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2012新课标必做 吉林省长春市2012届高三第二次模拟文科数学试题详解

时间:2012-04-23


2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试



学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分钟,其中第 Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、 笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试 题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 参考公式: 柱体体积公式: V = Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 . 锥体体积公式: V =

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 . 3

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 选择题,
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符 .... 合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1. 已知全集 U = {1, 2,3, 4} ,集合 A = {1, 2} , B = {2,3} ,则 A ∪ (CU B ) = A. {1} 2. B. {2, 3} C. {1, 2, 4} D. {2,3, 4}

i 为虚数单位,复数
A.0

1 + 3i 的实部和虚部之和为 1? i
B.1 C.2 D.3

3.

3 π 已知 α∈( ,π), tan α = ? ,则 sin(α + π ) 等于 2 4 3 3 4 A. B. ? C. 5 5 5
如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.

D. ?

4 5

4.

1 2 3 C. 4

B. 1 D.

3 2

1

主视图 1 1

左视图

1

俯视图

数学试题卷(文科)

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5.

已知 x 、 y 取值如下表:

x y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

8 9.3

? 从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y = 0.95 x + a ,则 a =
A.1.30 6. B.1.45 C.1.65 D.1.80

函数 y = sin(ω x + ? ) (ω > 0且 ? <

π

π 2π ) 在区间 [ , ] 上单调递减,且函数值从 1 减小到 ?1 , 2 6 3
C.

那么此函数图像与 y 轴交点的纵坐标为 A. 7.

1 2

B.

2 2

3 2

D.

6+ 2 4

利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点,则打印的点落在坐标轴上的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

8.

?x ? , ( x≥0) ,则 f [ f ( x )] ≥ 1 的充要条件是 ≥1 已知函数 f ( x ) = ? 2 ? x 2 , ( x < 0) ?
A. x ∈ ( ?∞, ? 2] C. x ∈ (?∞, ?1] U [4 2, +∞ ) B. x ∈ [4 2, +∞) D. x ∈ ( ?∞, ? 2] U [4, +∞ )

9.

若 a > 2 ,则函数 f ( x ) = A.3 B.2

1 3 x ? ax 2 + 1 在 (0, 2) 内零点的个数为 3
C.1 D.0

uuu r uuur 10. 已知圆 O 的半径为 3,直径 AB 上一点 D 使 AB = 3 AD , E、F 为另一直径的两个端点,则 uuur uuur DE ? DF = B. ?4 C. ?8 D. ?6 A. ?3 uuuu r uuuu r uuuu r 11. 以 O 为中心, F1 , F2 为两个焦点的椭圆上存在一点 M ,满足 MF1 = 2 MO = 2 MF2 ,则该椭圆的
离心率为

3 6 2 C. D. 3 3 4 1 3 1 2 12. 已 知 函 数 f ( x ) = x + ax + bx + c 在 x1 处 取 得 极 大 值 , 在 x2 处 取 得 极 小 值 , 满 足 3 2 x1 ∈ (?1,1) , x2 ∈ (2, 4) ,则 a + 2b 的取值范围是
A. B. A. (?11, ?3) B. ( ?6, ?4) C. ( ?16, ?8) D. ( ?11,3)

2 2

数学试题卷(文科)

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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题,
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 设函数 f ( x) = x + a , g ( x ) = x ? 1 ,对于任意的 x ∈ R ,不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立,则实数 a 的取值范围是__________. 14. F1 , F2 是双曲线 x ?
2

y2 = 1 的两个焦点,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为 A , m uuuu uuuu r r 满足 AF2 = F1 F2 ,则 m 的值为__________.
2

15. 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 4 sin

A+ B 7 ? cos 2C = ,且 a + b = 5 , 2 2
D1 A1 B1 C1

c = 7 ,则△ ABC 的面积为________.
16. 如 图 所 示 , 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱 长 为 6 , 则 以 正 方 体

ABCD ? A1 B1C1 D1 的中心为顶点,以平面 AB1 D1 截正方体外接球所

D

C

B A 得的圆为底面的圆锥的全面积为__________. 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分)

