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第二章 3.1双曲线及其标准方程

时间:2018-09-05


§3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程
学习目标  1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方 程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.

知识点一 双曲线的定义 思考 若取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2 上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线上的点 应满足怎样的几何条件? 答案 如图,曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|=常数(小于|F1F2|);如果改变一下笔尖位 置,使|MF2|-|MF1|=常数(小于|F1F2|),可得到另一条曲线.

梳理 (1)平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的集合 叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. (2)关于“小于|F1F2|”:①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨 迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点);②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余 条件不变,则动点轨迹不存在. (3)若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则动点的轨迹只有双曲线的一支. (4)若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线. 知识点二 双曲线的标准方程 思考 双曲线中a,b,c的关系如何?与椭圆中a,b,c的关系有何不同? 答案 双曲线标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条 件,这里b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2 =a2-c2,即a2=b2+c2,其中a>b>0,a>c,c与b大小不确定. 梳理 (1)双曲线两种形式的标准方程 焦点所在的坐标轴 标准方程 x轴 x2a2-y2b2 y轴 y2a2-x2b2

=1(a>0,b>0)

=1(a>0,b>0)

图形

焦点坐标 a,b,c的关系式

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c) a2+b2=c2

(2)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正 项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上. (3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2+By2=1(AB<0). (4)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,注意 这里的b2=c2-a2与椭圆中的b2=a2-c2相区别.

1.平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线.( × ) 2.平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线.( ×  ) 3.焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2b2-x2a2=1(a>0,b>0).( × ) 4.在双曲线方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,a2=b2+c2.( × )

类型一 求双曲线的标准方程 例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a=4,经过点A(1,-4103; (2)经过点(3,0),(-6,-3). 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)当焦点在x轴上时, 设所求标准方程为x216-y2b2=1(b>0), 把A点的坐标代入,得b2=-1615×1609<0,不符合题意; 当焦点在y轴上时, 设所求标准方程为y216-x2b2=1(b>0), 把A点的坐标代入,得b2=9, ∴所求双曲线的标准方程为y216-x29=1. (2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),

∵双曲线经过点(3,0),(-6,-3), ∴{9m+0=1,36m+9n=1,解得{m=19,n=-13, ∴所求双曲线的标准方程为x29-y23=1. 反思与感悟 求双曲线方程的方法 (1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似,也是“先定型,后定量”,利用待定系数 法求解. (2)当焦点位置不确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论. (3)当已知双曲线经过两点,求双曲线的标准方程时,把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn<0) 的形式求解. 跟踪训练1 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)c=6,经过点(-5,2),焦点在x轴上; (2)与椭圆x227+y236=1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)∵焦点在x轴上,c=6, ∴设所求双曲线方程为x2λ-y26-λ=1(其中0<?<6). ∵双曲线经过点(-5,2), ∴25λ-46-λ=1,∴?=5或?=30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是x25-y2=1. (2)椭圆x227+y236=1的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3),双曲线与椭圆的一个交点坐标 为(15,4)或(-15,4). 设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0), 则??{42a2-152b2=1,a2+b2=32,解得{a2=4,b2=5. 故所求双曲线的标准方程为y24-x25=1. 类型二 由双曲线的标准方程求参数 例2 方程x22+m+y2m+1=1表示双曲线,则m的取值范围是(  ) A.(-2,-1) C.(-∞,-1) 考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 A 解析 由题意可知,(2+m)(m+1)<0,∴-2<m<-1. 反思与感悟 将双曲线的方程化为标准方程的形式,假如双曲线的方程为x2m+y2n=1,则 当mn<0时,方程表示双曲线.若{m>0,n<0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线; 若{m<0,n>0,则方程表示焦点在y轴上的双曲线. B.(-2,+∞) D.(-∞,-2)∪(-1,+∞)

跟踪训练2 若k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是(  ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线 考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 C 解析 原方程化为y2k2-1-x2k+1=1, ∵k>1,∴k2-1>0,k+1>0. ∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线. 类型三 双曲线的定义及应用 命题角度1 双曲线中的焦点三角形 例3 (1)如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支 上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长 为________.

