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【课堂新坐标】高中数学北师大版必修二练习:2.2.1圆的标准方程(含答案解析)

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学业分层测评(十九) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知点 P(3,2)和圆的方程(x-2)2+(y-3)2=4,则它们的位置关系为( A.在圆心 C.在圆内 D.在圆外 B.在圆上 ) 【解析】 ∵(3-2)2+(2-3)2=2<4, ∴点 P 在圆内. 【答案】 C 2. 已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心, 且与直线 x+y+1=0 垂直, 则 l 的方程是( A.x+y-2=0 C.x+y-3=0 B.x-y+2=0 D.x-y+3=0 ) 【解析】 圆 x2+(y-3)2=4 的圆心为点(0,3), 又因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直, 所以直线 l 的斜率 k=1. 由点斜式得直线 l:y-3=x-0,化简得 x-y+3=0. 【答案】 D 3.过点 C(-1,1)和点 D(1,3),且圆心在 x 轴上的圆的方程是( A.x2+(y-2)2=10 C.(x+2)2+y2=10 D.(x-2)2+y2=10 【解析】 ∵圆心在 x 轴上, ∴可设方程为(x-a)2+y2=r2. ? ? 由条件知? ? ? ) B.x2+(y+2)2=10 -1-a -a 2 2 +1=r2, +9=r2, ?a=2, 解得? ?r= 10, 故方程为(x-2)2+y2=10. 【答案】 D 4.与圆(x-3)2+(y+2)2=4 关于直线 x=-1 对称的圆的方程为( A.(x+5)2+(y+2)2=4 C.(x-5)2+(y+2)2=4 B.(x-3)2+(y+2)2=4 D.(x-3)2+y2=4 ) 【解析】 已知圆的圆心(3,-2)关于直线 x=-1 的对称点为(-5,-2),∴所求圆的 方程为(x+5)2+(y+2)2=4. 【答案】 A 5.设 M 是圆(x-5)2+(y-3)2=9 上的点,则 M 到 3x+4y-2=0 的最小距离是( A.9 C.5 B.8 D.2 ) 【解析】 圆心(5,3)到直线 3x+4y-2=0 的距离 d= ∴所求的最小距离是 5-3=2. 【答案】 D 二、填空题 |3× 5+4× 3-2| |15+12-2| = =5, 2 5 3 +42 6.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为______. 【解析】 设圆心坐标为(0,b),则由题意知 故圆的方程为 x +(y-2) =1. 【答案】 x2+(y-2)2=1 7.已知圆 C1 的方程为(x+3)2+(y-2)2=5,圆 C2 与圆 C1 是同心圆且过点 A(5,0),则圆 C2 的标准方程为________. 【导学号:10690059】 【解析】 由圆 C1 的方程知圆心 C1(-3,2),因为 C2 与 C1 是同心圆,所以 C2 的圆心也 为(-3,2),可设 C2 的方程为(x+3)2+(y-2)2=r2.又由 C2 过点 A(5,0), 所以(5+3)2+(0-2)2=r2,r2=68, 故圆 C2 的方程为(x+3)2+(y-2)2=68. 【答案】 (x+3)2+(y-2)2=68 8.已知△ ABC 的顶点 A(-1,0),B(1,0),C 在圆(x-2)2+(y-2)2=1 上移动,则△ ABC 面积的最小值为________. 【解析】 2 2 - 2 + b- 2 =1,解得 b=2, ∵|AB|=2 为定长. ∴当△ ABC 的高即 C 到 AB 的距离最小时,S△ ABC 最小.又圆心为(2,2),半径为 1,所 以此时 C 的坐标为(2,1),S△ ABC 的最小值为 1. 【答案】 1 三、解答题 9.已知圆 N 的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点 M(6,9)在圆上,求半径 a; (2)若点 P(3,3)与 Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求 a 的范围. 【解】 (1)因为点 M(6,9)在圆上, 所以(6-5)2+(9-6)2=a2, 即 a2=10. 又 a>0,所以 a= 10. (2)因为|PN|= = 13, |QN|= - 2 - 2 + - 2 + - 2 =3, 所以|PN|>|QN|,故点 P 在圆外, 点 Q 在圆内,所以 3<a< 13. 10.已知圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4),B(0,-2),求 圆 C 的标准方程. 【解】 法一:由圆心在直线 2x-y-7=0 上, 可设圆心坐标为(a,2a-7), 由题意得圆心到两点 A、B 的距离相等, 即 a2+(2a-3)2=a2+(2a-5)2,解得 a=2, 所以圆心坐标为(2,-3), 圆的半径长 r= - 2 + -3+ 2 = 5, 所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5. 法二:圆 C 的圆心在弦 AB 的垂直平分线 y=-3 上, ?2x-y-7=0, ? 由? ?y=-3, ? ?x=2, ? 得? ?y=-3, ? 2 即为所求圆的圆心坐标,半径长 r= - 2 + -3+ = 5, 所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5. 法三:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, -a + -4-b ? ? 2 则由条件可得? -a + -2-b ? ?2a-b-7=0, 2 2 2 =r2, =r , 2 ?a=2, ? 解得?b=-3, ? ?r= 5, 所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5. [能力提升] 1.方程 y= 9-x2表示的曲线是( A.一条射线 C.两条射线 B.一个圆 D.半个圆 ) 【解析】 方程 y= 9-x2化为 x2+y2=9(y≥0),因此该方程表示的曲线是圆 x2+y2=9 位于 x 轴上方的部分(包括与 x 轴的两个交点),是半个圆. 【答案】 D

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