在等差数列 {an } 中, 2a1 + 3a2 = 11,2a3 = a2 + a6 ? 4 ,其前 n 项和为 S n . ⑴求数列 {an } 的通项公式; ⑵设数列 {bn } 满足 bn =

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . Sn + n

18. (本小题满分 12 分) 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到这 M 名学 生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下: 分组 频数 频率 频率 10 0.25a 组距 [10,15) n 25 [15, 20) p m [20, 25) 2 0.05 [25,30) M 1 合计 ⑴求出表中 M 、 p 及图中 a 的值;
0 10 15 20 25 30
次数

⑵若该校高一学生有 360 人,试估计他们参加社区服务的次数在区间 [15, 20 ) 内的人数; ⑶在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社区 服务次数在区间 [ 20, 25) 内的概率.

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19. (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直,

E

∠ADE = 90o , AF // DE , DE = DA = 2 AF = 2 .
⑴求证: AC // 平面 BEF ; ⑵求点 D 到平面 BEF 的距离. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆
F A D C B

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 过定点 (1, ) ,以其四个顶点为顶点的四边形的面 积 等 于 以 其 2 a b 2

两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的 2 倍. ⑴求此椭圆的方程; 求 ⑵若直线 x + y + 1 = 0 与椭圆交于 A , B 两点, x 轴上一点 P ( m, 0) ,使得 ∠APB 为 锐角, 实数 m 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) = ?

?? x3 + ax 2 + bx, ( x < 1) 的 图 像 在 点 (?2, f ( ?2)) 处 的 切 线 方 程 为 c ln x, ( x ≥ 1) ?

16 x + y + 20 = 0 .
⑴求实数 a 、 b 的值; ⑵求函数 f ( x) 在区间 [?1, 2] 上的最大值; ⑶曲线 y = f ( x ) 上存在两点 M 、 N ,使得△ MON 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角 且斜边 MN 的中点在 y 轴上,求实数 c 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. A 如图, 在△ ABC 中,CD 是 ∠ACB 的平分线, ACD 的 △ D BC 于点 E , AB = 2AC . ⑴求证: BE = 2 AD ; E ⑵当 AC = 1 , EC = 2 时,求 AD 的长. B 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

三角形,

外接圆交
C

? x = cos α ( α 为参数).以 O 为极点, x 轴正 ? y = 1 + sin α

半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ(cosθ ? sinθ ) +1 = 0. ⑴求曲线 C1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程; ⑵求曲线 C1 上的点到曲线 C 2 的最远距离. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 设函数 f ( x) =| 2 x ? 1 | + | 2 x ? 3 | , x ∈ R . ⑴解不等式 f ( x) ≤5; 1 ⑵若 g ( x) = 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围. f ( x) + m

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2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.B 3. B 4. A 5.B 6.A 7.B 8.D 9.C 10.C 11.C 12.D 简答与提示: 1. C CU B = { , 4}, A ∪ CU B = { , 2 , 4}.故选 C. 1 1 2. B

1 + 3i (1 + 3i )(1 + i ) ?2 + 4i = = = ?1 + 2i ,实部与虚部之和为 ?1 + 2 = 1 . 1? i (1 ? i )(1 + i ) 2

故选 B. 3. 4. B 由题意可知, sin α =

3 3 , sin(α + π ) = ? sin α = ? .故选 B. 5 5 3 1 3 1 A 由题意可知,该几何体为一个四棱锥,底面面积为 ,高为 1,体积为 V = ? ?1 = .故选 2 3 2 2

5.

A. B 代入中心点 ( x, y ) ,可知 a = 1.45 .故选 B.

6. A 因为函数的最大值为 1,最小值为 ?1 ,且在区间 [

] 上单调递减,又函数值从 1 减小到 3 2π π π 2π 2π ?1 , 可知 ? = 为半周期, 则周期为 π , = ω = = 2, 此时原式为 y = sin(2 x + ? ) , 3 6 2 T π π π π 1 又由函数过 ( ,1) 点,代入可得 ? = ,因此函数为 y = sin(2 x + ) ,令 x = 0 ,可得 y = . 6 6 6 2 6

π 2π
,

7.

