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2013年全国高中数学联赛四川省预赛含答案可编辑

时间:2014-11-14


2013 年全国高中数学联赛四川省预赛
试题
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足: f ? x ? 3? ? ? 【】

1 , 若 f( 则 f (2 0 ) ? 2 , 0 1 3 ) f ? x?

?

1 1 B、 C 、2 D、2013 2 2 2、设等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ? 满足: 0 ? a1 ? b1 ? a5 ? b5 ,则下述四个结论:
A、 ? ① a3 ? b3 ;② a3 ? b3 ;③ a6 ? b6 ;④ a6 ? b6 中正确的个数是【】 A、0 个 B、1 个 C、2 个 D 、3 个 3、 已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,PA ? ? ,PB ? ? , A 、B 为垂足,PA = 5 , PB = 4 ,设 A 、 B 到二面角的棱 l 的距离分别为 x 、 y ,当 ? 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹为下 列图形中的【】

y
3 3 3 A B

y
3 3 D

y

y

o

x
C

o

x

o

x

o

3

x

4、从 [0,10] 上任取一个数 x ,从 [0,6] 上任取一个数 y ,则使得 | x ? 5 | ? | y ? 3 |? 4 的概 率是【】 1 1 3 1 A、 B、 C、 D、 5 3 2 4 5、当平面上的点 ( x, y ) 的坐标 x 、 y 都为有理数时,该点称为有理点,设 r 是给定的正 实数,则圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 上的有理点【】 A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个 D、可以有无穷多个

6、△ABC 中, ?C ? 90? , ?B ? 30? , AC = 2 ,M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 翻折, 使 A、B 两点间的距离为 2 2 ,则三棱锥 A ? BCM 的体积等于【】 A、

2 3

B、

2 3

C、

6 3

D、

2 2 3

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

3? x ,记 f (1) ? f (2) ? f (4) ? ? ? f (1024 ) ? m, 1? x 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ? n ,则 m ? n ? . 2 4 8 1024 2 3 4 2013 8、 已知 i 是虚数单位,z ? 1 ? i ? i ? i ? i ? ? ? i , 把复数 z 的共轭复数记为 z , 则z?z
7、已知函数 f ( x) ? =.

y2 ? 1 ,则 x 2 ? y 2 的最大值是. 16 4 10、关于曲线 C: x ? y 2 ? 1的下列命题:
9、实数 x, y 满足 x ?
2

①曲线 C 关于原点对称;②曲线 C 关于直线 y = x 对称; ③曲线 C 所围成的面积小于 ? ;④曲线 C 所围成的面积大于 ? , 其中的真命题是. (写出所有真命题的编号) 1 1 11、设 n 是小于 100 的正整数,且满足 (n2 ? 1) ? n 为整数,则符合条件的所有正整数 n 的 3 5 和为. 12、已知函数 f ( x) ? 值范围是. 三、解答题(每小题 20 分,共 80 分)
2 13 、设实数 ? ? 0 ,已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x ? sin(? x ? ) 的最小正周期是

a ? x ,对任意 x ? (0,1) ,有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 恒成立,则实数 a 的取 x

π 2

π π π .求 f ( x ) 在 [ , ] 上的最大值与最小值. 2 8 4

14 、 已 知 函 数 f ( x) ?

x ?1 bn ? lo g3 ( n ?1 )(n ? N * ) . xn ?1 ? 1 (1)求证:数列 {bn } 成等比数列,并求数列 {bn } 的通项公式;
(2)记 cn ? ?nbn (n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和公式 Tn .

x3 ? 3x , 数 列 {xn } 满 足 : x1 ? 2 , xn?1 ? f ( xn ) (n ? N * ) , 记 2 3x ? 1

15、已知点 B(0,1) ,P、Q 为椭圆

x2 + y 2 = 1 上异于点 B 的任意两点,且 BP ? BQ . 4 (1)若点 B 在线段 PQ 上的射影为点 M,求点 M 的轨迹方程; (2)求线段 PQ 的中垂线 l 在 x 轴上的截距的取值范围.

16 、 若 实 数 x0 满 足 f ( x0 ) ? x0 , 则 称 x ? x0 为 f ( x ) 的 不 动 点 . 已 知 函 数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 3 ,其中 a , b 为常数. (1)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若 a ? 0 时,存在一个实数 x0 ,使得 x ? x0 既是 f ( x ) 的不动点,又是 f ( x ) 的极值 点.求实数 b 的值; (3)求证:不存在实数组 ( a, b) ,使得 f ( x ) 互异的两个极值点皆为不动点.

