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数学选修2-2知识点总结

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数学选修 2-2 知识点总结
导数及其应用 一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义: 瞬时速率。一般的,函数 y ? f ( x) 在 x ? 我们称它为函数

x0 处的瞬时变化率是 lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,
?x ?0

?x

y ? f ( x)



x ? x0

处的导数,记作

f ?( x0 )



y? |x? x0

, 即 f ?( x0 ) =

?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
导数的几何意义:

2.

曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 P n 趋近于 P 时,直线 PT 与曲线相切。容易知道,割线 PP n的 斜率是 k ? f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 P n 趋近于 P 时,函数 n xn ? x0 k,即 k ? lim f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x ) 0
?x ?0

y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是切线 PT 的斜率

xn ? x0

3.

导函数:当 x 变化时, 也记作

f ?( x) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f ( x) 的导函数.

y ? f ( x) 的导函数有时

y ? ,即
f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

f ?( x) ? lim

?x ?0

二.导数的计算 基本初等函数的导数公式:
1 若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ; 3 若 f ( x) ? sin x ,则 5 若 7 若 2 若 f ( x) ? x? ,则

f ?( x) ? ? x? ?1 ;

f ?( x) ? cos x

4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ; 6 若 8 若

f ( x) ? a x ,则 f ?( x) ? a x ln a
x ,则 f ?( x ) ? f ( x) ? loga

f ( x) ? ex ,则 f ?( x) ? ex
f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? 1
x

1 x ln a

导数的运算法则 1. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x)

2.

[ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) 3. [ ]? ? g ( x) [ g ( x)]2
复合函数求导
y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,称则

y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数

y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)
三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 (a, b) 内

(1)如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增;(2)如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这 个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是:(1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 求函数 y ? f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤: (2) 是最小值. (1)求函数 y ? f ( x) 在 (a, b) 内的极值; 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f (a) , f (b) 比较,其中最大的是一个最大值,最小的

推理与证明
考点一 合情推理与类比推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推 理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的 推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤: (1) 找出两类事物的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); (3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同 或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越 可靠. 考点二 演绎推理(俗称三段论) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法 1. 2. 它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在 n=1(或 n0 )时成立,这是递推的基础;B.假设在 n=k 时命题成立; C.证明 n=k+1 时 命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或 n>= n0 ,且 n ? N )结论都成立。 考点三 证明 1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:

数系的扩充和复数的概念 复数的概念
(1) 复数:形如 a ? bi(a ? R, b ? R) 的数叫做复数, a 和 b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 a ? bi(a ? R, b ? R) 中,当 b

? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当 a ? 0, b ? 0 时,叫做纯虚数.

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做虚轴。

(6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

复数的运算
1.复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设 z1

? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 则
(2)

( 1 ) z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i

z1 ? z2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i

(3)

z1 (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ? ( z2 ? 0) z2 c2 ? d 2
2,几个重要的结论 (1) | z1 ? z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ? 2(| z1 |2 ? | z2 |2 ) (2) z ? z ?| z |2 ?| z |2 (3)若 z 为虚数,则

| z |2 ? z 2
3.运算律 (1)

z m ? z n ? z m? n ;(2) ( z m )n ? z mn ;(3) ( z1 ? z2 )n ? z1n ? z2n (m, n ? R)

4.关于虚数单位 i 的一些固定结论: (1) i
2

? ?1

(2) i

3

? ?i

(3) i

4

?1

(2) i

n

? i n ? 2 ? i n ?3 ? i n ? 4 ? 0

数学选修 2-3
第一章 计数原理 知识点:
1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有 N 类办法,在第一类办法中有 M1 种不同的方法,在第二类 办法中有 M2 种不同的方法, …… ,在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法,那么完成这件事情共有 M1+M2+……+MN 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成 N 个步骤,做第一 步有 m1 种不同的方法,做第二步 有 M2 不同的方法, ……, 做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。 3、排列:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 ...... m 个元素的一个排列 4、排列数: A m ? n( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) ?

n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

5、组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合。

A m n(n n ?? 11 )) ? ?m m?? 1) m m n! n! (n ?( (n n? 1) m nA n 6、组合数: C m ? ? ? CC n C n ?m ? n ?n m m! m!( n!? m? )! m)! m m (n A mA m
m

n ?m Cm n ?C n;

1 m C m?n ?C m n ?C n ?1
n 0 n 1 n ? 1 2 n ? 2 2 r n ? r r n n

a ? b ) ? C a ? C a b ? C a b ? … ? C a b ? … ? C b n n n n n 7、二项式定理: (
r n ? r r 8、二项式通项公式 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 : T ? C a b ( r ? 0 , 1 … … n ) r ? 1 n

第二章 随机变量及其分布
1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是随着试验的结果的不同而 变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 ξ 、η 等表示。 2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量 X 可能取的值,我们可以按一定次 序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn X 取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率 P(ξ =xi)=P i,则称表为离散型随机变量 X 的概率分布,简称分布列

4、分布列性质① pi≥0, i =1,2, …



② p1 + p2 +…+pn= 1.

