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2019高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ单元测试 新人教A版必修1

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高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ单元测试 新人教 A 版必修 1
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.有下列各式:

① a =a; ②若 a∈R, 则(a -a+1) =1; ③ 其中正确的个数是( A.0 C.2 解析 仅有②正确. 答案 B 2.函数 f(x)=loga(4x-3)的图象过定点( A.(1,0) )

n

n

2

0

3

x4+y3=x

4 3

+y; ④

6



2

3 = -2.

B.1 D.3

) B.(1,1)

?3 ? C.? ,0? ?4 ?
-3)的图象过定点(1,0). 答案 A 3.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=3
-x

?3 ? D.? ,1? ?4 ?

解析 令 4x-3=1,得 x=1.又 f(1)=loga(4×1-3)=loga1=0,故 f (x)=loga(4x

) B.y=-2x 1 2

C.y=log0.1x 答案 D

D.y=x

?1?1.5 0.9 4.设 y1=4 ,y2=log1 4.3,y3=? ? ,则( ?3? 2
A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3

)

B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

解析 因为 y1=4 >4 =1,

0.9

0

y2=log1 4.3<log1 1=0,
2 2

?1?1. 5 ?1?0 0<y3=? ? <? ? =1,所以 y1>y3>y2. ?3? ?3?
答案 D 5.已知集合 A={y|y=2 ,x<0},B={y|y=log2x},则 A∩B=( A.{y|y>0} C.{y|0<y<1} 解析 B.{y|y>1} D.?
x

)

A = {y |y = 2x , x<0} = {y|0<y<1} , B = {y|y = log2x} = {y|y ∈ R} ,∴ A∩B =

{y|0<y<1}. 答案 C 6.如果某 林区森林面积每年比上一年平均增长 10%,经过 x 年可以增长到原来的 y 倍, 那么函数 y=f(x)的图象大致是( )

解析 假设原来森林面积为 1,则 y=(1+10%) =1.1 . 答案 D 1 7.已知 0<a<1,x=loga 2+loga 3,y= loga5,z=loga 21-loga 3,则( 2 )

x

x

A.x>y>z C.y>x>z

B.z>y>x D.z>x>y

1 解析 x=loga 2+loga 3=loga 6= loga6, 2

z=loga 21-loga 3=loga 7= loga7.
1 1 1 ∵0<a <1,∴ loga5> loga6> loga7. 2 2 2 即 y>x>z. 答案 C 8.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e 关于 y 轴对称,则
x

1 2

f(x)=(
A.e C.e
x+1

) B.e
x-1

-x+1

D.e
x
-x

-x-1

解析 与曲线 y=e 关于 y 轴对称的曲线为 y=e , 函数 y=e 的图象向左平移一个单 位长度即可得到函数 f(x)的图象,即 f(x)=e 答案 D 9.已知四个函数①y=f1(x);②y=f2(x);③y=f3(x);④y=f4(x)的图象如下图:
-(x+1)

-x

=e

-x-1

.

则下列等式中可能成立的是( A.f1(x1+x2)=f1(x1)+f1(x2) B.f2(x1+x2)=f2(x1)+f2(x2) C.f3(x1+x2)=f3(x1)+f3(x2) D.f4(x1+x2)=f4(x1)+f4(x2)

)

解析 结合图象知,A、B、D 不成 立,C 成立. 答案 C

?1? -3, ? ? ?2? ?? 10.设函数 f(x)=? 1 ? ?x 2 , x
x

x

, 已知 f(a)>1,则实数 a 的取值范围是 ,

(

) A.(-2,1) C.(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

?1?a 解析 当 a≤0 时,f(a)=? ? -3>1,解得 a<-2; ?2?
1 2

当 a>0 时,f(a)=a

>1,解得 a>1.

综上 a 的取值范围是(-∞,2)∪(1,+∞) 答案 B 11.若偶函数 f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式 f(-1)<f(lgx)的解集是( A.(0,10) C.? B.? )

? 1 ,10? ? ?10 ?

? 1 ,+∞? ? ?10 ?

1? ? D.?0, ?∪(10,+∞) ? 10?

解析 因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(|x|),因为 f(x)在(-∞,0)内单调递减, 1 所以 f(x)在(0,+∞)内单调递增,故|lgx|>1,即 lgx>1 或 lgx<-1,解得 x>10 或 0<x< . 10 答案 D 12.设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在[0,+∞)上单调递增,若 a=

f?log

? ?

1? 1? ? ,b=f?log ? ?,c=f(-2),则 a,b,c 的大小关系是( 2 3? 3 2? ? B.b>c>a D.c>b>a 2 3<log 2 2=2,

)

A.a>b>c C.c>a>b 解析 因为 log

0<log

3 3

2<log

3 2

3=1, 3<2.

所以 log

2<log

因为 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以 f(log 3 2)<f(log 2 3)<f(2),

因为 f(x)是偶函数,所以

a=f?log b=f?log

? ? ? ?