解答
1 、A 提示: + 6 = ?
1 +3

= ,所以, 是以 6 为周期的函数.
1

所以, 2013 = 3 = ? 2 、B 提示:因为 a3=
1 + 5 2

0

= ? 2.
1 +5 2

1

=

>

1 5 =b3,故②正确,从而①不正确;

令 an= 1 + 20(n ? 1),若取 bn=3n-1,可知 a6<b6,从而③不正确; n-1 若取 bn=(-3) ,可知 a6>b6,从而④不正确. 3 4 、C 提示:设 P 到棱 l 的距离为 d,则 x2+52=d2,y2+42=d2,所以 y2-x2=9(x> 0,y > 0). 、C 提示:如图, ? 5 + ? 3 ≤ 4的图像为以 G(5,3)为中心的正方形 BNEM 及 其内部,设 BM 与 RQ 的交点为 A,易知 A(4,6) ,类似的 F(6,6) ,于是所求概率

p=



=

32 ?2 60

= .
2

1

Y R(0,6)

M(5,7) A(4,6) F(6,6) G(5,3) B(1,3) E(9,3)

Q(10,6)

O 5 、B

C N

D

P(10,0)

X

提示:设(a,b) 、 (c,d)为这个圆上的两个有理点,则

(a-1)2+(b- 2)2=(c-1)2+ (b- 2)2,
整理得 2 2(b-d)=a2+b2-c2-d2+2(c-a). 显然等式右边是有理数,因此当且仅当 b=d 时,等式的左边是有理数,此时 a≠c,a+c=2. 由此得这两个有理点关于直线 x=1 对称,而圆上与(a,b)关于 x=1 对称的点最多只有一 个. 6 、 D 提示: 如图, 作 BD 垂直于 CM 的延长线于 D, AF⊥CM 于 F, 作 EF//BD 且 EF=BD, 连结 BE.显然,AF=FE=BD= 3,EB=DF=2,所以

AE2=AB2-EB2=8-4=4
三棱锥 A-BCM 的高 h 即点 A 到平面 BCD 的距离,即等腰△AEF 中点 A 到边 EF 的距离. 根据面积相等可求得 h=

2? 3?1 3

=
1 3

2 6 3
1 2

.
2 6 3

所以三棱锥 A-BCM 的体积为:

V= ? ? 2 3 ?
A D M F C 7 、42 提示:因为 =1+
2

=

2 2 3

B

E

1+x



1

2 =1+ ,故 + 1+

1

=4.

又 1 =2,所以 m+n=4×10+2=42 、2 提示:an=i ,则 an+4=an,并且 1+i+i +i =0,则 z=1+i,从而 z =1-i,于是 z ? z
n 2 3

8

=(1+i)(1-i)=1-i2=2. 9 、 提示:由条件有 16 2 + 2 = 16,记 s= x 2 + 2 ,则

9

4

s2=x2(2+y2)=
故 s≤
9 4

1

16

× 16x2(2+y2)≤
16x2+y2=16 16x2=2+y2

,当

1 16 2 +2+ 2 2=81 ( ) 16 2 16 3

即 x=

4

,y=±

7时等号可取到.

所以,x 2 + 2 的最大值是

9

4

.

10 、①④提示:以-x 代替 x,以-y 代替 y 曲线 C 的方程不变,故关于原点对称. 以 x 代替 y ,以 y 代替 x 曲线 C 的方程改变,故不关于直线 y=x 对称. 当 x,y> 0时,y= 1 ? 4 > 1 ? 2 ,结合对称性可知,曲线 C 上的点在圆 x2+y2=1 外. 所 以曲线 C 所围成的面积大于π .
1 3

11 、635 提示:因为 (n2-1)+ n=

1 5

5 2 +3 ?5 15

为整数,于是 15|5n2+3n-5,从而 5|n,且

3|n2-1,所以 n=15k+5 或 n=15k+10,所以,符合条件的所有正整数 n 的和是:
6 =0(15

+ 5)+
5

5 =0

15 + 10

= 95 +
=0

(30 + 10)

=95+

(15+165)×6 2

=635

12 、 ≥ 1 或 a ≤ ? ? 1 ? = = = = 令 xy=t,则 t∈ (0, ],令
4 1

1 4

提示:记y = 1 ? x ∈ 0,1 ,则

?



