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北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》全部教案

时间:2014-05-30


教案

北师大版高中数学选修 2-2 第一章 《推理与证明》全部教案

张 云 刚

北师大版高中数学选修 2-2 第一章《推理与证明》全部教案
宜君县高级中学
第一课时

张云刚

归纳推理

教学目标: 1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识归纳 推理的基本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性, 那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理。 教学难点:用归纳进行推理,做出猜想。 教学过程: 一、课堂引入: 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。见书上的三个推理 案例,回答几个推理各有什么特点?都是由“前提”和“结论”两部分组成,但是推理 的结构形式上表现出不同的特点,据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解: 1、蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇,鳄鱼,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 2、三角形的内角和是 180? ,凸四边形的内角和是 360? ,凸五边形的内角和是 540? 由此我们猜想:凸边形的内角和是 (n ? 2) ?180?
2 2 ?1 2 2 ? 2 2 2 ?1 a a?m , ? , ? , ,由此我们猜想: ? 3、 ? ( a, b, m 均为正实数) 3 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3 b b?m 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称:归纳) 归纳推理的一般步骤: ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。
实验,观察 概括,推广 猜测一般性结论

三、例题讲解: 例 1 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ?
1 (n ? N ? ) , f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) , (n ? 1) 2

试通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) 的值。 【学生讨论: 】 (学生讨论结果预测如下) 1 3 (1) f (1) ? 1 ? a1 ? 1 ? ? 4 4 1 3 8 2 4 f (2) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? f (1) ? (1 ? ) ? ? ? ? ) 9 4 9 3 6 1 2 15 5 f (3) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 ) ? f (2) ? (1 ? ) ? ? ? 16 3 16 8
1

由此猜想, f (n) ?

n?2 2(n ? 1)

学生讨论:1)哥德巴赫猜想:任何大于 2 的偶数可以表示为两个素数的之和。 2)三根针上有若干个金属片的问题。 四、巩固练习: 1 1 1 3 5 ? ? ? ??? ? n(? N ? , ) 经 计 算 : f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , 1 、 已 知 f (n )? 1 2 3 n 2 2 7 f (16) ? 3, f (32) ? ,推测当 n ? 2 时,有__________________________. 2 3 3 2、已知: sin 2 30 ? sin 2 90 ? sin 2 150 ? , sin 2 5 ? sin 2 65 ? sin 2 125 ? 。 2 2 观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之。 3、观察(1) tan10 tan 20 ? tan 20 tan 60 ? tan 60 tan10 ? 1 (2) tan 5 tan10 ? tan10 tan 75 ? tan 75 tan 5 ? 1 。 由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。 注:归纳推理的几个特点: 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的 范围. 2.归纳是依据若干已知的、 没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测 性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、 经验、 实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 五、教学小结: 1.归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越 具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 2.归纳推理的一般步骤:1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。 2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想) 。

2

第二课时

类比推理

●教学目标: (一)知识与能力: 通过对已学知识的回顾,认识类比推理这一种合情推理的基本方法,并把它用于对问 题的发现中去。 (二)过程与方法: 类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相 似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可 靠。 (三)情感态度与价值观: 1.正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题、发 现事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。 2.认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数学的正确 数学意识。 ●教学重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 ●教学难点:用类比进行推理,做出猜想。 ●教具准备:与教材内容相关的资料。 ●教学过程: 一.问题情境 从一个传说说起:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的: 茅草是齿形的;茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具;它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗? 二.数学活动 我们再看几个类似的推理实例。 例 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质: 猜想不等式的性质: (1) a=b?a+c=b+c; (1) a>b?a+c>b+c; (2) a=b? ac=bc; (2) a>b? ac>bc; 2 2 (3) a=b?a =b ;等等。 (3) a>b?a2>b2;等等。 问:这样猜想出的结论是否一定正确? 例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积 圆的性质 球的性质 圆心与弦 ( 不是直径 ) 的中点的连线垂直 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线 于弦 垂直于截面圆

3

与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离 与球心距离相等的两截面圆相等;与球 不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长 心距离不等的两截面圆不等,距球心较 近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心 球的切面垂直于过切点的半径;经过球 且垂直于切线的直线必经过切点 心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆 经过切点且垂直于切面的直线必经过球 心 心 ☆上述两个例子均是这种由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出他 们在其他方面也相似或相同;或其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有 这些特征的推理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。即

观察、比较

联想、类推

猜想新结论

例 3.在平面上,设 ha,hb,hc 是三角形 ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P 到相应三 pa :pb pc 边的距离分别为 pa,pb,pc,我们可以得到结论 ? ? ?1 ha hb hc 试通过类比,写出在空间中的类似结论. 巩固提高 1.(2001 年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述 两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.

