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数列中的不等式证明

时间:2012-10-11


数列中的不等式证明 一、 教学说明:数列和不等式是历年高考的热点,而数列中的 不等式证明是一类常见题型。证明时需结合问题的特点, 从知识的整体性和综合性着眼,在知识网络交汇点寻求联 系,技巧性强,难度大。 二、本节重点、难点:递推型的数列不等式证明
1.2 ? 2 n ? 1
n

(n ? 3)( 数 学 归 纳 法 或 二 项 式 定 理 ) 1 n
2

2.1+

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

? 2( 放 缩 法 )
3

1 1 3.(1+1)(1+ ) ? (1 ? )? 4 3n ? 2 lg S n ? lg S n ? 2 2

3 n ? 1( n ? N )( 数 学 归 纳 法 )
*

4. 设 { a n }是 正 项 的 等 比 数 列 , S n 是 前 n 项 和 证: ? lg S n ?1 ( 分 析 法 或 比 较 法 )

三、数学思想与方法:函数、转化思想 ;构造法、迭代法
例 1.正 项 数 列{a n }满 足 a1 ? a , (0 ? a ? 1)且 a n ?1 ? 求 证 :an ? a 1 ? ( n ? 1) a an 1 ? an

例 2 : 已 知 数 列{ a n }对 一 切 n ? N 都 有 a n ? (0,1),
*

且 a n a n ?1 ? 2 a n ?1 ? a n ? 0
2

求 证 :(1):2 a n ?1 ? a n (2) :若 S n 是 { a n }的 前 n 项 和 ,证 : S n ? 2 a 1

例 3 : (2002 全 国 高 考 ) 设 数 列{ a n }满 足 a n ?1 ? a n ? na n ? 1 ( n ? N )且 a1 ? 3
2 *

证 明 :(1) a n ? n ? 2 (2) 1 1 ? a1 ? 1 1 ? a2 ?? ? 1 1 ? an ? 1 2

例4 : f ( x) ?

x?3 x ?1

( x ? 1), 设 数 列{ a n }

满 足 a1 ? 1, a n ?1 ? f ( a n ), 数 列{bn }满 足 bn ? | a n ? (1) 证 : bn ? (2) 证 : S n ? 3 |, S n ? b1 ? b2 ? ? bn ( 3 ? 1) 2 3
n ?1 n

2 3

练 习 :1、 (2005高 考 湖 北 理 ) 已知不等式 1 2 ? 1 3 ?? ?
n 2

1 n

?

1 2

[log 2 ]
n

n

其 中 n 大 于 2的 整 数 ,[log ]表 示 不 超 过 log 2 的 最 大 整 数 ,设 数 列{ a n }各 项 为 正 且 满 足 a1 ? b ( b ? 0), a n ? 证 明 : an ? 2b 2 ? b[log 2 ]
n

na n ?1 n ? a n ?1

( n ? 2)

( n ? 3)

2.设 { a n }满 足 a1 ? 2, a n ?1 ? a n ? a n ? 1, 求 证 :
2

1 a1
2

?

1 a2

?? ?

1 a 2003

?1

3.a 0 , a1 , ? ? a n 满 足 a 0 ?

1 2

及 a k ?1 ? a k ? 1 n

1 n

a k ( k ? 0,1, 2, ? , n ? 1)

其 中 n是 一 个 给 定 的 正 整 数 ,证 :14.(06 天 津 )

? an ? 1

已 知{ x n },{ y n }满 足 x1 ? x 2 ? 1, y1 ? y 2 ? 2, 并 且 y n ?1 yn ?? yn y n ?1 x n ?1 y n ?1 xn yn ? x2 ? y 2 x3 ? y 3 ?? ?

x n ?1 xn

??

xn x n ?1

,

(1) 若 x1 , x 3 , x 5 等 比 ,求 参 数 ? 值 . (2)当 ? ? 0时 , 证 明 : (3)当 ? ? 1时 , 证 明 : ?

x1 ? y1 x2 ? y 2

xn ? yn x n ?1 ? y n ?1

?

? ? ?1


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