?

2 2 ? 2 + 2 + 2
2 ?

+ 2 ?2 + 2

.

g t = 1 ? =
1 2

2 ? 1 ?2 + 2
1

≥ 1,
0 ≥ 0,即 a2-a≥ 0,解得:a≥ 1;
1

即 2 + 2 ? 1 + 2 ? ≥ 0. (1) 若

? ≤ 0,即2 ≤ ,只需g
1 ? 2
1 1

(2) 若 0< (3) 若 1 2

≤1 ,即 ≤ < ,只需g( ? ) ≥ 0,无解; 4 4 2 2
1 4
1 1 1 2

? > ,即 a< 4,只需g(4) ≥ 0,即 ? 4
1 4

≥ 4,解得, ≤ ? 4

1

1

所以,实数 a 的取值范围为 ≥ 1 或 ≤ ? 13、 f ( x) ?

.

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

? 1 ? sin(2? x ? ) ? , 6 2 2? ? ? ,则 ? ? 2 . 由条件知 T ? 2? 2 ? 1 于是 f ( x) ? sin(4 x ? ) ? , 6 2 ? ? ? ? 5? 当 ? x ? 时, ? 4 x ? ? , 8 4 3 6 6 1 ? 故 ? sin(4 x ? ) ? 1 , 2 6 ? 1 3 即 1 ? sin(4 x ? ) ? ? . 6 2 2 ? 3 ? 所以, f ( x ) 在 x ? 时取最大值 ,在 x ? 时取最小值是 1 . 6 2 4

3 xn ? 3xn ?1 3 2 3 2 xn ?1 ? 1 f ( xn ) ? 1 3xn ?1 xn ? 3xn ? 3xn ? 1 ? xn ? 1 ? 14、 (1) ? ? 3 ? 3 ?? ? 2 ? 3xn xn ?1 ? 1 f ( xn ) ? 1 xn xn ? 3xn ? 3xn ? 1 ? xn ? 1 ? ? 1 2 3xn ?1

于是 log3 (

xn?1 ? 1 x ?1 ) ? 3log3 ( n ) ,即 bn ? 3bn?1 ,所以数列 ?bn ? 成等比数列. xn?1 ? 1 xn ? 1
14 , 13

又由条件知 x2 ?

14 ?1 1 故 b1 ? log 3 ( 13 ) ? log 3 ? ?3 ,于是 bn ? ?3n , 14 27 ?1 13
所以,数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? ?3n . (2)由(1)知, bn ? ?3n ,故 cn ? n ? 3n ,

Tn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ?? n ? 3n , 3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ? ?? n ? 3n?1 ,
2 3 n n ?1

于是 ?2Tn ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3

?

3n?1 ? 3 ? n ? 3n ?1 , 2

即 Tn ?

(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 , 4

(2n ? 1) ? 3n?1 ? 3 (n ? N * ) . 所以,数列 {cn } 的前 n 项和公式 Tn ? 4
15 、 ( 1 )设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) , PQ 的方程为 y = kx + m ,与椭圆方程联立消去 y 得:

(1+ 4k 2 )x2 + 8kmx + 4m2 - 4 = 0,
4m 2 - 4 - 8km x x = , , 1 2 4k 2 + 1 4k 2 + 1 y - 1 y2 - 1 ? - 1 ,即 由 BP ? BQ 得 1 x1 x2

所以 x1 + x2 =

x1 x2 + y1 y2 - ( y1 + y2 ) + 1 = 0 ,

从而可得

(k 2 + 1)(4m 2 - 4) - 8km + k (m - 1) ? 2 2 4k + 1 4k + 1

(m - 1) 2 = 0

化简得 5m2 - 2m - 3 = 0 ,解得 m = 1 (舍去)或 m = 设 M ( x, y ) ,因为 BM〦PQ,所以 k = 代入 PQ 方程得 y = x2 3 - , y- 1 5

3 . 5

x , y- 1

2 2 2 整理得 x ? ( y ? ) ? ( ) ,

1 5

4 5

由题意知轨迹不经过点 B(0,1) .
2 2 2 所以,动点 M 的轨迹方程为: x ? ( y ? ) ? ( ) ( y ? 1) .