直角三角形 ∠C=90° 3 个边的长度 a,b,c 2 条直角边 a,b 和 1 条斜边 c

3 个面两两垂直的四面体 ∠PDF=∠PDE=∠EDF=90° 4 个面的面积 S1,S2,S3 和 S 3 个“直角面” S1,S2,S3 和 1 个“斜 面” S

1.类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相
4

似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可 靠。 2.类比推理的一般步骤: 第三课时 【教学目标】 1.理解综合法的思维过程及其特点; 2.掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤,能运用综合法证明简单的数学问题。 【教学重点难】理解综合法的思维过程和特点; 运用综合法证(解)题时,找出有效的推理“路线” ; 综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式 的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合法。 (也叫顺推证法或由因导果法) 例 1、已知 a, b, c 是不全相等的正数, 求证:a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc 分析:不等式左边含有“a2+b2”的形式,我们可以运用基本不等式:a2+b2≥2ab; 还可以这样思考:不等式左边出现有三次因式:a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2 的“和” , 右边有三正数 a,b,c 的“积” ,我们可以运用重要不等式:a3+b3+c3≥3abc. 证:∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc c(a2 + b2) ≥ 2abc ∴a(b2 + c2) + b(c2 综合法

同理:b(c2 + a2) ≥ 2abc , + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc

当且仅当 b=c,c=a,a=b 时取等号,而 a, b, c 是不全相等的正数 ∴三式不同时取等号,三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc 本例证法可称为三合一法,当要证的不等式关于字母具有对称形式时,我们常可把其看 成是由若干个结构相同但所含字母较少的不等式相加或相乘而得,我们只要先把减了元 的较简单的不等式证出,即可完成原不等式的证明。 例 2、a , b, c?R,
1 1 1 求证:1? (a ? b ? c)( ? ? ) ? 9 a b c 1 1 1 9 ? ? )? 2? (a ? b ? c)( a?b b?c c?a 2 a b c 3 ? ? ? 3? b?c c?a a?b 2

证:1?、法一: a ? b ? c ? 33 abc ,

1 1 1 1 , 两式相乘即得。 ? ? ? 33 a b c abc

5

法二:左边 ?

a?b?c a?b?c a?b?c b a c a c b ? ? ? 3?( ? )?( ? )?( ? ) a b c a b a c b c

≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 2?、∵
a?b b?c c?a 33 ? ? ? (a ? b)( b ? c)( c ? a) 2 2 2 2

1 1 1 1 ? ? ? 33 a?b b?c c?a (a ? b)(b ? c)(c ? a)
3?、由上题: (a ? b ? c)(

两式相乘即得

1 1 1 9 ? ? )? a?b b?c c?a 2 c a b 9 a b c 3 ?1? ?1? ? ,即: ? ? ? ∴1 ? a?b b?c c?a 2 b?c c?a a?b 2

例 3、已知 a,b,c 都是正数,且 a,b,c 成等比数列,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 证明:左-右=2(ab+bc-ac) ,∵a,b,c 成等比数列,∴ b 2 ? ac 又∵a,b,c 都是正数,所以 0 ? b ? ac ≤
a?c ? a ? c ,∴ a ? c ? b 2

∴ 2(ab ? bc ? ac) ? 2(ab ? bc ? b 2 ) ? 2b(a ? c ? b) ? 0 ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 说明:此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质,体现了综合法证 明不等式的特点
王新敞
奎屯 新疆

例 4、制造一个容积为 V(定值)的圆柱形容器,试分别就容器有盖及无盖两种情况,求: 怎样选取底半径与高的比,使用料最省? 分析:根据 1 题中不等式左右的结构特征,考虑运用“基本不等式”来证明.对于 2 题, 抓住容积为定值,建立面积目标函数,求解最值,是本题的思路. 解:设容器底半径为 r,高为 h,则 V=π r2h,h= (1)当容器有盖时,所需用料的面积: S=2π r2+2π rh=2π r2+
2V V V V V =2π r2+ + ≥3 3 2?r 2 ? ? ? 33 2?V 2 r r r r r

V . ?r 2

当且仅当 2π r2=

V r 1 V V ,即 r= 3 ,h= 2 =2r,取“=”号.故 ? 时用料最省. ?r h 2 r 2?
2V V V =π r2+ + ≥3 3 ?V 2 r r r

(2)当容器无盖时,所需用料面积:S=π r2+2π rh=π r2+ 当且仅当π r2= 作业补充题:
V V V ,r= 3 ,h= 2 =r.即 r=h 时用料最省. ?r r ?

