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《用向量法求异面直线所成的角》教案

时间:2019-07-09

第一讲:立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求异面直线所成的角
大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形” 的综合推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这 种方法没有一般规律可循, 对人的智力形成极大的挑战, 技巧性较强, 致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量,对于某些立体几何问题提供通法,避 免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要, 需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。 本文举例说明如何 用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到 提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角,不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对线线角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法; 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学难点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识: 1、两异直线所成的角: (范围: ? ? (0,

?
2

])

(1)定义:过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a? 与 b? ,那么直线 a? 与 b? 所 成的锐角或直角,叫做异面直线 a 与 b 所成的角. (2)用向量法求异面直线所成角,设两异面直线 a、b 的方向向量分别为 a 和 b , a

?

O

?
b

1

问题 1: 当 a 与 b 的夹角不大于 90°时,异面直线 a、b 所成 的角 ? 与 a 和 b 的夹角的关系?

a
O

?
b

? ?? a, b ?

问题 2: a 与 b 的夹角大于 90°时, ,异面直线 a、b 所成的角

? 与 a 和 b 的夹角的关系?

? ? ? ? ? a, b ?

b a
O

?

两向量数量积的定义: a ? b ?| a || b | cos ? a, b ? 两向量夹角公式: cos ? a, b ??

a ?b | a || b |

结论:异面直线 a、b 所成的角的余弦值为 cos? ?| cos ? a, b ?|?

| a ?b | | a || b |

2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” : (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何 问题转化为向量问题; (化为向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (进行 向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形) Ⅱ、典例分析与练习 思考:在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 E1 与 F1 分别为 A1 B1 、
z D1 F1
A1
D

C1 B1
y

C1 D1 的四等分点,求异面直线 DF1 与 BE1 的夹角余弦值?
(1)方法总结:①几何法;②向量法 (2) cos ? DF 1 , BE1 ? 与 cos ? DF 1 , E1 B ? 相等吗? (3)空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别?
x

E1

C
B

A

例 1 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ,侧棱长为 2a ,求 AC1 和 CB1 所成的角. 分析:建立空间直角坐标系,转化为向量与向量的夹角问题。 步骤:1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解:如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,
2

A1

Z
1

A
D

CB 1 B
1

C1

C

1

A

C

x

A

B

x

D

y y B

则 A(0,0,0), C1 (?

3 1 3 1 a, a, 2a), C (? a, a,0), B1 (0, a, 2a) 2 2 2 2

?

AC1 ? (?

3 1 3 1 a, a, 2a) , CB1 ? ( a, a, 2 a ) 2 2 2 2

3 2 a AC1 ? CB1 1 2 即 cos ? AC1 , CB1 ?? ? ? 2 2 | AC1 || CB1 | 3a

? AC1 和 CB1 所成的角为

? 3

总结: (1) cos ? DF 1 , BE1 ? 与 cos ? DF 1 , E1 B ? 相等吗? (2)空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别? 点拨 求异面直线所成的角可利用空间向量表示直线的方向向量,转化为向量所成的角。两异面直线

所成角的范围是 ? ? ? 0,

? ?

??

? 2?

, 两向量的夹角 ? 的范围是 ? 0, ? ? 。 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或

直角时, 就是该异面直线的夹角; 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时, 其补角才是异面直线的夹角。

练习 1:在 Rt△AOB 中,∠AOB=90°,现将△AOB 沿着平面 AOB 的法向量方向平移到△A1O1B1 的位置,已 知 OA=OB=OO1,取 A1B1 、A1O1 的中点 D1 、F1,求异面直线 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值。 解:以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系,并设 OA ? 1 ,

1 1 1 ,0,1) ,D1( , ,1) 2 2 2 1 1 1 ? AF1 ? (? ,0,1) , BD1 ? ( ,? ,1) 2 2 2
则 A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,F1(

? cos ? AF1 , BD1 ??

AF1 ? BD1 | AF1 || BD1 |

?

?

1 ? 0 ?1 30 4 ? 10 5 3 ? 4 2

所以,异面直线 BD?与 AF?所成的角的余弦值为

30 . 10

练习 2:在正方体 ABCD—A?B?C?D?中,M 是 AB 的中点,求对角线 DB?与 CM 所成角的余弦值. 解:建立如图所示的直角坐标系,设正方体的棱长为 1,

? 1 ? 则 D(0,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),M?1, ,0?. ? 2 ?
3

1 ? ? ∴DB1=(1,1,1),CM=?1,- ,0?, 2 ? ? → → → → → → =





∴cos〈DB1,CM〉=

DB1〃CM

1 2 3× 5 2



15 . 15

|DB1||CM|

∴异面直线 DB1 与 CM 所成角的余弦值为 Ⅲ、小结与收获

15 . 15

1、异面直线所成的角的余弦值: cos? ?| cos ? a, b ?|? 2、用空间向量解决立体几何问题的一般步骤. Ⅳ、课后练习

| a ?b | ; | a || b |

1、如图,在棱长为2的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E、F 分别是棱 A 1D 1, A 1B 1 的中点. 求异面直线 DE与FC1 所成的角.

2、如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. 求异面直线 AC1 与 B1 C 所成角的余弦值.

4


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