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导数大题精析1——放缩思想在高考函数中的应用

时间:2015-03-06


放缩思想在高考数学中的应用 高中阶段,在数列那一章节的学习中,我们曾接触过放缩思想。其实在高考函数中,尤 其是导数大题中,放缩思想起着举足轻重的作用。 例如,让我们证明 x^2-2x+1≥0,这个题目对大家来说根本算不上问题。但是如果让我 们证明 x^2-3x+e^x≥0。这个式子我们看起来非常陌生,我们对 e^x 并不熟悉,我们不喜欢 e^x 或者 lnx,因此,我们可以把他们转化为 x 的形式。 这道题目,我们可以先证明 e^x≥x+1,这里构造辅助函数 f(x)=e^x-x-1 即可证明, 证明后,我们可以得到 x^2-3x+e^x≥x^2-2x+1≥0 当 x=1 时两等号成立。 在此,我给出以下 4 个常考的辅助函数供大家参考。 ① e^x≥x+1 当 x=0 时等号成立 ② lnx≤x-1 当 x=1 时等号成立 ③ sinx≤x 当 x=0 时等号成立 ④ cosx≤x+1 当 x=0 时等号成立 接下来我们不妨来试一道高考题,2012 年山东高考压轴题。 22(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x) =

ln x ? k (k 为常数, e=2.71828……是自然对数的底数) , 曲线 y= f(x)在点 (1, ex

f(1))处的切线与 x 轴平行。 (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ) 设 g(x)=(x2+x) f '( x) ,其中 f '( x) 为 f(x)的导函数, 证明: 对任意 x>0,g ( x) ? 1 ? e ?2 。

上面本题的标准答案,前两问在此不做解释。 在第三问中,我们可以看出关键步骤就是把 g(x) 分成 1+x/e^x 和 1-x-xlnx 两部分,但是我们如何想到这一步呢?为什么他要把函数分 成这两部分呢?看完上面的文章, 我想各位读者已经有了初步的思考, 下面,让我们再重新看一遍第三问。 g(x)= (1-x-xlnx)(x+1)/e^x 看到这个函数,我们的第一反应应该是:这个函数不好做,e^x 和 lnx 太烦了,我们把它放缩一下。把 lnx 换成 x-1,把 e^x 换成 x+1。 原式 g(x)<1-x-xlnx ① 式≤1-x^2 ① ②

看到②式,很多人就会认为,呀!这么简单就做出来了?细心的朋友 可能会发现,其实①式的推导存在着一定的问题。 已知 lnx≤x-1 那么-lnx 应当≥1-x 所以①式≥1-x^2 如果我把 x 放缩成 lnx-1 行不行?利用-(x)≤-(lnx+1) 把①式化为 1-x(lnx+1)≤1-(lnx+1)^2 但我们来仔细推敲一下,我们已知的是-x≤-(lnx+1)③ 那么我们能不能通过③式得到-x(lnx+1)≤-(lnx+1)(lnx+1)呢? 显然这是不行的,因为 lnx+1 的符号未知。 当 lnx+1≥0 时是成立的 而当 lnx+1≤0 时 -x(lnx+1)≥-(lnx+1)(lnx+1) ③ ④

接下来我们回归这道题目。 第一步把 e^x 放缩为 x+1 之后 g(x)<1-x-xlnx 构造辅助函数 h(x)=1-x-lnx 即可,并不需要上述那些复杂的讨论,那 些讨论,是为了方便大家了解在放缩应用的过程中容易出现的问题。 其实,我所列出的辅助函数,只不过是高考中最常见的 4 种函数的放 缩方式,能解决大部分的问题,例如 2014 年新课标 1 卷,最后一问 让我们证明 f(x)=e^xlnx+2ex ?1 /x>1 标准答案所给的思路是将①式移项,得到 xlnx>xe?x -2/e 证明②式左端函数最小值>右端函数最大值。 这显然不是我们正常的思路,按照我们先前的思路,把 e^x 换成 x+1 可以得到 f(x)=2/e+xlnx+lnx+2/ex ③ ② ①

把函数分成三个部分,2/e,xlnx,lnx+2/ex 分别求导,可以轻松得到 f(x)>1/e+ln2 我们知道 2.7<e<2.8 所以 1/e>1/3 接下来我们只需要证明 ln2>2/3,即 2^3=8>e^2 又因为 e^2<2.8^2=7.76<8 所以原式得证。 ⑤ ⑥ ⑦ ④

此外,除了上述 4 种函数,还有很多其他类型的辅助函数等着大家去 发现,在这里我只举一个简单的例子 e^x≤x^2+1 是成立的 但 e^x≤x^n+1 呢 请大家自行思索。 解决这类 f(x)<某定值 a 的问题的关键就是构造合适的辅助函数进行 放缩,我们平常做的那些参考资料所给出的答案,往往只是一种过度 格式化的答案, 答案给出的解题过程并非我们思考的正常顺序。 例如, 我们看到它构造一个辅助函数 e^x≤x+1, 但他为什么要构造这个函数 呢?构造其他的辅助函数可以吗?这是我们应当思考的问题, 这也是 高中数学乃至高中教学过程中应当注意的问题。


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