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1.6三角函数模型的简单应用3+4 (2)

时间:2014-05-08


三角函数模型的简单应用
备注
①简单应用——学以致用,解决生活中的 实际问题 ②数学模型——具体的数学函数关系 ③三角函数模型——三角函数关系

函数模型的应用示例
? 正弦型函数
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、物理情景—— ①简单和谐运动 ②星体的环绕运动 2、地理情景—— ①气温变化规律 ②月圆与月缺 3、心理、生理现象—— ①情绪的波动 ②智力变化状况 ③体力变化状况 4、日常生活现象—— ①涨潮与退潮 ②股票变化 …………

y ? A sin( ?x ? ? )

( A ? 0,? ? 0)

例题1
下图是某简谐运动的图象,试根据图象回答下列问 题: (1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少? (2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了 一次往复运动?如从A点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式。 y/cm
2 O

A
0.4 B C

E 0.8 D 1.2 F

x/s

例题2
如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足 函数 y ? Asin ?x ? ? ? b

?

?

? (1)求这一天6~14时的最大温度。 ? (2)写出这段曲线的函数解析式。 T/oC 30 20 10

注意—— 一般的,所求
出的函数模型只能近似地 刻画这天某个时段的温度 变化情况,因此要特别注 意自变量的变化范围。 6

o

8

10 12 14 t/h

例题3
如果在北京地区(纬度数是北纬40o)的一幢高为ho的楼 房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前 面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?

分析:根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为——
南,北回归线之间的地带。画出图形如下,由画图易知

h0

A

B

C

解:图中A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时楼顶在地面上的投影点。要使新楼一层正午的太阳 全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况 来考虑,依题意两楼之间的距离应不小于PC。 根据太阳高度角的定义有?C ? 90? ? | 40? ? (? 23?26' ) |? 26?34'

h0 h0 MC ? ? ? 2.000 h0 ? 所以 即在盖楼时, tan c tan 26 34'
为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当与楼高两倍的间距。
h ? 15 tan[ 900 ? (230 ? 230 26)]

练习:

佛山市的纬度是北纬230

? 15 tan430 34 ? 14.26
3层以上

,小王想在某住宅小区买房,该小

区的楼高7层,每层3米,楼与楼 之间相距15米。要使所买楼层在 一年四季正午太阳不被前面的楼 房遮挡,他应选择哪几层的房?
A南楼 北C

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太阳高度角的定义
?

北半球
南半球

? 如图,设地球表面某地 纬度值为 , ? 正午太阳高度角为? , ? 此时太阳直射纬度为
? 那么这三个量之间的关 系是 ?

90? ? ?

?
地心
?

?

太阳光

?

? ? 90 ? | ? ? ? |

? 当地夏半年 冬半年 取负值。 ?

? 取正值,

90 ?? ? ? ? ? 90? ? ? ?| ? ? ? |

? ? 90 ? | ? ? ? |
?

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太阳光直射南半球

90? ? ?

?
地心

?

90 ?? ? ? ? ? ? 90 ? ? ?| ? ? ? |
?

?

太阳光

? ? 90 ? | ? ? ? |
?

例4:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现
象叫潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常情况 下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后,在落 潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与 水深关系表:
时刻
水深
(米)

0.00 3.00 5.0 7.5

6.00 5.0

9.00 12.00 2.5 5.0

15.00 7.5

18.00 5.0

21.00 2.5

24.00 5.0

(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函 数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001)。

y

6

4 2

O

3

6

9 12

15 18 21

24

x

解:以时间为横坐标,以水深为纵坐标,在直角坐标系中 描出各点,并用平滑的曲线连接。根据图象,可以考虑用 函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? h 刻画水深与时间的关系。

时刻 水深 时刻 水深

0.00

1:00

2: 00

3:00

4:00

5:00

6:00

7:00

8:00

9:00

10:00

11:00

从数据和图象可以得出: A=2.5,h=5,T=12,
15:00 16:00 由 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00

12.00

13:00

14:00

时刻 水深 时刻 水深

0.00

1:00

2: 00 7.165

3:00

4:00

5:00

6:00

7:00

8:00

9:00

10:00

11:00

从数据和图象可以得出: A=2.5,h=5,T=12,
15:00 16:00 由 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00

12.00

13:00

14:00

时刻 水深 时刻 水深

0.00 5.000 12.00 5.000

1:00 6.250
13:00

2: 00 7.165
14:00

3:00 7.500
15:00

4:00

5:00

6:00

7:00

8:00 2.835
20:00

9:00 2.500
21:00

10:00

11:00

从数据和图象可以得出: 7.165 6.250 5.000 3.754 A=2.5 ,h=5, T=12 ,
16:00 由 17:00 18:00 19:00

2.835
22:00

3.754
23:00

6.250

7.165

7.500

7.165

6.250

5.000

3.754

2.835

2.500

2.835

3.754

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,
安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距 离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?
y

y ? 5.5
6 4 2 9 12 24 x

O

3

6

15

18

21

(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:
00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船 在什么时候必须停止卸货,将船驶向较深的水域。

y

6 4

2

y ? 5.5 ? 0.3( x ? 2)
x 2 3

O

6

9

12

15

小结:
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模 型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数 模型来解决实际问题,如天气预报,地震预测,等等.

2.建立三角函数模型的一般步聚:
搜集数据 利用计算机 作出相应的 散点图 进行函数 拟合得出 函数模型 利用函数 模型解决 实际问题

作业
? 1.(书上)P65#1、2. ? 2.(学评)P36~37#1~10,P40#1、2、3, P41#5,P43#2.


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