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大数定律和中心极限定理习题课_图文

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第五章 大数定律和中心极限定理

习题课

内容简介:
在本章中,我们学习了切比雪夫不等 式、三个大数定律和三个中心极限定理. 分三块讲解,一是“主要内容归纳”,二 是“例题分类解析”,三是“学习与研究

方法”总结在“例题分类解析”部分,讲
解了:1. 用切比雪夫不等式估计概率;2.

随机变量之和的概率问题;

3. 二项分布与二个极限分布定理;4. 随机
变量的算术平均的概率问题;5. 已知随机

变量之和取值的概率, 求满足条件的最小正
整数n.

本章重点:
1. 三个大数定律的具体内容及其条件; 2. 三个中心极限定理的具体内容及其条件;

本章难点:
1. 三个大数定律的具体应用; 2. 三个中心极限定理的具体应用.

一、 主要内容归纳

1. 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望 E ( X ) ? ? , 方差
D( X ) ? ? 2 ,则对于任意的正数

P{| X ? ? |

? ,有 ? ≥ ? }≤ ? .
2 2

讲评
关系.

切比雪夫不等式揭示了随机变量

与其均值偏差的概率、数学期望与方差的内在

2. 切比雪夫大数定律

设随机变量X1, X2,…,Xn,…相互独立, 且具 有相同的数学期望和方差: E ( X k ) ? ?, D( X k ) ? ? 2
(k ? 1, ?). 则对于任意的正数 2,

?

, 算术平均 X



?1 n ? lim P ? X ? ? ? ? ? ? lim P ? ? X k ? ? ? ? ? ? 1. n ?? n ?? ? n k ?1 ? 讲评 切比雪夫大数定律表明, 当n很大时,
随机变量X1,X2,…,Xn的算术平均接近于数学期 望, 这种接近是在概率意义上的一种接近.

也就是说, 在切比雪夫大数定律的条件下, 当n

无限增加时, n个随机变量的算术平均 X 将几
乎变成一个常数. 3. 伯努利大数定律

设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次
数, p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对

于任意ε正数, 有

? nA ? lim P ? ? p ? ? ? ? 1, n ?? ? n ?



? nA ? lim P ? ? p ≥? ? ? 0. n ?? ? n ?

讲评 伯努利大数定律以严格的数学形
式说明了频率的稳定性. 就是说, 当n很大时,

事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性
很小. 同时也为我们平时利用频率来近似代替

事件概率给出了理论支撑.

4. 辛钦大数定律 设随机变量X1, X2,…, Xn, …相互独立, 服从 同分布, 且具有数学期望E ( X k ) ? ? (k ? 1, 2,?), 则对于任意正数

?

,有

?1 n ? lim P ? ? X k ? ? ? ? ? ? 1. n ?? ? n k ?1 ?

讲评 辛钦大数定律表明, 当n很大时, 随 机变量的算术平均 X 会“靠近”它们的数学期
望, 这就为寻找随机变量的数学期望提供了一

条实际可行的途径, 即在不知确切分布合方 差情形下, 取多次重复观测的算术平均 X 作为均值 E ( X ) 的较为精确的估计. 5. 独立同分布的中心极限定理 设随机变量X1, X2,…,Xn…相互独立, 服 从同一分布, 且具有数学期望和方差: E( X k ) ? ?, D( X k ) ? ? 2 ? 0(k ? 1, 2,?) , 则随机变 n 量之和 ? X k 的标准化随机变量 k ?1
Yn ?

?X
k ?1

n

k

? E (? X k )
k ?1 n

n

?

?X
k ?1

n

k

? n?

D(? X k )
k ?1

n?

的分布函数 Fn ( x), 对于任意实数x满足
lim Fn ( x) ? lim P{
n ?? n ??

?X
k ?1

n

k

? n?

n?

≤x} ? ?

x ??

1 2?

e 2 dt ? ? ( x).

?

t

2

对于均值为?,方差为? ? 0 的 n 个的独立同分 布的随机变量X1, X2,…,Xn,…(不管服从什么分 n 布)和 ? X k 的标准化随机变量, 当n充分大时,
2

讲评 独立同分布的中心极限定理说明,

近似服从正态分布.此定理又称为列维-林德 伯格中心极限定理.

k ?1

6. 李雅普诺夫定理

设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立, 它们
分别具有数学期望和方差:
2 E( X K ) ? ?K , D( X K ) ? ? K ? 0, k ? 1, 2,?