考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 4a+2m 解析 由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a, |BF1|-|BF2|=2a. 又|AF2|+|BF2|=|AB|, 所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB| =4a+2|AB|=4a+2m. (2)设P为双曲线x2-y212=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2| =3∶2,则△PF1F2的面积为________. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 12 解析 由已知得2a=2, 又由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2, 因为|PF1|∶|PF2|=3∶2,

所以|PF1|=6,|PF2|=4. 又|F1F2|=2c=213, 由余弦定理,得cos∠F1PF2=62+42-522×6×4=0, 所以△F1PF2为直角三角形.

SV PF1F2

=12×|PF1|·| PF2|=12×6×4=12.

引申探究  本例(2)中,若将“|PF1|∶|PF2|=3∶2”改为“|PF1|·| PF2|=24”,求△PF1F2的面积. 解 由双曲线方程为x2-y212=1, 可知a=1,b=23,c=1+12=13. 因为|PF1|·| PF2|=24, 所以cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2| =??|PF1|-|PF2|2+2|PF1|·|PF2|-4c22×24 =4+2×24-4×1348=0, 所以△PF1F2为直角三角形. 所以

SV PF1F2

=12|PF1|·| PF2|=12.

反思与感悟 求双曲线x2a2-y2b2=1中焦点三角形面积的方法 (1)方法一: ①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a; ②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式; ③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·| PF2|的值; ④利用公式

SV PF1F2

=12|PF1|·| PF2|sin∠F1PF2求得面积.

(2)方法二:利用公式

SV PF1F2

=12|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积.

同理可求得双曲线y2a2-x2b2=1中焦点三角形的面积. 特别提醒:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件||PF1|-|PF2|| =2a的变形使用,特别是与|PF1|2+|PF2|2,|PF1|·| PF2|之间的关系. 跟踪训练3 已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2 =60°,则|PF1|·| PF2|等于(  ) A.1 B.4 C.6 D.8 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 B 解析 设|PF1|=m,|PF2|=n, 由余弦定理得|F1F2|2=m2+n2-2mncos∠F1PF2, 即m2+n2-mn=8, ∴(m-n)2+mn=8,∴mn=4,

即|PF1|·| PF2|=4. 命题角度2 由双曲线定义求轨迹方程 例4 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切, 则动圆圆心M的轨迹方程为________________. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 x2-y28=1(x≤-1) 解析 如图,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B,根据两圆外切的条件 |MC1|-|AC1| =|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|,

所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=2,这表明动点M与两定点C2,C1的距离的差是常数2且2<6=|C1C2|. 根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),这 里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为(x,y),其轨迹方程为x2-y28=1(x≤-1). 反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点 (1)注意条件中是到定点距离之差,还是差的绝对值. (2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题. (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上. 跟踪训练4 已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆 圆心M的轨迹方程为(  ) A.x22-y214=1(x≥2) C.x214-y22=1 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 A 解析 设动圆M的半径为r,则由已知得 |MC1|=r+2,|MC2|=r-2, 所以|MC1|-|MC2|=22. 又C1(-4,0),C2(4,0), 所以|C1C2|=8,所以22<|C1C2|, 根据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支, 因为a=2,c=4, 所以b2=c2-a2=14, B.x22-y214=1 D.x22+y214=1

所以点M的轨迹方程是x22-y214=1(x≥2).

1.已知F1(3,3),F2(-3,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=4,则P点的轨迹是(  ) A.双曲线 C.不存在 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 B 解析 因为|PF1|-|PF2|=4,且4<|F1F2|, 由双曲线定义知,P点的轨迹是双曲线的一支. 2.若k∈R,方程x2k+3+y2k+2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是(  ) A.-3<k<-2 C.k<-3或k>-2 考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 A 解析 由题意知,k+3>0且k+2<0, ∴-3<k<-2. 3.设F1,F2分别是双曲线x2-y224=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1| =4|PF2|,则△PF1F2的面积等于(  ) A.42 B.83 C.24 D.48 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C 解析 由题意得{|PF1|-|PF2|=2,3|PF1|=4|PF2|,解得{|PF1|=8,|PF2|=6. 又由|F1F2|=10,可得△PF1F2是直角三角形,且PF1⊥PF2, 则 B.k<-3 D.k>-2 B.双曲线的一支 D.一条射线

SV PF1F2

=12|PF1|·| PF2|=24.