1 5

4 5

(2)PQ 方程为 y = kx -

3 ,所以 5 x1 + x2 y + y2 12k - 3 = = , 1 2 2 5(4k + 1) 2 5(4k 2 + 1)
3 1 12k = - (x ), 5(4k 2 + 1) k 5(4k 2 + 1)

所以 PQ 中垂线方程为 y +

在 x 轴上的截距为 b =

9 9 9k ?b? ,所以, ? . 5(4k 2 + 1) 20 20

16、 (1)若 a ? 0 , f ( x) ? x3 ? bx ? 3 ,故 f ?( x) ? 3x2 ? b . 当 b ? 0 时,显然 f ( x ) 在 R 上单增; 当 b ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 知 x ?

?

b b 或x?? ? . 3 3

所以,当 b ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ??) ; 当 b ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ? ? ) , ( ? , ??) .
2 ?3 x0 ?b ? 0 (2)由条件知 ? 3 , ? x0 ? bx0 ? 3 ? x0

b 3

b 3

3 2 于是 2x0 ? x0 ? 3 ? 0 ,即 ( x0 ?1)(2x0 ? 2x0 ? 3) ? 0 ,解得 x0 ? 1

从而 b ? ?3 .
2 (3)方法 1 假设存在一组实数 ( a, b) 满足条件.由条件知 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
2 因为 f ( x ) 的两个不同极值点,则 ? ? 4a ? 12b ? 0 ,即

a2 ? 3b .①

设 f ( x ) 的两个不同极值点为 x1 , x2 ,其中 x1 ? x2 ,则 x1 , x2 是方程 3x2 ? 2ax ? b ? 0 的 两实根,所以 x1 ? x2 ? ?

2a b , x1 x2 ? . 3 3

又由 x1 , x2 是 f ( x ) 的不动点,则 x1 , x2 是方程 x3 ? ax2 ? (b ? 1) x ? 3 ? 0 的两根,设其 另一个根为 x3 .故 x3 ? ax2 ? (b ?1) x ? 3 ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) 即 x3 ? ax2 ? (b ?1) x ? 3 ? x3 ? ( x1 ? x2 ? x3 ) x2 ? ( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ) x ? x1x2 x3

? x1 ? x2 ? x3 ? ? a ? 故有 ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ? b ? 1 ? x x x ? ?3 ? 1 2 3
于是 x3 ? ?

a 9 ? ? ,从而 3 b

ab ? 27 .② b 2a a )(? ) , 又 b ? 1 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) x3 ? ? (? 3 3 3

2a 2 2b 2a 2 18 ? ? 1 ? 0 ,故 ? ? 1 ? 0 ,即 2a3 ? 9a ?162 ? 0 即 9 3 9 a
令 g ( x) ? 2 x3 ? 9 x ?162 ,则 g ?( x) ? 6 x2 ? 9 ? 0 故 g ( x) 在 R 上单增,从而 g ( x) ? 0 至多有一个实根; 又因为 g (0) ? ?162 ? 0 , g (4) ? 2 ? 0 ,从而 g ( x) ? 0 至少有一个实根; 所以, g ( x) ? 0 恰有一个实数根 x ? a ? (0, 4) .
2 由①、②知 a ? 3b ?

81 3 ,即 a ? 81,这与 a ? (0, 4) 矛盾! a

所以,不存在实数组 ( a, b) ,使得 f ( x ) 互异的两个极值点皆为不动点. 方法 2 假设存在一组实数 ( a, b) 满足条件. 由条件知′ =3x 2 +2a+b,因为 有两个 不同的极值点,则?=42 ? 12b > 0,即 2 > 3③ 设 的两个不同极值点为 x1、x2,其中 x1<x2,则 x1、x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两实根,所以 x1+x2= - ,x1x2= .
3 2
2



3

又由 x1、x2 是 的不动点,则 x1、x2 是方程 x +ax +(b-1)x+3=0 的两根,所以

3

2

x13+ax12+(b-1)x1+3=0, x23+ax22+(b-1)x2+3=0,
于是(x1 -x2 )+a(x1 -x2 )+(b-1)(x1-x2)=0,故
3 3 2 2

(x1+x2)2-x1x2+a(x1+x2)+(b-1) =0


(? 3 )2? 3 + ? ? 3 + ? 1 = 0,
从而 2a2?6b + 9 = 0 由③知 2a2?6b + 9 > 9,这与④矛盾! 所以,不存在实数组(a,b) ,使得 互异的两个极值点皆为不动点. ④








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