故选 A. B i=3,打印点(-2,6),x=-1,y=5, i=3-1=2;i=2,打印点(-1,5),x=0,y=4, i=2-1=1;i=1,打印点(0,4),x=1,y=3, i=1-1=0;0 不大于 0,所以结束.故选 B.

8.

x x2 2 D 当 x ≥ 0 时, f [ f ( x )] = ≥ 1 ,所以 x ≥ 4 ;当 x < 0 时, f [ f ( x )] = ≥ 1 ,所以 x ≥ 2 , 4 2 x ≥ 2 (舍)或 x ≤ - 2 .所以 x ∈ ( ?∞, ? 2] U [4, +∞ ) .故选 D.
C

f ' ( x) = x 2 ? 2ax ,由 a > 2 可知, f ' ( x) 在 x ∈ (0, 2) 恒为负,即 f ( x) 在 (0, 2) 内单调递减, 8 又 f (0) = 1 > 0 , f (2) = ? 4a + 1 < 0 ,∴ f ( x ) 在 (0, 2) 只有一个零点. 故选 C. 3 uuur uuur uuur uuu uuur uuur r 10. C DE ? DF = ( DO + OE ) ? ( DO + OF ) uuur uuu uuur uuu r r = ( DO + OE ) ? ( DO ? OE ) = 1 ? 9 = ?8 .故选 C. c 11. C 过 M 作 x 轴的垂线, x 轴于 N 点, N 点坐标为 ( , 0) , 交 则 2 uuuu r uuuu r uuuur 并设 MF1 = 2 MO = 2 MF2 = 2t ,根据勾股定理可知,
9.
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数学试题卷(文科)

uuuu 2 uuur 2 uuuur 2 uuuu 2 r r 6 3t c 6 MF1 ? NF1 = MF2 ? NF2 ,得到 c = t ,而 a = ,则 e = = . 2 2 a 3
故选 C. 12. D

f ′( x) = x 2 + ax + b , 由题意可知:

? f ′(?1) = (?1)2 + a (?1) + b = 1 ? a + b > 0 ? 2 ? f ′(1) = 1 + a ?1 + b = 1 + a + b < 0 ? 2 ? f ′(2) = 2 + a ? 2 + b = 4 + 2a + b < 0 ? f ′(4) = 42 + a ? 4 + b = 16 + 4a + b > 0 ?
所构成的区域即为图中阴影部分,四边形的四个顶点坐标分别为:

(?3 , ? 4) ,( ? 1, ?2 ) , ( ? 3, 2) ,(?5 , 4) ,
可验证得:当 a = ?5, b = 4 时, z = a + 2b 取得最大值为 3;当 a = ?3, b = ?4 时,

z = a + 2b 取得最小值为 ?11 .于是 z = a + 2b 的取值范围是 (?11 , 3) .故选 D.
二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. [ ?1, +∞) 14. 2 + 2 2 16. (18 2 + 24)π 简答与提示: 13. 如图作出函数 f ( x) = x + a 与 g ( x ) = x ? 1 的图像, 观察图像可知: 当且仅当 ? a ≤ 1 ,即 a ≥ ?1 时,不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立,因 此 a 的取值范围是 [ ?1, +∞) .
O

15.

3 3 2
y
f(x) g(x)

?a

1

x

14. 由 AF2 = F1 F2 ,可知

b2 = 2c . 又 a = 1 , b = m , c = m + 1 ,所以有 m = 2 m + 1 ,即 a m 2 ? 4m = 4 ,m 2 ? 4m + 4 = 8 ,(m ? 2) 2 = 8 , 解得 m = 2 ± 2 2 .又 m > 0 , 所以 m = 2 + 2 2 .
2

uuuu r

uuuu r

15. 因为 4 sin

A+ B 7 7 ? cos 2C = ,所以 2[1 ? cos( A + B )] ? 2 cos 2 C + 1 = . 2 2 2 7 1 1 2 + 2 cos C ? 2 cos 2 C + 1 = , cos 2 C ? cos C + = 0 ,解得 cos C = . 2 4 2 2 2 1 a +b ?7 2 2 根据余弦定理有 cos C = = , ab = a + b ? 7 , 2 2ab 2 2 3ab = a + b + 2ab ? 7 = (a + b) 2 ? 7 = 25 ? 7 = 18 , ab = 6 .
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所以 S =