4.椭圆x24+y2a2=1与双曲线x2a-y22=1有相同的焦点,则a的值是________. 考点 双曲线性质的应用 题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 1 解析 由a>0,0<a2<4,且4-a2=a+2,可解得a=1. 5.P是双曲线x2-y2=16的左支上一点,F1,F2分别是左、右焦点,则|PF1|-|PF2| =________.

答案 -8 解析 将x2-y2=16化为标准形式为x216-y216=1, 所以a2=16,2a=8, 因为P点在双曲线左支上, 所以|PF1|-|PF2|=-8.

1.双曲线定义中||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号,当2a=|F1F2|时表示两条 射线. 2.在双曲线的标准方程中,a>b不一定成立,要注意与椭圆中a,b,c的区别.在椭圆中a2 =b2+c2,在双曲线中c2=a2+b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,设出标准方程后,由 条件列出a,b,c的方程组. 如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用形如mx2+ny2=1(mn<0)的形式求 解.

一、选择题 1.已知双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为(  ) A.(22,0 C.(62,0 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 C 解析 将双曲线方程化成标准方程为x21-y212=1, 所以a2=1,b2=12,所以c=a2+b2=62, 故右焦点坐标为(62,0. 2.双曲线x225-y29=1的两个焦点为F1,F2,若双曲线上一点P到F1的距离为12,则P到F2 的距离为(  ) A.17 C.2或22 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 C 解析 由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=10, 又|PF1|=12,则P到F2的距离为2或22,经检验,均符合题意.故选C. B.22 D.7或17 B.(52,0 D.(3,0)

3.过点(1,1)且ba=2的双曲线的标准方程是(  ) A.x212-y2=1 C.x2-y212=1 考点 求双曲线的标准方程 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 D 解析 由于ba=2,∴b2=2a2.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a2-y22a2=1,代 入(1,1)点,得a2=12.此时双曲线方程为x212-y2=1.同理求得焦点在y轴上时,双曲线方程 为y212-x2=1. 4.若方程y24-x2m+1=1表示双曲线,则实数m的取值范围是(  ) A.-1<m<3 C.m>3 答案 B 解析 依题意应有m+1>0,即m>-1. 5.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标为(0,3),则k的值是(  ) A.1 C.653 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 B 解析 原方程可化为x21k-y28k=1,由焦点坐标是(0,3)可知c=3,且焦点在y轴上, ∴k<0.c2=-1k-8k=-9k=9,∴k=-1,故选B. 6.若双曲线C:2x2-y2=m(m>0)与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,且|AB|=43,则m 的值是(  ) A.116 B.80 C.52 D.20 考点 双曲线与其他曲线的综合应用 题点 双曲线与其他曲线的综合应用 答案 D 解析 由抛物线y2=16x可知其准线方程为x=-4. 因为双曲线是轴对称图形,所以点A,B到x轴的距离均为23.不妨设点A(-4,23). 又点A在双曲线上,将其坐标代入双曲线方程2x2-y2=m,得m=20,故选D. 7.已知双曲线x2m-y27=1,直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A,B两点,且|AB| =4,F2为双曲线的右焦点,△ABF2的周长为20,则m的值为(  ) A.9 B.10 C.16 D.20 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 A B.-1 D.-653 B.m>-1 D.m<-1 B.y212-x2=1 D.x212-y2=1或y212-x2=1