5、二点分布:如果随机变量 X 的分布列为:

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数 p 的二点分布 6、超几何分布:一般地, 设总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n(n≤N)件,这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量,则它取值为 k 时的概率为

P( X ? k ) ?

k n? k CM CN ?M (k ? 0,1, 2, n CN

, m) ,

其中 m ? min

?M, n? ,且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N *

7、条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率. 记作 P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 的概率

P ( B | A) ?
8、公式:

P ( AB) , P ( A) ? 0. P ( A)

9、相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独 立事件。 P ( A ? B) ? P ( A) ? P ( B) 10、n 次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 11、二项分布: 设在 n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数,A 发生次数ξ 是一个随机变量.如果 在一次试验中某事件发生的概率是 p, 事件 A 不发生的概率为 q=1-p, 那么在 n 次独立重复试验中
k k n ?k ? Cn p q (其中

P(? ? k )

k=0,1, ……,n,q=1-p )

于是可得随机变量ξ 的概率分布如下:

这样的随机变量ξ 服从二项分布,记作 ξ~B(n,p) ,其中 n,p 为参数 12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ 的概率分布为

则称 Eξ =x1p1+x2p2+…+xnpn+… 为ξ 的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.是离散 型随机变量。 13、方差:D(ξ )=(x1-Eξ )2·P1+(x2-Eξ )2·P2 +......+(xn-Eξ )2·Pn 叫随机变量ξ 的均方差,简称方差。 14、集中分布的期望与方差一览: 期望 两点分布 二项分布,ξ 15、正态分布: 若概率密度曲线就是或近似地是函数 ~ B(n,p) Eξ =p Eξ =np 方差 Dξ =pq,q=1-p Dξ =qEξ =npq, (q=1-p)

f ( x) ?

? 1 e 2? ?

( x?? )2 2? 2

, x ? ( ?? ,?? )
? 0) 是参数,分别表示总体的平均数与标准差.

(? 的图像,其中解析式中的实数 ?、?
16、基本性质: ①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交.

则其分布叫正态分布 记作:N (? , ? ) ,f( x )的图象称为正态曲线。

②曲线关于直线 x= ? 对称,且在 x= ? 时位于最高点. ③当时

x ? ? ,曲线上升;当时 x ? ? ,曲线下降.并且当曲线向左、右两边

无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近. ④当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定. ? 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的 分布越分散; ? 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体的分布越集中. ⑤当σ 相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ 来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于 1. 17、 3 ? 原则: 从上表看到,正态总体在 (? ? 2? , ? ? 2? ) 概率只有 0.3% 试验中几乎是不可能发生的. 以外取值的概率 只有 4.6%,在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 以外取值的 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次

第三章 统计案例
独立性检验
假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较精 确地给出这种判断的可靠程度。 具体的做法是, 由表中的数据算出随机变量 K^2 的值 (即 K 的平方) 立的可能性越大。 K2≤3.841 时,X 与 Y 无关; K2>3.841 时,X 与 Y 有 95%可能性有关;K2>6.635 时 X 与 Y 有 99%可能 性有关 K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中 n=a+b+c+d 为样本容量,K2 的值越大,说明“X 与 Y 有关系”成

回归分析
回归直线方程

? ? a ? bx y
1

? xy ? n ? x? y ? ( x ? x )( y ? y ) , SP 其中 b ? ? ? 1 SS (x ? x) ? x ? ( x ) ? n?
2 2 2 x

a ? y ? bx

高中数学选修 4-1 知识点总结 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线上截 得的线段也相等。 推理 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定: 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值 叫做相似比(或相似系数) 。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑 6 个元素,即三组对应角是否分别相等, 三组对应边是否分别成比例, 显然比较麻烦。 所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形 相似的简单方法: (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似。 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形 与三角形相似。 判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等,那么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。 判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比 例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角 形相似。 判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条 直线平行于三角形的第三边。 定理: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。 定理: 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比;

(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。 直角三角形的射影定理 射影定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它 们在斜边上射影与斜边的比例中项。 圆周定理 圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1:圆的内接四边形的对角互补。 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理: 从园外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等。 切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项。 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 选修 4-4 数学知识点 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求: 1.坐标系: ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的 位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程 . 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程, 理解用方程表示平面图形时选择 适当坐标系的意义. 2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结:

1. 伸缩变换: 设点 P ( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换

?:?

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), ?y? ? ? ? y, ( ? ? 0).

的作用下,点 P ( x, y ) 对应到点 P ( x , y ) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简

? ? ?

称伸缩变换。 2.极坐标系的概念: 在平面内取一个定点 O , 叫做极点; 自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴; 再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就 建立了一个极坐标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径, 记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序 数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 ( ? ? , ? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称, 即 (? ? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表 示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同 时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 5.极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

6。圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是

? ? r;

在极坐标系中, 以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ;

C ( a, ) 2 (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ; 在极坐标系中,以
7.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点 的一条直线. 在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a .

?

8. 参数方程的概念: 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t

? x ? f (t ), ? y ? g (t ), 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y) 都在这条 的函数 ?
曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简 称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

? x ? a ? rcos? , (?为参数) ? y ? b ? rsin? . 9.圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的参数方程可表示为 ? .
2 2 2

? x ? acos? , x2 y2 (?为参数) ? ? ? 1 2 2 y ? b sin ? . ( a ? b ? 0 ) ? b 椭圆 a 的参数方程可表示为 .

? x ? 2 px2 , (t为参数) ? 2 y ? 2 pt . y ? 2 px ? 抛物线 的参数方程可表示为 . ?x ? xo ? tcos? , ? y ? yo ? tsin? . t M ( x , y ) l O o o ? 经过点 ,倾斜角为 的直线 的参数方程可表示为 ? ( 为
参数). 10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互 化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致.


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