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直线与圆练习题(附答案)

时间:2018-06-30

直线与圆
一、填空题 1.若函数 f ( x) = - 1 e ax 的图象在 x=0 处的切线 l 与圆 C: x2 + y 2 = 1 相离,则 P(a,b)与圆 C 的位置关系是 b

?x ? 1 y ?1 ? 2.实数 x、y 满足不等式组 ? y ? 0 ,则 W= 的取值范围是_____________. x ?x ? y ? 0 ? ?x ? 1 a?b?c ? ? 3. 已 知 x , y 满 足 ? x ? y ? 4 且 目 标 函 数 z ? 2x ? y 的 最 大 值 为 7 , 最 小 值 为 1 , 则 a ?ax ? by ? c ? 0 ?
_____________. 4.已知点 A(3,2),B(-2,7),若直线 y=ax-3 与线段 AB 的交点 P 分有向线段 AB 的比为 4:1,则 a 的值为 5.设 E 为平面上以 A ( 4 , 1 ) , B ( ? 1 , ? 6 ) , C ( ? 3 , 2 ) 为顶点的三角形区域(包括边界 ), 则 Z=4x-3y 的最大值和最 小值分别为_____________.

? x ? y ? 4 ? 0, ? 6.实数 x, y满足条件? x ? 2 y ? 2 ? 0,则z ? x ? y 的最大值为_____________. ? x ? 0, y ? 0, ?
2 2 7.由直线 y ? x ? 1 上的点向圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 引切线,则切线长的最小值为_____________.

8.圆 ? x ? 1?2 ? y 2 ? 1 被直线 x ? y ? 0 分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为_____________. 9.设定点 A(0,1),动点 P ? x, y ? 的坐标满足条件 ?
2 2

? x ? 0, 则 PA 的最小值是_____________. ? y ? x,

10.直线 x ? y ? 1 ? 0与圆( x ? 1) ? y ? 2 的位置关系是_____________.

?x ? y ? 3 ? 11.设实数 x, y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 _____________. ?y ? 0 ?
12.直线 y ? ? 3?x ? 2? 截圆 x ? y ? 4 所得的劣弧所对的圆心角为_____________.
2 2

?x ? 2 ? 0 ? 13. 已 知 点 P?x, y ? 在 不 等 式 组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内运动,则 z ? x? y 的取值范围是 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
_____________. → → → → → → 14.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA?OB|,则实数 a 的值是_____________.

二、解答题:

1.求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关系.

2. 圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个?

12.π /3

13.

?? 1,2?

14.2或?2 设

16.符合题意的点是平行于直线

3x ? 4 y ?11 ? 0,且与之距离为1的直线和圆的交点.

设所求直线为 3x ? 4 y ? m ? 0 ,则

d?

m ? 11 32 ? 42

?1


∴ m ?11 ? ?5 ,即 m ? ?6 ,或 m ? ?16 ,也即

l1: 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ,或 l2: 3x ? 4 y ?16 ? 0 .
( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9的圆心到直线 l1 、 l 2 的距离为 d1 、 d 2 ,则 设圆 O1:
2 2

d1 ?

3? 3 ? 4 ? 3 ? 6 32 ? 42

?3


d2 ?

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 16 32 ? 42

?1


∴ l1 与

O1 相切,与圆 O1 有一个公共点; l 2 与圆 O1 相交,与圆 O1 有两个公共点.即符合题意的点共3个.

17.∵点 P

?2, 4? 不在圆 O 上,

∴切线 PT 的直线方程可设为 y ? k ?x ? 2? ? 4 根据 d ? r

? 2k ? 4


1? k 2

?2

解得

k?

3 4

y?
所以 即

3 ?x ? 2? ? 4 4

3x ? 4 y ?10 ? 0

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为 x ? 2 .

4.则题意,设所求圆的方程为圆

C: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 .

圆 C 与直线 y ? 0 相切,且半径为4,则圆心 C 的坐标为 C1 (a , 4) 或 C2 (a , ? 4) . 又已知圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的圆心 A 的坐标为 (2 , 1) ,半径为3.
2 2

若两圆相切,则

CA ? 4 ? 3 ? 7
2



CA ? 4 ? 3 ? 1
2 2


2 2 2

(1)当 C1 (a , 4) 时, (a ? 2) ? (4 ?1) ? 7 ,或 (a ? 2) ? (4 ?1) ? 1 (无解),故可得 a ? 2 ? 2 10 . ∴所求圆方程为 ( x ? 2 ? 2 10 ) ? ( y ? 4) ? 4 ,或 ( x ? 2 ? 2 10 ) ? ( y ? 4) ? 4 .
2 2 2 2 2 2

(2)当 C2 (a , ? 4) 时, (a ? 2) ? (?4 ?1) ? 7 ,或 (a ? 2) ? (?4 ?1) ? 1 (无解),故 a ? 2 ? 2 6 .
2 2 2 2 2 2

∴所求圆的方程为 ( x ? 2 ? 2 6 ) ? ( y ? 4) ? 4 ,或 ( x ? 2 ? 2 6 ) ? ( y ? 4) ? 4
2 2 2 2 2

2

5.由直线方程可得

3 ? x ? 2 y ,代入圆的方程 x2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 ,有

1 m x 2 ? y 2 ? ( x ? 2 y)( x ? 6 y) ? ( x ? 2 y) 2 ? 0 3 9 ,
整理,得 (12 ? m) x ? 4(m ? 3) xy ? (4m ? 27) y ? 0 .
2 2

由于 x ? 0 ,故可得

y y (4m ? 27)( ) 2 ? 4(m ? 3) ? 12 ? m ? 0 x x .


kOP , kO Q 是上述方程两根.故 kOP ? kOQ ? ?1.得

12 ? m ? ?1 4m ? 27 ,解得 m ? 3 .
经检验可知 m ? 3 为所求.

6.设两圆
2 2

C 1 、 C 2 的任一交点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则有:
① ②

x0 ? y0 ? D1 x0 ? E1 y0 ? F1 ? 0 x0 ? y0 ? D2 x0 ? E2 y0 ? F2 ? 0
①-②得:
2 2

(D1 ? D2 ) x0 ? (E1 ? E2 ) y0 ? F1 ? F2 ? 0 .

1 ?F 2 ∵ A 、 B 的坐标满足方程 (D1 ? D2 ) x ? (E1 ? E2 ) y ? F 1 ?F 2 ∴方程 (D1 ? D2 ) x ? (E1 ? E2 ) y ? F

? 0.

? 0 是过 A 、 B 两点的直线方程.

又过 A 、 B 两点的直线是唯一的. ∴两圆

C1

1 ?F 2 、 C 2 的公共弦 AB 所在直线的方程为 (D1 ? D2 ) x ? (E1 ? E2 ) y ? F

?0


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