B ? ?? .
2 n 2 k k ?1

n

若存在正数 ? 使得当 n ?? 时,
1 B
2 ?? n

? E{ X
k ?1

n

k

? ?k

2 ??

} ? 0,

则随机变量之和 ? X
k ?1

n

k

的标准化随机变量
Zn ?

?X
k ?1

n

k

? E (? X k )
k ?1 n

n

?

?X
k ?1

n

k

? ? ?k
k ?1

n

D(? X k )
k ?1

Bn

的分布函数 Fn ( x) , 对于任意实数x, 满足
lim Fn ( x) ? lim P{
n ?? n ??

? X ???
k k ?1 k ?1

n

n

k

Bn

≤x} ? ?

x ??

1 2?

e 2 dt ? ? ( x).

?

t

2

在李雅普诺夫定理的条件下, 无 论各个随机变量Xk(k=1,2,…)服从什么分布, 只 要满足定理的条件, 那么当n很大时, 它们的和

讲评

就近似地服从正态分布. 7. 棣莫弗-拉普拉斯定理 设随机变量?n (n ? 1, 2,?) 服从参数为n, p(0<p<1)的二项分布, 则对于任意实数x, 有
lim P{
n ??

? n ? np
np (1 ? p )

≤x} ? ?

x ??

1 2?

?

t

2

e

2

dt ? ? ( x ).

讲评 棣莫弗-拉普拉斯定理表明, 正态分
布是二项分布的极限分布.

二、 例题分类解析 1. 用切比雪夫不等式估计概率

例1 设随机变量X的数学期望 E ( X ) ? ? , 方
2 D( X ) ? ? , 由切比雪夫不等式估计概率

的范围.

P ? X ? ? ≥3? ?

分析
本题涉及切比雪夫不等式的应用.

解 令 ? ? 3? , 由切比雪夫不等式
P{ X ? E ( X ) ≥? }≤ D( X )

?

2

,

得到

?2 1 P ? X ? ? ≥3? ?≤ 2 2 ? . 3? 9

讲评 本题考查切比雪夫不等式
P{| X ? E ( X ) | ≥

?}



D( X )

?2

的应用.

解题关键: 寻求绝对值符号内的随机变量 并计算其数学期望、方差.

扩展 本题可扩展为求P{| 3 X ? 3Y |≤6}≥
_______. 2. 随机变量之和的概率问题 例2 设各零件的重量都是随机变量, 它们 相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为 0.5kg, 均方差为0.1kg, 问5000只零件的总重量

超过2510kg的概率是多少?

分析 涉及随机变量之和的概率, 在标准
化后用独立同分布中心极限定理求解.


5000 i ?1

设Xi表示第i只零件的重量, 则

E(Xi)=0.5, D(Xi)=0.01. 于是5000只零件的总重
量 X= ? X i , 所以由独立同分布中心极限定理知,
P{ X ? 2510} ? P{ X ? 5000 ? 0.5 5000 ? 0.1 ? 2510 ? 5000 ?0.5 5000 ?0.1 }

? 1 ? ? ( 2) =1-0.921=0.079.

讲评 关于求和问题, 常用关系式 X ? ? X .
i i ?1

n

扩展 在实际问题中,要求计算随机变量
之和的概率的问题比较多; 也可以计算随机变

量之和落在某个范围的概率,如计算“总重量
位于2480kg和2510kg之间的概率”, 处理方法

与此题类似.

3. 二项分布与两个极限分布定理

例3 已知某产品的次品率为0.04, 现有这样 一批产品100件, 求这批产品中不少于4件次品 的概率. 分析 显然100件产品中的次品数服从二 项分布, 可以利用棣莫弗-拉普拉斯定理来求 解. 通常情况下用二项分布计算, 也可以用泊 松定理来计算.