6

1、设 a>0,b>0,c>0 且 a+b+c=1,求证:8abc≤(1-a)(1-b)(1-c). 2、设 a,b,c 为一个不等边三角形的三边,求证:abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b). 3、已知 a, b?R+,求证: (
a ? b 3 a3 ? b3 ) ? 2 2

第四课时 【教学目标】

分析法

结合已学过的实例,了解直接证明的方法——分析法,了解分析法的思考过程与特点。 【教学重点难】理解分析法的思维过程和特点; 运用分析法证(解)题时,规范书写证明过程. 分析法:当用综合法不易发现解题途径时,我们可以从求证的不等式出发,逐步分析 寻求使这个不等式成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实, 从而得出要证的不等式成立,这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法。使用分析 法证明时,要注意表述的规范性,当问题比较复杂时,通常把分析法和综合法结合使 用,以分析法寻求证明的思路,而用综合法进行表述,完成证明过程。 例 1、求证: 3 ? 7 ? 2 5 证:分析法: ∵ 3 ? 7 ? 0, 2 5 ? 0 只需证明: ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 展开得: 即: ∴ 综合表述: ∵21 < 25 ∴ 21 ? 5 ∴ 2 21 ? 10 ∴ 10 ? 2 21 ? 20 ∴ ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 ∴ 3? 7 ?2 5

10 ? 2 21 ? 20

2 21 ? 10

21 ? 5

即: 21 < 25(显然成立) ∴ 3? 7 ?2 5
1

1

例 2、设 x > 0,y > 0,证明不等式: ( x 2 ? y 2 ) 2 ? ( x 3 ? y 3 ) 3 证一: (分析法)所证不等式即: ( x 2 ? y 2 ) 3 ? ( x 3 ? y 3 ) 2 即: x 6 ? y 6 ? 3x 2 y 2 ( x 2 ? y 2 ) ? x 6 ? y 6 ? 2x 3 y 3 即: 3x 2 y 2 ( x 2 ? y 2 ) ? 2 x 3 y 3

7

只需证: x 2 ? y 2 ?
2 2

2 xy 3

2 ∵ x ? y ? 2 xy ? xy 成立 3

∴ (x ? y ) ? (x ? y )
2 2 3

1 2

1 3 3

证二: (综合法)∵ ( x 2 ? y 2 ) 3 ? x 6 ? y 6 ? 3x 2 y 2 ( x 2 ? y 2 ) ? x 6 ? y 6 ? 6x 3 y 3

? x 6 ? y 6 ? 2x 3 y 3 ? ( x 3 ? y 3 ) 2
∵x > 0,y > 0, ∴ ( x ? y ) ? ( x ? y )
2 2 3 1 2 1 3 3

例 3、已知:a + b + c = 0,求证:ab + bc + ca ≤ 0 证一: (综合法)∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0
a2 ? b2 ? c2 2

展开得: ab ? bc ? ca ? ? ∴ab + bc + ca ≤ 0 证二: (分析法)要证 ab + bc + ca ≤ 0

∵a + b + c = 0

故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 即证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ? 0
1 即: [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] ? 0 2

(显然)∴原式成立

证三:∵a + b + c = 0

∴? c = a + b
2 2 2

∴ ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab ? (a + b) = ?a ?b ?ab =
b 2 3b 2 ? [(a ? ) ? ]?0 2 4

例 4、已知 a ? b ? 0, ab ? 1 ,求证:

a 2 ? b2 ? 2 2 ,并求等号成立的条件。 a ?b

分析:不等式右边是常数,能否用平均值定理?应当可以。 (找条件一正、二定、三相等) 如何把左边变形为和的形式?多项式的除法或配凑!
a 2 ? b2 (a ? b)2 ? 2ab 2ab ? ( a ? b) ? 左= = (看到了希望! ) a ?b a ?b a ?b

=a ?b?