1 1 3 3 3 ab sin C = ? 6 ? = . 2 2 2 2

16. O 为正方体外接球的球心,也是正方体的中心,

1 O 到平面 AB1 D1 的距离是体对角线的 ,即为 3 , 6 又球的半径是正方体体对角线长的一半,即为 3 3 ,
由勾股定理可知,截面圆的半径为 (3 3) ? ( 3) =2 6 ,
2 2

圆锥底面面积为 S1 = π ? (2 6) = 24π ;
2

圆锥的母线即为球的半径 3 3 , 圆锥的侧面积为 S 2 = π ? 2 6 ? l =π ? 2 6 ? 3 3=18 2π ; 因此圆锥的表面积为 S = S1 +S 2 = 18 2π + 24π = (18 2 + 24)π . 三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及裂项 应用. 【试题解析】解:⑴ 2a1 + 3a2 = 2a1 + 3( a1 + d ) = 5a1 + 3d = 11 ,

求和的

2a3 = a2 + a6 ? 4 即 2(a1 + 2d ) = a1 + d + a1 + 5d ? 4 得 d = 2 , a1 = 1 , an = a1 + (n ? 1)d = 1 + (n ? 1) × 2 = 2n ? 1 . 1 1 2 ⑵ S n = na1 + n( n ? 1) d = n × 1 + n( n ? 1) × 2 = n , 2 2 1 1 1 1 1 bn = = 2 = = ? , S n + n n + n n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn = ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ... + ( ? ) = 1? = . 1 2 2 3 3 4 n n +1 n +1 n +1
(6分)

(12分)

18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布表、频 直方图以及概率的初步应用. 【试题解析】解:⑴由题可知

率分布

10 25 m 2 = 0.25 , =n, = p, = 0.05 . M M M M 又 10 + 25 + m + 2 = M ,解得 M = 40 , n = 0.625 , m = 3 , n = 0.075 . 则 [15, 20) 组的频率与组距之比 a 为0.125. (5分) ⑵参加在社区服务次数在区间 [15, 20) 内的人数为 360 × 0.625 = 225 人. (8 分) ⑶在样本中,处于 [20, 25) 内的人数为 3,可分别记为 A, B, C ,处于 [25, 30) 内的人 数为 2, 可分别记为 a, b . 从该 5 名同学中取出 2 人的取法有 ( A, a ), ( A, b), ( B, a ) ( B, b), (C , a ), (C , b), ( A, B ), ( A, C ), ( B, C ), (a, b) 共 10 种;至多一人在 [20, 25) 内的情况有 ( A, a ), ( A, b), ( B, a ), ( B, b), (C , a ), (C , b), (a, b) 共 7 种,所以至多一人 参加社区服务次数在区间 7 (12 分) [ 20, 25) 内的概率为 . 10
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19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面的平行关系、 面距离的求法等知识. 【试题解析】解:⑴证明:设 AC I BD = O ,取 BE 中点 G ,连结 FG、 , OG

点到平

1 DE . 2 ∵ AF // DE , DE = 2 AF ,∴ AF ∥ OG 且 AF = OG , ∴四边形 AFGO 是平行四边形,∴ FG // AO . ∵ FG ? 平面 BEF , AO ? 平面 BEF , ∴ AO // 平面 BEF ,即 AC // 平面 BEF .
则 OG ∥ DE 且 OG = ⑵在 Rt △ BAF 中, BF = 在 Rt △ BDE 中, BE =

(5 分)