解析 △ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=20, ∵|AB|=4,∴|AF2|+|BF2|=16. 根据双曲线定义知, 2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|, ∴4a=(|AF2|+|BF2|)-(|AF1|+|BF1|) =16-4=12, ∴a=3,∴m=a2=9. 8.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-5,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点 坐标为(0,2),则此双曲线的方程是(  ) A.x24-y2=1 C.x22-y23=1 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 B 解析 据已知条件得焦点在x轴上,设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0), 则a2+b2=5.① ∵线段PF1的中点坐标为(0,2), ∴点P的坐标为(5,4),将其代入双曲线的方程, 得5a2-16b2=1.② 由①②解得a2=1,b2=4,∴双曲线的方程为x2-y24=1. 二、填空题 9.已知动圆M过定点B(-4,0),且和定圆(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心M的轨迹方程 为________. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 x24-y212=1 解析 设动圆M的半径为r,依题意有|MB|=r,另设A(4,0),则有|MA|=r±4,即|MA|-|MB| =±4.亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4,又4<8=|AB|,因此动 点M的轨迹为双曲线,且c=4,2a=4,∴a=2,a2=4,b2=c2-a2=12, 故点M的轨迹方程是x24-y212=1. 10.焦点在x轴上的双曲线经过点P(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲 线的标准方程为______________. 考点 求双曲线的标准方程 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 x216-y29=1 解析 设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0), 则由QF1⊥QF2,得kQF1· kQF2=-1, B.x2-y24=1 D.x23-y22=1

∴5c· 5-c=-1,∴c=5. 设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0), ∵双曲线过(42,-3),∴32a2-9b2=1, 又∵c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9. ∴双曲线的标准方程为x216-y29=1. 11.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2, 则|PF1|+|PF2|的值为________. 答案 23 解析 设P在双曲线的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x>0),因为PF1⊥PF2, 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 所以(x+2)2+x2=4c2=8, 所以x=3-1,x+2=3+1, 所以|PF2|+|PF1|=3-1+3+1=23. 三、解答题 12.已知点A(-7,0),B(7,0),C(2,-12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,求椭圆另 一个焦点的轨迹方程. 考点 椭圆与双曲线的综合应用 题点 椭圆与双曲线的综合应用 解 设椭圆的另一个焦点为P(x,y), 则由题意知|AC|+|AP|=|BC|+|BP|, ∴|BP|-|AP|=|AC|-|BC|=2<|AB|=14, ∴点P的轨迹是以A,B为焦点, 实轴长为2的双曲线的左支,且c=7,a=1, ∴b2=c2-a2=48. ∴所求的轨迹方程为x2-y248=1(x≤-1). 13.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且两条 曲线都经过点M(2,4). (1)求这两条曲线的标准方程; (2)已知点P在抛物线上,且它与双曲线的左、右焦点构成的三角形的面积为4,求点P的坐 标. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 解 (1)∵抛物线y2=2px(p>0)经过点M(2,4), ∴42=2p×2,解得p=4, ∴抛物线的标准方程为y2=8x, ∴抛物线的焦点坐标为(2,0),

∴双曲线的焦点坐标为F1(-2,0),F2(2,0), 则a2+b2=c2=4. ∵双曲线经过点M(2,4),∴4a2-16b2=1, 解得a2=12-82,b2=82-8. ∴双曲线的标准方程为x212-82-y282-8=1. (2)设点P的坐标为(xP,yP, 由题意,得 ∴yP=±2. ∵点P在抛物线上,∴xP=12, ∴点P的坐标为(12,2或(12,-2. 四、探究与拓展 14.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线x225- y211=1的左支上,则sin A-sin Csin B=________. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 56 解析 设A,B,C的对边分别为a,b,c. 由双曲线定义,得a-c=10, 由正弦定理,得sin A-sin Csin B=a-cb=1012=56. 15.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程; (2)若点M在双曲线上,F1,F2为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=63,试判断△MF1F2的形状. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 解 (1)椭圆方程可化为x29+y24=1,焦点在x轴上,且c=9-4=5, 故设双曲线方程为x2a2-y2b2=1, 则{9a2-4b2=1,a2+b2=5,解得a2=3,b2=2, 所以双曲线的标准方程为x23-y22=1. (2)不妨设点M在右支上,则有|MF1|-|MF2|=23, 又|MF1|+|MF2|=63, 故解得|MF1|=43,|MF2|=23,又|F1F2|=25, 因此在△MF1F2中,|MF1|边最长, 而cos∠MF2F1=|MF2|2+|F1F2|2-|MF1|22·|MF2|·|F1F2|<0, 又因为∠MF2F1∈(0°,180°), 所以∠MF2F1为钝角. 故△MF1F2为钝角三角形.

SV PF1F2

=12|F1F2|·| yP|=2·| yP|=4,


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第二章 3.1双曲线及其标准方程 - § 3 3. 1 学习目标 双曲线 双曲线

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