2 a ?b

(已知 ab ? 1 )

?2 2

8

1 ? a ? ( 6 ? 2) ? ?( a ? b ) ? 2 2 ? 2 当a ?b ? 时,由 ? 解出当 ? 时等号成立。 1 a ?b ?ab ? 1 ?b ? ( 6 ? 2) ? ? 2
2

例 5、a>0,b>0,且 a +b =1,求证: a ?

1 1 ? b ? ≤2. 2 2

证明:

a?

1 1 1 1 1 1 ? b ? ≤2 ? (a + )+(b + )+2· a ? ? b ? ≤4 2 2 2 2 2 2

? a?

1 1 ? b ? ≤1 2 2

? ab +

a?b 1 3 1 ? ≤1 ? ab + ≤1 ?ab≤ 2 4 4 4

∵a>0,b>0,且 a +b =1,∴ab≤( 作业补充题 1.求证: 6 ? 7 ? 2 2 ? 5 . 2、 若 a,b>0,2c>a+b,求证: (1)c2>ab
王新敞
奎屯 新疆

a?b 2 1 ) = 成立,故 2 4

a?

1 1 ? b ? ≤2. 2 2

; (2)c - c 2 ? ab <a <c + c 2 ? ab

+ 3、求证:a,b,c∈R ,求证: 2(

a?b a?b?c 3 ? ab ) ? 3( ? abc ) 2 3

4、设 a, b, c 是的△ABC 三边,S 是三角形的面积,求证: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 4ab ? 4 3S 5、已知 0 < ? < ?,证明: 2 sin 2? ? cot
? 2

6、求证:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么 截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

9

第四课时

反证法与放缩法

【教学目标】 1.结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法──反证法与放缩法; 2.了解反证法与放缩法的思考过程与特点。 【教学重点与难点】了解反证法与放缩法的思考过程与特点。 正确理解、运用反证法与放缩法 一、反证法: 有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明,我们可以间接的方法――反证法去证 明, 即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的。 例1、 若 x, y > 0,且 x + y >2,则
1? y 1? x ≥2, ≥2 x y 1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2。 x y

反设 立

∵x, y > 0,可得 x + y ≤2

与 x + y >2 矛盾,∴原式成

例 2、已知 a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0 证: (1)设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0

又由 a + b + c > 0, 则 b + c = ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 (2)若 a = 0,则与 abc > 0 矛盾, ∴必有 a > 0 同理可证:b > 0, c > 0
1 4

例 3、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 证:设(1 ? a)b >
1 , 4 1 则三式相乘: (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > 64 1 , 4

(1 ? b)c >

1 , 4

(1 ? c)a >


2

又∵ 0 < a, b, c < 1
(1 ? c)c ? 1 4

1 1 ? (1 ? a) ? a ? ∴ 0 ? (1 ? a)a ? ? ? 同理: (1 ? b)b ? , ? 4 2 4 ? ?

10

以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤

1 64 1 4

与①矛盾.

∴(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于 二、放缩法:

在证明不等式的时候,在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性, 把要证明的不等式加强为一个易证的不等式, 即欲证 A>B, 我们可以适当的找一个中间 量 C 作为媒介, 证明 A>C 且 C>B,从而得到 A>B.我们把这种把 B 放大到 C(或把 A 缩小到 C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不 易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索 和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小 (减 去或加上一个正数)使不等式简化易证。 例 4、若 a, b, c, d?R+,求证: 1 ?
a b c d ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c a b c d ? ? ? 证:记 m = a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c


m?

a,

b,

c,

d?R+



a b c d ? ? ? ?1 a?b?c?d a?b?c?a c?d ?a?b d ?a?b?c a b c d m? ? ? ? ?2 a?b a?b c?d d ?c

∴1 < m < 2

即原式成立

例 5、当 n > 2 时,求证: logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1 证:∵n > 2 ∴ logn (n ? 1) ? 0, logn (n ? 1) ? 0
2 2

? logn (n 2 ? 1) ? ? logn (n ? 1) ? logn (n ? 1) ? logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? ? ? ? ?? 2 2 ? ? ? ?

? logn n 2 ? ?? ? ?1 , ∴ ? 2 ?

