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高中数学第三章变化率与导数3.2.1导数的概念课件7北师大版选修11_图文

时间:

导数的概念

目标导学:
1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系。(重点) 2.会计算函数在某点处的导数。(重点) 3.理解导数的实际意义。(难点)

自主预学:
导数的概念

阅读教材 P60“例 1”以上部分,完成下列问题.

设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x0)变到 f(x1),

函数值

y

关于

x

的平

均变化率

为Δy Δx

=f?xx1?1--fx?0x0?=f?x0+ΔΔxx?-f?x0?.当

x1

趋于 x0,即Δx 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个__________,那么这

个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的__________.在数学中,称瞬时变化率为

函数 y=f(x)在 x0 点的________,通常用符号 f′(x0)表示,记作 f′(x0)=

________________=__________________.

练习:

函数 f(x)在 x=x0 处的导数可表示为( ) A.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0) B.f′(x0)=f?x0+ΔΔxx?-f?x0?

C.f′(x0)= lim [f(x0+Δx)-f(x0)] Δx→0

D.f′(x0)= lim Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0? Δx

合作探究: 探究一:利用导数的概念计算导数

例1.求下列函数在x=1处的导数

(1)y=3x

(2) y ? x2 ? 2x ? 3

针对训练:求下列函数在x=1处的导数

(1) y ? x

(2)

总结:

利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤:

?1?求函数的增加量Δy=f?x0+Δx?-f?x0?;

?2?求平均变化率Δy:=f?x0+Δx?-f?x0?;

Δx

Δx

?3?求 f′?x0?=Δlixm→0ΔΔyx.

探究2:导数的实际意义
例2一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作, 生产的食品数量y(单位 : kg)是其工作时间x(单位 : h) 的函数y ? f (x).假设函数y ? f (x)在x ? 1和x ? 3处 的导数分别为: f ?(1) ? 4和f ?(3) ? 3.5,试解释它们 的实际意义.

例3服药后,人体血液中的药物浓度y(单位 :
?g / mL)是时间t(单位 : min)的函数y ? f (t),
假设函数y ? f (t)在t ? 10和t ? 100处的导 数分别为f ?(10) ? 1.5和f ?(100) ? ?0.6,试解 释它们的实际意义.

针对训练:
1.某汽车遇到紧急情况刹车,其位移(单位:m)关于
时间(单位:s)的函数为 y=s(t),则 s '(1) 的实际意义为( )
A.汽车刹车后 1 s 内的位移 B.汽车刹车后 1 s 内的平均速度 C.汽车刹车后 1 s 时的瞬时速度 D.汽车刹车后 1 s 时的位移

探究3:导数概念的应用
例4.
已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 1,则当 x 趋近于 0 时, f?x+1?-f?1?趋向________.
2x

针对训练:已知

f

( x0 )

?

0,

f

?( x0 )

?

1 2

,

则 lim △x?0

f ( x0 ? 3△x) △x

?

___ .

课堂小结

平均变化率 ?y?f(x0??x)?f(x0).

?x

?x

(瞬时变化率)导数 的概念

f?(x0)?? lixm ? 0f(x0?? ? x x )?f(x0).

导数的实际意义

课堂练习
1.若函数 f(x)在 x=a 处可导,则当 h 无限趋近 a 时,f?hh?--fa?a?趋于( )

A.f(a)

B.f′(a)

C.f′(h)

D.f(h)

2.已知函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,则 a 值为( )

A.1

B. 2

C.-1

D.0


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