AB + AF = 2 + 1 = 5 ,
2 2 2 2

DE 2 + BD 2 = 22 + (2 2)2 = 2 3 ,
( ED ? AF ) 2 + AD 2 = (2 ? 1) 2 + 22 = 5 ,

在直角梯形 ADEF 中, EF = 所以 S? BEF =

1 1 1 BE ? BF 2 ? BE 2 = ? 2 3 ? 5 ? 3 = 6 , 2 4 2 1 1 S? DEF = DE ? AD = ? 2 ? 2 = 2 , 2 2 1 1 由于 VB ? DEF = VD ? BEF ,即 S? DEF ? AB = S? BEF ? h , 3 3 S ? AB 2 × 2 2 6 h = ? DEF = = , S? BEF 3 6
即点 D 到平面 BEF 的距离为

2 6 . 3

(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到抛物线 求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识. 【试题解析】解:⑴以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积 S1 = 以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积 S 2 =

方程的

1 ? 2a ? 2b = 2ab , 2

1 ? 2c ? 2b = 2cb . 2 x2 y2 S1 2ab a = = = 2 ,即 a = 2c . 可设椭圆方程为 2 + 2 = 1 , S 2 2bc c 4c 3c
(5 分)

3 x2 y 2 2 + =1 . 2 4 3 uuu uuu r r ⑵由 ∠APB 为锐角,得 PA ? PB > 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 uuu r uuu r PA = ( x1 ? m, y1 ) , PB = ( x2 ? m, y2 ) , uuu uuu r r PA ? PB = ( x1 ? m)( x2 ? m) + y1 y2 = x1 x2 ? m( x1 + x2 ) + m2 + y1 y2 > 0 ,
代入 (1, ) 点可得 c = 1 . 所求椭圆方程为
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x2 y 2 + = 1 与直线方程 x + y + 1 = 0 消去 y 并整理得 7 x 2 + 8x ? 8 = 0 . 4 3 8 8 9 所以 x1 x2 = ? , x1 + x2 = ? ,进而求得 y1 y2 = ? , 7 7 7 8 8 9 2 2 所以 x1 x2 ? m( x1 + x2 ) + m + y1 y2 = ? ? m ? ( ? ) + m ? > 0 , 7 7 7 ?4 ? 3 15 ?4 + 3 15 2 即 7 m + 8m ? 17 > 0 ,解之得 m 的取值范围 ( ?∞, )U( , +∞) . 7 7
联立椭圆方程
(12 分)

21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研 的单调性、极值以及函数零点的情况. 【试题解析】解:⑴当 x < 1 时, f ′( x) = ?3 x 2 + 2ax + b . 因为函数图像在点 (?2, f (?2)) 处的切线方程为 16 x + y + 20 = 0 . 所以切点坐标为 (?2,12) ,并且 ? 解得 a = 1, b = 0 . ⑵由⑴得,当 x < 1 时, f ( x) = ? x + x ,
3 2

究函数

? f (?2) = 8 + 4a ? 2b = 12, ? f ′(?2) = ?12 ? 4a + b = ?16,
(4 分)

2 , 3 2 2 f ( x) 在 (?1, 0) 和 ( ,1) 上单调递减,在 (0, ) 上单调递增, 3 3 2 对于 x < 1 部分: f ( x) 的最大值为 max{ f ( ?1), f ( )} = f ( ?1) = 2 ; 3 当 1 ≤ x ≤ 2 时, f ( x) = c ? ln x , 当 c ≤ 0 时, c ? ln x ≤ 0 恒成立, f ( x) ≤ 0 < 2 , 此时 f ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值为 f ( ?1) = 2 ; 当 c > 0 时, f ( x) = c ? ln x 在 [1, 2] 上单调递增,且 f (2) = c ? ln 2 . 2 2 令 c ? ln 2 = 2 ,则 c = ,所以当 c > 时, ln 2 ln 2 f ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 f (2) = c ? ln 2 ; 2 当0 < c≤ 时, f ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值为 f ( ?1) = 2 . ln 2 2 综上可知,当 c ≤ 时, f ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值为 2 ; ln 2 2 当c > 时, f ( x) 在 [ ?1, 2] 上的最大值为 c ? ln 2 . (8 分) ln 2 ?? x3 + x 2 , ( x < 1) ⑶ f ( x) = ? ,根据条件 M , N 的横坐标互为相反数,不妨设 ?c ln x, ( x ≥ 1)
令 f ′( x) = ?3 x 2 + 2 x = 0 可得 x = 0 或 x =
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M (?t , t 3 + t 2 ) , N (t , f (t )) , (t > 0) .
若 t < 1 ,则 f (t ) = ?t + t ,
3 2