2

n > 2 时,

logn (n ? 1) logn (n ? 1) ? 1
1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 2 1 2 3 n

例 6、求证: 证:∵

1 1 1 1 ? ? ? 2 n(n ? 1) n ? 1 n n

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 1+ + + + ? 2 1 2 3 n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 (n-1) ? n ∴ 1 1 1 1 1 1 ? 1? ( 1 ? )( ? ? ) ? ? ( ? ) ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n

11

思考:若把不等式的右边改成 例 7、 求证:

7 61 或 ,你可以证明吗? 4 36
王新敞
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b | a?b| |a| ? ? 1? | a ? b | 1? | a | 1 ? b

证:∵|a+b|≤|a|+|b| ?|a|+|b|-|a+b|≥0,

? ?

a?b 1? a ? b a?b 1? a ? b

?

a?b ?(a ? b ? a?b) 1? a ? b ? ( a ? b ? a ? b ) a 1? a ? b ? b 1? a ? b ?

(课本P 22 “溶液”例结论) a ? (把分母减小,使分式放大) . 1? b b

?

1? a

即:

a?b a b ? ? . 1? a ? b 1? a 1? b

作业补充题 1、设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1 2、设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, 其中 a、b、c ? Z,并且 a ? 1. 试证明: b 2 ? 4ac ? 0 3、设 f ( x) ? x 2 ? px ? q, 求证: f (1) 、f (2) 、f (3) 中至少有一个不小于 4、设 x > 0, y > 0, a ? 5、证明:
x? y x y , b? ,求证:a < b ? 1? x ? y 1? x 1? y
1 2

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 1 (n ? R ? , n ? 2) n n ?1 n ? 2 n 1 1 4 ? ? ?0 a?b b?c c?a W

6、证明:lg9?lg11 < 1 7、证明:若 a > b > c, 则

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第五课时

数学归纳法

【教学目标】 1. 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质. 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命 题. 3. 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力, 让 学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想. 4. 努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆质疑氛围,提高学生学习的兴趣 和课堂效率. 5. 通过对例题的探究, 体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习 热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神. 【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解 【教学方法】类比启发探究式教学方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学程序】第一阶段:输入阶段——创造学习情境,提供学习内容 1. 创设问题情境,启动学生思维 (1) 不完全归纳法引例: 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话:财主的儿子学写字.这则笑话中财主的 儿子得出“四就是四横、五就是五横??”的结论,用的就是“归纳法” ,不过,这个归 纳推出的结论显然是错误的. (2) 完全归纳法对比引例: 有一位师傅想考考他的两个徒弟,看谁更聪明一些.他给每人一筐花生去剥皮,看 看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着,看谁先给出答案.大徒弟费了很大劲将花生全部 剥完了;二徒弟只拣了几个饱满的,几个干瘪的,几个熟好的,几个没熟的,几个三仁 的,几个一仁、两仁的,总共不过一把花生.显然,二徒弟先给出答案,他比大徒弟聪 明. 在生活和生产实际中,归纳法也有广泛应用.例如气象工作者、水文工作者依据积 累的历史资料作气象预测,水文预报,用的就是归纳法.这些归纳法却不能用完全归纳 法. 2. 回顾数学旧知,追溯归纳意识 (从生活走向数学,与学生一起回顾以前学过的数学知识,进一步体会归纳意识, 同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳. )

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(1) 不完全归纳法实例: 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式. (2) 完全归纳法实例: 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情 况. 3. 借助数学史料, 促使学生思辨 (在生活引例与学过的数学知识的基础上,再引导学生看数学史料,能够让学生多 方位多角度体会归纳法,感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨:在数学中 运用不完全归纳法常常会得到错误的结论,不管是我们还是数学大家都可能如此.那么, 有没有更好的归纳法呢?) 问题 1 已知 an = (n 2 ? 5n ? 5) 2 (n∈N) , (1)分别求 a1 ; a2 ; a3 ; a4 . (2)由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗? (培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力.概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯 坦指出:思维都是在概括中完成的.心理学认为“迁移就是概括” ,这里知识、技能、思 维方法、数学原理的迁移,我找的突破口就是学生的概括过程. ) 问题 2 费马(Fermat)是 17 世纪法国著名的数学家,他曾认为,当 n∈N 时,2 2 ? 1 一定都是质数,这是他对 n=0,1,2,3,4 作了验证后得到的.后来,18 世纪伟大的瑞 士科学家欧拉(Euler)却证明了 2 2 ? 1 =4 294 967 297=6 700 417×641,从而否定 了费马的推测.没想到当 n=5 这一结论便不成立. 问题 3 f (n) ? n 2 ? n ? 41, 当 n∈N 时, f (n) 是否都为质数? 验证: f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5) =71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,?,f(39) =1 601.但是 f(40)=1 681= 41 2 ,是合数. 第二阶段:新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用,搭建新知结构 4. 搜索生活实例,激发学习兴趣 (在第一阶段的基础上,由生活实例出发,与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过 程.孔子说: “知之者不如好之者,好之者不如乐之者. ”兴趣这种个性心理倾向一般总 是伴随着良好的情感体验. ) 实例:播放多米诺骨牌录像 关键: (1) 第一张牌被推倒; (2) 假如某一张牌倒下 , 则它的后一张牌必定倒 下. 于是, 我们可以下结论: 多米诺骨牌会全部倒下. 搜索:再举几则生活事例:推倒自行车, 早操排队对齐等. 5. 类比数学问题, 激起思维浪花 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d :
5 n

