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2018高考数学一轮复习第三章任意角和弧度制及任意角的三角函数训练理新人教A版 精品推荐

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【创新设计】2018 高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制 及任意角的三角函数训练 理 新人教 A 版 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 [备考方向要明了] 考 什 么 1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进 行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正 弦、余弦、正切)的定义. 怎 么 考 1.考查形式为选择题或填空题. 2.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合, 考查三角函数求 值问题,如 2018 年新课标全国 T5 等. 3.三角函数的定义与向量等知识相结合, 考查三角函数定义的 应用,如 2018 年山东 T18 等. [归纳·知识整合] 1.角的有关概念 角的特点 从运动的角度看 从终边位置来看 α 与 β 角的终边相同 角的分类 角可分为正角、负角和零角 可分为象限角和轴线角 β =α +k·360°(k∈Z) (或 β =α + k·2π ,k∈Z) [探究] 1.终边相同的角相等吗?它们的大小有什么关系? 提示:终边相同的角不一定相等,它们相差 360°的整数倍,相等的角终边一定相同. 2.锐角是第一象限角,第一象限角是锐角吗?小于 90°的角是锐角吗? 提示:锐角是大于 0°且小于 90°的角,第一象限角不一定是锐角,如 390°,-300° 都是第一象限角.小于 90°的角不一定是锐角,如 0°,-30°都不是锐角. 2.弧度的概念与公式 在半径为 r 的圆中 分类 1 弧度的角 定义(公式) 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表 示 |α |= (弧长用 l 表示) π ①1°= rad 180 ②1 rad=? 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形的面积公式 l r ?180?° ? ?π ? 弧长 l=|α |r S= lr= |α |·r2 1 2 1 2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 定义 y 叫做 α 的正弦,记作 x 叫做 α 的余弦, sin α Ⅰ 正 正 负 负 记作 cos α 正 负 负 正 y 叫做 α 的正切,记作 x tan α 正 负 正 负 各象 限符 号 Ⅱ Ⅲ Ⅳ 口诀 一全正,二正弦,三正切,四余弦 三角函数线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余 弦线 有向线段 AT 为正切线 [探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么意义? 提示:三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负. [自测·牛刀小试] 9π 1.(教材习题改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 A.2kπ +45°(k∈Z) C.k·360°-318°(k∈Z) 9 B.k·360°+ π (k∈Z) 4 5π D.kπ + (k∈Z) 4 ) 9 9 解析:选 C ∵ π = ×180°=360°+45°=720°-318°, 4 4 9 ∴与 π 终边相同的角可表示为 k·360°-318°(k∈Z). 4 2.(教材习题改编)若角 θ 同时满足 sin θ <0 且 tan θ <0,则角 θ 的终边一定落 在( ) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 解析:选 D 由 sin θ <0,可知 θ 的终边可能位于第三或第四象限,也可能与 y 轴的 非正半轴重合.由 tan θ <0,可知 θ 的终边可能位于第二象限或第四象限,可知 θ 的终 边只能位于第四象限. 3.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 C.1 或 4 B.4 D.2 或 4 2 ) 2r+l=6, ? ? 解析:选 C 设扇形的弧长为 l,半径为 r,则?1 l·r=2, ? ?2 解之得 l=r=2 或 r=1,l=4, 故圆心角 θ =1 或 4. 5 4.(教材习题改编)已知角 α 的终边经过点 P(-x,-6),且 cos α =- ,则 x 的值 13 为________. 解析:∵cos α = -x -x 2 + - 2 = 5 =- , 13 x +36 2 -x x>0, ? ? 2 ∴? x 25 = , 2 ? ?x +36 169 5 答案: 2 5 解之得 x= . 2 2π 5.若点 P 在角 的终边上,且|OP|=2,则点 P 的坐标是________. 3 2 解析:∵角 π 的终边落在第二象限, 3 ∴可设 P(x,y),其中 x<0,y>0, x 2 ? ?2=cos 3π , 由题意得? y 2 =sin π , ? ?2 3 ∴P(-1, 3). 答案:(-1, 3) 即? ?x=-1, ?y= 3, 象限角及终边相同的角 [例 1] (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π )内终边与 角的终边相同的角; 7 3 (3)已知角 α 为第三象限角,试确定 2α 的终边所在的象限. π [自主解答] (1)∵在(0,π )内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3 ? ? π ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为?α |α = +kπ ,k∈Z?. 3 ? ? 6π (2)∵θ = +2kπ (k∈Z), 7 ∴ θ 2π 2kπ = + (k∈Z). 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + <2π ? - ≤k< ,k∈Z. 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π )内终边与 相同的角为 , , . 3 7 21 21 3π (3)由 α 是第三象限角,得 π +2kπ <α < +2kπ (k∈Z), 2 ∴2π +4kπ <2α <3π +4kπ (k∈Z). ∴角

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