由 ∠MON 是直角得, OM ? ON = 0 ,即 ?t 2 + (t 3 + t 2 )(?t 3 + t 2 ) = 0 , 即 t ? t + 1 = 0 .此时无解;
4 2 o

uuuu uuur r

(10 分)

若 t ≥ 1 ,则 f (t ) = c ? ln t . 由于 MN 的中点在 y 轴上,且 ∠MON = 90 ,所以 N 点

不可能

uuuu uuur r 在 x 轴上,即 t ≠ 1 . 同理有 OM ? ON = 0 ,即 ?t 2 + (t 3 + t 2 ) ? c ln t = 0 , c =
g (t ) =

1 . 由于函数 (t + 1) ln t

1 (t > 1) 的值域是 (0, +∞ ) ,实数 c 的取值 范围是 (0, +∞ ) 即为所求. (t + 1) ln t
(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到割线定理以及三角形 相似等内容. 【试题解析】解:⑴连结 DE ,因为 ACED 是圆的内接四边形,所以 ∠BDE = ∠BCA . 又

∠DBE = ∠CBA ,所以△ BDE ∽△ BCA ,即有

CD 是 ∠ACB 的平分线,所以 AD = DE , (5 分) 从而 BE = 2 AD . ⑵由条件得 AB = 2 AC = 2 ,设 AD = t ,根据割线定理得 BD ? BA = BE ? BC ,即 ( AB ? AD) ? BA = 2 AD ? (2 AD + CE ) 1 1 2 所以 (2 ? t ) × 2 = 2t (2t + 2) ,即 2t + 3t ? 2 = 0 ,解得 t = ,即 AD = . (10 分) 2 2

BE DE = . 而 AB = 2 AC , 所以 BE = 2 DE .又 BA CA

23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标 方 程 与 平 面 直角坐标方程的互化、距离等内容. 【试题解析】⑴将 ?

将 ρ ( cos θ ? sin θ ) + 1 = 0 化为直角坐标方程得 x ? y + 1 = 0 .

? x = cos α , 2 ( α 为参数)化为普通方程得 x 2 + ( y ? 1) = 1 , ? y = 1 + sin α
(5 分)

⑵ 由⑴知曲线 C1 表示圆心为 (0,1) ,半径为 1 的圆,曲线 C 2 表示直线 x ? y + 1 = 0 ,并且过圆 心 (0,1) ,所以曲线 C1 上的点到曲线 C 2 上点的最远距离等于圆的半径 1. (10 分) 24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及 等内容.

不等式证明

3 ? ?1 1 3 ? ? ≤ x≤ ?x < ?x > 【试题解析】解:⑴原不等式等价于 ? 或 ?2 , 2 或? 2 2 ?4 ? 4 x ≤ 5 ?2 ≤ 5 ?4 x ? 4 ≤ 5 ? ? ?
1 9 因此不等式的解集为 x ∈ [? , ] . 4 4
(5 分)

数学试题卷(文科)

第 10 页(共 4 页)

⑵由于 g ( x) =

1 的定义域为 R ,则 f ( x) + m = 0 在 R 上无解. f ( x) + m
(10 分)

又 f ( x ) =| 2 x ? 1| + | 2 x ? 3 |≥| 2 x ? 1 ? 2 x + 3 |= 2 , f (x) 的最小值为 2,
所以 ? m < 2 ,即 m > ?2 .

数学试题卷(文科)

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