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(1) 当 n=1 时等式成立; (2) 假设当 n=k 时等式成立, 即 ak ? a1 ? (k ? 1)d , 则

ak ?1 ? ak ? d = a1 ? [(k ? 1) ? 1]d , 即 n=k+1 时等式也成立. 于是, 我们可以下结论: 等
差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d 对任何 n∈ N * 都成立. (布鲁纳的发现学习理论认为, “有指导的发现学习”强调知识发生发展过程.这里 通过类比多米诺骨牌过程, 让学生发现数学归纳法的雏形, 是一种再创造的发现性学习. ) 6. 引导学生概括, 形成科学方法 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下: (1) 证明当 n 取第一个值 n0 时结论正确; (2) 假设当 n=k (k∈ N * ,k≥ n0 ) 时结论正确, 证明当 n=k+1 时结论也正确. 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都正确. 这种证明方法叫做数学归纳法. 第三阶段:操作阶段——巩固认知结构,充实认知过程 7. 蕴含猜想证明, 培养研究意识 (本例要求学生先猜想后证明,既能巩固归纳法和数学归纳法,也能教给学生做数 学的方法,培养学生独立研究数学问题的意识和能力. ) a 例题 在数列{ an }中, a1 =1, an?1 ? n (n∈ N * ), 先计算 a2 , a3 , a4 的值,再 1 ? an 推测通项 an 的公式, 最后证明你的结论. 8. 基础反馈练习, 巩固方法应用 (课本例题与等差数列通项公式的证明差不多,套用数学归纳法的证明步骤不难解 答,因此我把它作为练习,这样既考虑到学生的能力水平,也不冲淡本节课的重点.练 习第 3 题恰好是等比数列通项公式的证明,与前者是一个对比与补充.通过这两个练习 能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况. ) (1)用数学归纳法证明:1+3+5+?+(2n-1)= n 2 . (2)首项是 a1 ,公比是 q 的等比数列的通项公式是 an ? a1q n?1 . 9. 师生共同小结, 完成概括提升 (1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法; (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳 法两种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠 性,数学归纳法属于完全归纳法; (3) 数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可概 括为:两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉; (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、类比思想、分类思想、归纳思
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想、辩证唯物主义思想. 10. 布置课后作业, 巩固延伸铺垫 在数学归纳法证明的第二步中, 证明 n=k+1 时命题成立, 必须要用到 n=k 时命 题成立这个假设.这里留一个辨析题给学生课后讨论思考: 用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n ? 1(n∈ N * )时, 其中第二步采用 下面的证法: 设 n=k 时等式成立, 即 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 k ?1 ? 2 k ? 1 , 则当 n=k+1 时,
1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2
2 3 k ?1

1 ? 2 k ?1 ?2 ? ? 2 k ?1 ? 1 . 1? 2
k

你认为上面的证明正确吗?为什么? 教后反思: 1.数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的正确性的证明方法.它的操 作步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.我认为不能把教学过程当作方法的 灌输,技能的操练.为此,我设想强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产 生寓于对归纳法的分析、认识当中,把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起 来.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使 用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思 想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机. 2.在教学方法上,这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是 加强学生对教学过程的参与.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发动、组织、 引导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的,本节课按照思维次序编排了一系列 问题,让学生投入到思维活动中来,把本节课的研究内容置于问题之中,在逐渐展开中, 引导学生用已学的知识、方法予以解决,并获得知识体系的更新与拓展. 3.运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题,两个步骤缺一不可.理解数学归 纳法中的递推思想,尤其要注意其中第二步,证明 n=k+1 命题成立时必须要用到 n=k 时命题成立这个条件.这些内容都将放在下一课时完成,这种理解不仅使我们能够正确 认识数学归纳法的原理与本质,也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向.

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