依

据题设条件及假设结论进行逻辑推理、论证,若得出矛盾,则
说明不存在;否则就存在.

圆锥曲线中的最值问题 【方法点睛】 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 (1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:①涉及距离、 面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中

几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些
问题.

(2)求最值常见的解法有两种:①几何法,若题目的条件和结 论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决, ②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,

则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值.
【提醒】求最值问题时,一定要注意特殊情况的讨论 .如直线

斜率不存在的情况,二次三项式最高次项的系数的讨论等 .

【例3】(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中,已
???? ???? 知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足 MB∥OA , ? ? ???? ??? ???? ? ??? · = · MA AB MB BA ,M点的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程; (2)P为C上的动点,l为C在P点处的切线,求O点到l的距离的最 小值. 【解题指南】(1)可设点M的坐标为(x,y),依已知等式即可得 出曲线C的方程.(2)可先设点P的坐标,求出切线,然后利用点 到直线的距离公式求出距离的解析式,求其最值即可 .

【规范解答】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1), 所以MA =(-x,-1-y),MB =(0,-3-y),
??? ? AB=(x,-2). ???? ? ????

???? ? ???? ??? ? ? ? ???? ??? ???? ? ??? 再由 MA· AB = MB·BA ,可知: (MA ? MB)·AB =0,即

(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.
所以曲线C的方程为y= x 2-2.
1 4

(2)设P(x0,y0)为曲线C:y= x 2-2上一点,因为y′= x ,所以l 的斜率为 1 x 0,
2

1 4

1 2

因此直线l的方程为y-y0= 即x0x-2y+2y0-x02=0. 则O点到l的距离d=

1 x (x-x 0 0) , 2

2y0 ? x 0 2 x0 ? 4
2

.

又 y 0= 1 x 0 2 ? 2 ,
1 2 x0 ? 4 4 所以d= 2 = 1 ( x 02 ? 4 ? ) ≥2, 2 2 x0 ? 4 x 02 ? 4
4

当且仅当x0=0时取等号,所以O点到l的距离的最小值为2.

【反思·感悟】1.本题第(1)问是求轨迹方程,采用的是直 接法求轨迹方程,依据题设中的等式求解即可;

2.第(2)问是求点到直线的距离的最值,解决此类问题一般
是依据题设条件得出函数解析式,利用函数的单调性或求导数

或利用基本不等式求得最值.

【满分指导】直线与圆锥曲线综合问题的规范解答 【典例】(13分)(2011·湖南高考)已知平面内一动点P到 点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C
??? ? ??? ? 相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求 AD· EB 的最小值.

【解题指南】(1)依题设可知,利用直接法求轨迹方程; (2)先
??? ? ??? ? 设直线l1的斜率为k,依题设条件可求出 AD· EB 关于k的解析

式,利用基本不等式求最值.

【规范解答】(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意得
(x ? 1) 2 ? y 2 ? | x | =1????????????2分

化简得y2=2x+2|x|, 当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0. 所以动点P的轨迹C的方程为 y2=4x(x≥0)和y=0(x<0)?????????5分

(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程
? y ? k(x ? 1) 为y=k(x-1).由 ? 2 ,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. ? y ? 4x

????????????????????????7分
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是 x1+x2=2+
4 ,x1x2=1. 2 k

因为l1⊥l2,所以l2的斜率为 ? . 设D(x3,y3),E(x4,y4), 则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1??????????9分

1 k

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? AD?EB ? AF ? FD ?(EF ? FB) ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ? AF?EF ? AF?FB ? FD?EF ? FD?FB ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ? AF?FB ? FD?EF ? AF ?FB ? FD ? | EF |

?

?

=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1
4 =1+(2+ 2 )+1+1+(2+4k2)+1 k =8+4(k2+ 12 )≥8+4〓2 k 2 ? 12 =16??????????12分 k k 故当且仅当k2= 12 即k=〒1时, k ??? ? ??? ? AD?EB 取最小值,即16.??????????????13分

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以

得到以下失分警示和备考建议:
解答本题时有以下两点容易造成失分: (1)在第(1)问求轨迹方程时,点P到y轴的距离易写

失 分 警 示

成x,从而结果出错;
? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ??? ? (2) · 不会转化为 ( + ) · ( AD EB EF + FB ), AF FD

从而思路受阻,解题不完整,造成失分.


考 建

解决直线与椭圆的综合问题时,要注意以下几点: (1)注意点到两坐标轴的距离,两点与坐标轴平行时 的距离; (2)涉及平面向量运算时,一定要注意平面几何性质 的运用,如垂直、中点等.



x2 y2 1.(2011·浙江高考)已知椭圆C1: 2 + 2 =1(a>b>0)与 a b 2 y 双曲线C2:x2=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长 4

轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则 (
13 2 1 (C)b2= 2

)

(A)a2=

(B)a2=13

(D)b2=2

【解析】选C.方法一:由双曲线x2-

y2 =1知渐近线方程为 4

y=〒2x,又∵椭圆与双曲线有公共焦点,
∴椭圆方程可化为b2x2+(b2+5)y2=(b2+5)b2, 联立直线y=〒2x与椭圆方程消y得,x2= 又∵C1将线段AB三等分,
2a (b 2 ? 5)b 2 ∴ 1? 2 ? 2 = , 2 3 5b ? 20 解之得b2= 1 ,a2=b2+5= 11 . 2 2
2

(b 2 ? 5)b 2 , 2 5b ? 20

2 y 方法二:由双曲线x2=1知渐近线方程为y=〒2x,设渐近线 4 2 2 x y y=2x与椭圆C1: + =1(a>b>0)的交点分别为 2 2 a b

C(x1,2x1),D(x2,2x2),则 |OC|2=x12+4x12=( a )2,
a2 2 即 x1 = , 45
3

x2 y2 又由C(x1,2x1)在C1: 2 + 2 =1上, a b 2 1 4a 所以有 + =1 ① 45 45b 2 y2 x 2 y2 2 又由椭圆C1: 2 + 2 =1(a>b>0)与双曲线C2:x =1有公 b 4 a

共的焦点可得a2-b2=5 由①②解得b2=



1 11 ,a2= ,故选C. 2 2

2.(2012·长沙模拟)已知m,n为两个不相等的非零实数,则 方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是( )

【解析】选C.通过直线斜率等于m,在y轴上的截距为n,从直线 中可判断m,n的正负,从而确定nx2+my2=mn为椭圆还是双曲线, 选项C中,从直线可以看出m>0,n<0,而nx2+my2=mn可化为
x 2 y2 + =1,即焦点在x轴上的双曲线. m n

3.(2012·黄石模拟)过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45° 的直线,则被抛物线截得的弦长为______.

【解析】∵y2=8x的焦点坐标为(2,0),

又∵直线过焦点且倾斜角为45°,
∴直线方程为:y=x-2, 与抛物线方程y2=8x联立, 消去y得:x2-12x+4=0, ∴x1+x2=12, 由抛物线的定义知: 所求弦长等于x1+x2+p=12+4=16.

答案:16


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