1? ?=f(-log 2 3? 2 1? ?=f(-log 3 2? 3

3)=f(log 2)=f(l og

2

3),

3

2),

c=f(-2)=f(2).所以 c>a>b.
答案 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.函数 y= log1 2

x-

的定义域是________.

解析 由 log1 (x-4)≥0 得 0<x-4≤1, 2 ∴4<x≤5.故函数的定义域为(4,5]. 答案 (4,5] 14.已知函数 y=loga(x+b)的图象如下图所示,则 a=________,b=________.

解析
2

由图象过点(-2,0),(0,2)知,loga(-2+b)=0,logab=2,∴-2+b=1,b
2

=a .∴b=3,a =3.由 a>0,知 a= 3.∴a= 3,b=3. 答案 3 3

15.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则满足

f(x)>0 的 x 的取值范围是________.
解析 根据题意画出 f(x)的草图,由图象可知,f(x)>0 的 x 的取值范围是-1<x<0,或

x>1.

答案 (-1,0)∪(1,+∞)

16.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1,已知函数 y=2 的定义域为[a,b],值 域为[1,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为________. 解析

|x|

作出函数 y=2 的图象(如图所示) 当 x=0 时,y=2 =1, 当 x=-1 时,y=2 =2, 当 x=1 时,y=2 =2,
1 -1 0

|x|

所以当值域为[1,2]时,区间[a,b]的长度的最大值为 2,最小值为 1,它们的差为 1. 答案 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)计算下列各题: 1 4 4 - 4 ? ?2 3 -0.75 +? -3 ? +( 8) -16 ; ?4 ?

(1)0.0081

1 2 (2)(lg5) +lg2·lg50+21+ log25. 2 1 4


-3

(1)原式=(0.3 )

4

+2

? 3? 2×?- ?×2 ? 4?

+2

3 ? 4? ×?- ? 2 ? 3?

-2

4×(-0.75)

=0.3+2 +2 -2

-3

-2

=0.55. log2 5 (2)原式=(lg5) +lg2·lg(2×5 )+2·2
2 2

=(lg5) +lg2·(lg2+2lg5)+2 5 =(lg5+lg2) +2 5=1+2 5. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=log2(ax+b),若 f(2)=1,f(3)=2,求 f( 5).
?log2 ? 解 由 f(2)=1, f(3)=2, 得? ?log2 ?
2

2

a+b =1, a+b =2,

?2a+b=2, ? ?? ?3a+b=4, ?

??

?a=2, ? ?b=-2. ?

∴f(x)=log2(2x-2), ∴f(5)=log28=3. 1 2

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=-2x (1)求 f(x)的定义域; (2)证明 f(x)在定义域内是减函数.

.



(1)∵f(x)=-2x

1 2

=-2 x,

∴f(x)的定义域为[0,+∞).

2 ,x∈ -∞,1], ? ? 20.(本小题满分 12 分)设 f(x)=? x x log3 ·log3 ,x∈ ,+ ? 3 9 ? 3? ? (1)求 f?log2 ?的值; 2? ? (2)求 f(x)的最小值. 解 3 (1)因为 log2 <log22=1, 2

-x

3? ? 所以 f?log2 ?= 2? ?

2 = . 3

?1?x -x (2)当 x∈(-∞,1]时,f(x)=2 =? ? 在(-∞,1]上是减函数,所以 f(x)的最小值 ?2?
1 为 f(1)= . 2 当 x∈(1,+∞)时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2), 令 t=log3x,则 t∈(0,+∞),

f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=?t- ?2- , 2

? ?

3?

?

1 4

1 ?3? 所以 f(x)的最小值为 g? ?=- . 4 ?2? 1 综上知,f(x)的最小值为- . 4

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lg(a -b ),(a>1>b>0). (1)求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在(1,+∞)上递增且恒取正值,求 a,b 满足的关系式.

x

x



(1)由 a -b >0,得? ? >1. b
x x

?a?x ? ?

∵a>1>b>0,∴ >1. ∴x>0. 即 f(x)的定义域为(0, +∞). (2)∵f(x)在(1,+∞)上递增且恒为正值, ∴f(x)>f(1),只要 f(1)≥0. 即 lg(a-b)≥0,∴a-b≥1. ∴a≥b+1 为所求. 1 x 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2 - |x|. 2 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2 f(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 1 x (1)当 x<0 时,f(x)=0;当 x≥0 时,f(x)=2 - x. 2
t

a b

1 x 2x x 由条件可知 2 - x=2,即 2 -2·2 -1=0, 2 解得 2 =1± 2. ∵2 >0,∴x=log2(1+ 2). 1 ? ? t 1? t? 2t (2)当 t∈[1,2]时,2 ?2 - 2t?+m?2 - t?≥0, 2 2? ? ? ? 即 m(2 -1)≥-(2 -1). ∵2 -1>0,∴m≥-(2 +1). ∵t∈[1,2],∴-(1+2 )∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).
2t 2t 2t 2t 4t

x

x


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