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【课堂新坐标】高中数学北师大版必修二练习:2.2.2圆的一般方程(含答案解析)

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学业分层测评(二十) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.圆 x2+y2-2x+6y+8=0 的周长等于( A. 2π C.2 2π B.2π D.4π ) 【解析】 圆的方程配方后可化为(x-1)2+(y+3)2=2, ∴圆的半径 r= 2,∴周长=2πr=2 2π. 【答案】 C 2.如果过 A(2,1)的直线 l 将圆 x2+y2-2x-4y=0 平分,则 l 的方程为( A.x+y-3=0 C.x-y-1=0 B.x+2y-4=0 D.x-2y=0 ) y-1 x-2 【解析】 由题意知直线 l 过圆心(1,2),由两点式可得 l 的方程为 = ,即 x+y 2-1 1-2 -3=0. 【答案】 A 3.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的点到直线 x-y=2 的距离的最大值是( A.2 C.2+ 2 2 B.1+ 2 D.1+2 2 ) 【解析】 圆的方程变为(x-1)2+(y-1)2=1, ∴圆心为(1,1),半径为 1,圆心到直线的距离 d= ∴所求的最大值为 1+ 2. 【答案】 B 4.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心, 半径的圆的方程为( ) B.x2+y2+2x+4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 5为 = 2, 12+?-1?2 |1-1-2| A.x2+y2-2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 【解析】 直线(a-1)x-y+a+1=0 可化为(-x-y+1)+a(1+x)=0, ?-x-y+1=0, ? 由? 得 C(-1,2), ? ?x+1=0, ∴圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5, 即 x2+y2+2x-4y=0. 【答案】 C 5.若 Rt△ ABC 的斜边的两端点 A,B 的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点 C 的 轨迹方程为( ) B.x2+y2=25 D.(x-2)2+y2=25 A.x2+y2=25(y≠0) C.(x-2)2+y2=25(y≠0) 【解析】 线段 AB 的中点为(2,0),因为△ ABC 为直角三角形,C 为直角顶点,所以 C 1 到点(2,0)的距离为 |AB|=5,所以点 C(x,y)满足 ?x-2?2+y2=5(y≠0),即(x-2)2+y2= 2 25(y≠0). 【答案】 C 二、填空题 6.以点 A(2,0)为圆心,且经过点 B(-1,1)的圆的一般方程为______. 【解析】 由题意知,圆的半径 r=|AB|= ?-1-2?2+? 1 -0?2= 10, ∴圆的标准方程为(x-2)2+y2=10,化为一般方程为 x2+y2-4x-6=0. 【答案】 x2+y2-4x-6=0 7.已知圆 x2+y2+2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称,则 a-b 的取值范围是 ________. 【解析】 由题意知,直线 y=2x+b 过圆心,而圆心坐标为(-1,2),代入直线方程, 得 b=4, 圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5-a,所以 a<5,由此,得 a-b<1. 【答案】 (-∞,1) 8.点 P(x0,y0)是圆 x2+y2=16 上的动点,点 M 是 OP(O 为原点)的中点,则动点 M 的 轨迹方程是________. 【解析】 ?x= 2 , 设 M(x,y),则? y ?y= 2 , 0 x0 ? ?x0=2x, 即? ?y0=2y, ? 又 P(x0,y0)在圆上, ∴4x2+4y2=16,即 x2+y2=4. 【答案】 x2+y2=4 三、解答题 9.若点 A(1,-1),B(1,4),C(4,-2),D(a,1)共圆,求 a 的值. 【导学号:10690062】 【解】 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将 A,B,C 三点坐标代入,整理得方 D-E+F=-2, ? ? 程组?D+4E+F=-17, ? ?4D-2E+F=-20, 解得 D=-7,E=-3,F=2, ∴圆的方程为 x2+y2-7x-3y+2=0. 又∵点 D 在圆上,∴a2+1-7a-3+2=0,∴a=0 或 a=7. 10.已知△ ABC 的边 AB 长为 2a,若 BC 边上的中线为定长 m,求顶点 C 的轨迹. 【解】 以直线 AB 为 x 轴, AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系(如图), 则 A(-a,0), B(a,0),设 C(x,y),BC 中点 D(x0,y0), x+a y ∴x0= ,y0= , 2 2 2 ∵|AD|=m,∴(x0+a)2+y2 0=m , ① ② 将①代入②,整理得(x+3a)2+y2=4m2. ∵点 C 不能在 x 轴上,∴y≠0. 综上,点 C 的轨迹是以(-3a,0)为圆心,以 2m 为半径的圆,挖去(-3a+2m,0)和(-3a -2m,0)两点. [能力提升] 1. 若圆 x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0 上所有点都在第二象限, 则 a 的取值范围为( A.(-∞,2) C.(1,+∞) 2 2 ) B.(-∞,-1) D.(2,+∞) 【解析】 由 x +y +2ax-4ay+5a2-4=0 得(x+a)2+(y-2a)2=4,其圆心坐标为(- -a<0, ? ?2a>0, a,2a),半径为 2,由题意知? |-a|>2, ? ?2a>2, 【答案】 D 2.已知定点 P1(-1,0),P2(1,0),动点 M 满足|MP1|= 2|MP2|,则构成△ MP1P2 面积的 最大值是( A. 2 2 3 C. 3 ) B.2 2 D.2 3 解得 a>2,故选 D. 【解析】 设 M(x,y),由|MP1|= 2|MP2|, 可得 ?x+1?2+y2= 2 ?x-1?2+y2, 化简得(x-3)2+y2=8, 即 M 在以(3,0)为圆心,2 2为半径的圆上运动, 1

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