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高考数学一轮复习 用立体几何中向量方法——求空间角与距离02课件

时间:2018-08-08


求直线与平面所成的角
例2 如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 底面是等腰直角三角形,∠ACB=90° , 侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1、A1B 的 中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G.求 A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值.
→ → 建立空间直角坐标系,求出各点及向量的坐标,求出A1B与EG夹 角的余弦值的绝对值即可.



如图所示,建立空间直角坐标系,坐标原点为 C,设 CA=

2a,则
A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2), ?2a 2a 1? E(a,a,1),G? 3 , 3 ,3?, ? ? a a 2? → ? EG=?-3,-3,-3?, ? ? → BD=(0,-2a,1), → → 2 2 2 EG· BD= a - =0, 3 3
1 1 2? → → ? ∴a=1,EG=?-3,-3,-3?,A1B=(-2,2,-2).
? ?

→ ∵EG为平面 ABD 的一个法向量, → → A1B· EG 2 → → 且 cos〈A1B,EG〉= = , 3 → → |A1B||EG| 2 ∴A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值是 . 3

探究提高
平面的法向量,有时需要求出,有时题目本身就有,要准确理解 题意,把法向量找出来.如本题中由于 E 在平面 ABD 上的射影 → 是△ABD 的重心 G,则 EG⊥平面 ABD,EG即为平面 ABD 的法 向量.

变式训练 2
如图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=4, AA1= 7,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AC 上,且 DE⊥A1E. (1)证明:平面 A1DE⊥平面 ACC1A1; (2)求直线 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值.
(1)证明 由正三棱柱 ABC—A1B1C1 的性质知, AA1⊥平面 ABC.

又 DE?平面 ABC,所以 DE⊥AA1.
又 DE⊥A1E,AA1∩A1E=A1, 所以 DE⊥平面 ACC1A1.

又 DE?平面 A1DE,故平面 A1DE⊥平面 ACC1A1.
(2)解 如图所示,设 O 是 AC 的中点,以 O 为 原点建立空间直角坐标系,则相关各点的坐标分 别是 A(2,0,0),A1(2,0, 7),D(-1, 3,0), E(-1,0,0). → → → 易知A1D=(-3, 3,- 7),DE=(0,- 3,0),AD= (-3, 3,0). 设 n=(x,y,z)是平面 A1DE 的一个法向量,
? → ? n· DE=- 3y=0, 则? → ? A1D=-3x+ 3y- 7z=0. ?n· 7 解得 x=- z,y=0. 3

故可取 n=( 7,0,-3). → -3 7 n· AD 21 → 于是 cos〈n,AD〉= = =- . 8 → 4×2 3 |n|· |AD| 21 故直线 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值为 . 8

求二面角
例 3 如图,四边形 ABCD 为正 方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA= 1 AB= PD. 2 (1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q—BP—C 的余弦值.

注意到 DA、DP、DC 两两垂直,因而可考虑建立空间直角坐标 系求解.

(1)证明

如图,以 D 为坐标原点,线段

DA 的长为单位长,以 AD、DP、DC 所 在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系 D—xyz.
→ → 依题意有 Q(1,1,0), C(0,0,1), P(0,2,0), 则DQ=(1,1,0), DC=(0,0,1), → PQ=(1,-1,0). → → → → 所以PQ· DQ=0,PQ· DC=0,
即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC. 又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ.
又 PQ?平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 DCQ.

(2)解

→ → 依题意有 B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1).

设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的法向量, ? → ? n· CB=0, 则? → ? BP=0, ? n·
? ?x=0, 即? ? ?-x+2y-z=0.

因此可取 n=(0,-1,-2). ? → ?m · BP=0, 同理,设 m 是平面 PBQ 的法向量,则? → ? m · PQ =0, ? 15 可取 m=(1,1,1).所以 cos〈m,n〉=- . 5
15 故二面角 Q—BP—C 的余弦值为- . 5

探究提高
求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面 的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大 小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

变式训练 3
如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P— ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,PA ⊥平面 ABCD,PA=3,AD=2,AB= 2 3,BC=6. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—BD—A 的大小.
(1)证明 如图,建立坐标系, 则 A(0,0,0),B(2 3,0,0), C(2 3,6,0),D(0,2,0), P(0,0,3), → → → ∴AP=(0,0,3),AC=(2 3,6,0),BD=(-2 3,2,0).

→ → → → ∴BD· AP=0,BD· AC=0. ∴BD⊥AP,BD⊥AC.
又∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC.
(2)解 设平面 ABD 的法向量为 m=(0,0,1),

设平面 PBD 的法向量为 n=(x,y,z), → → 则 n· BD=0,n· BP=0. → ∵BP=(-2 3,0,3),
? ?-2 ∴? ? ?-2

?y= 3x, ? 解得? 2 3 3x+3z=0, z= x. ? 3 ? 3x+2y=0,

令 x= 3,则 n=( 3,3,2), m· n 1 ∴cos〈m,n〉= = . |m||n| 2 ∴二面角 P—BD—A 的大小为 60° .


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