解 用X表示100件产品中的次品数, 则
X ~ B(100, 0.04) . 由棣莫弗-拉普拉斯中心

极限定理得

P{4≤X≤100}
??( 100 ? 4 3.84

? P{

4 ? 100 ? 0.04 X ? 100 ? 0.04 100 ? 100? 0.04 ≤ ≤ } 100 ? 0.04 ? 0.96 100 ? 0.04 ? 0.96 100 ? 0.04 ? 0.96

) ? ? (0) ? ? (48.98) ? 0.5 ? 1 ? 0.5 ? 0.5.

下面利用二项分布和泊松定理来计算概率.

(1) 因为 X ~ B(100, 0.04), 故
? ? C ? 0.04 ? 0.96
k 100 k k ?4 100 100 ? k
3 k ?0

P{4≤X≤100}

k ? 1 ? ? C100 ? 0.04k ? 0.96100 ? k ? 0.5705.

(2) 由泊松定理, ? ? np ? 100 ? 0.04 ? 4 , 则有

P{4≤X≤100}
? 1? ?
k ?0 3

4

k

k!

e ? 1 ? 0.0183 ? (1 ? 4 ? 8 ?

?4

32 3

) =0.5669.

讲评 由本题的结果看到, 中心极限定理
可以计算随机变量落在某区间上的概率, 它实

际上是利用正态分布来逼近的. 但当n较大, p较
小时, 泊松定理的计算结果比中心极限定理更

精确一些.

扩展 从使用方便上来看, 中心极限定理
在计算上更简单一点. 在计算关于二项分布
的概率时, 通常题目指明用哪种方法. 读者要 体会两个极限分布的各自特点. 4. 随机变量算术平均的概率问题 例4 在天平上重复称量一重量为a的物品,

假设每次称量结果独立, 称量结果的期望为a,
方差为0.04. 问16次称量结果的算术平均与真

实重量a的误差小于0.1的概率是多少?

分析 此题实际上是求算术平均与它的期望
的绝对值小于0.1的概率, 考查的是中心极限定
理的应用问题.


定理有

设Xi为每次称重的重量, 则E(Xi)=a,
D( X ) ? 0.04 16 ? 0.0025 .

D(Xi)=0.04, 从而

由中心极限

P{ X ? a ? 0.1}? P{

X ?a 0.05

? 2} ? 2? (2) ? 1 ?

0.9775.

讲评

此问题考虑的是多个随机变量的

算术平均的概率问题, 在实际应用中会经常遇 到这类问题. 解题关键是, 掌握关系式
E ( X ) ? E ( X ),

D( X ) ?

D( X ) n

.

扩展 在处理随机变量的算术平均的概
率问题时, 常常将该问题分解为大规模随机
变量之和的概率计算问题.

5. 已知随机变量之和取值的概率, 求满足 条件的最小正整数n 例5 某灯泡厂的产品合格率为0.99, 问一 箱中应装多少只灯泡才能使在一箱里至少有 100只合格品的概率不低于0.95?

分析 把检验每个灯泡看成一次试验,
则一箱n个灯泡中的合格品个数服从参数为 n, 0.99的二项分布, 我们可以结合棣莫弗-拉

普拉斯中心极限定理来计算本题.

解 设一箱中装n只灯泡, X表示一箱灯
泡中的合格品个数, 所以X ~ B(n, 0.99) . 由 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理有
P{ X ≥100} ? P{ X ? 0.99n n ? 0.99 ? 0.01
100 ? 0.99n 0.0099n ).



100 ? 0.99n n ? 0.99 ? 0.01

}

? 1?? (

要使 P{X≥100}≥0.95 ,
也就是 ? (
100 ? 0.99n 0.0099n ) ? 0.05

100 ? 0.99n )≥0.95 即1 ? ? ( 0.0099n
0.99n ? 100 0.0099n )≥0.95.

,只需? (

查表得

0.99n ? 100 0.0099n

≥1.65.

解得n≥102.7, 即每箱至少装103只灯泡.

讲评 解这类问题的关键, 是把一箱灯泡
中的合格品个数所服从的分布求出, 再结合中 心极限定理就可解得.

扩展 题目条件改变: 二项分布改变为其
它已知分布; 或者用独立同分布的中心极限定 理条件, 即不要求具体的分布. 结论方面可以 要求计算“至多装多少只”的问题,

其解法与本题类似.
例6 有一批电子元件, 若某电子元件的

寿命超过2000小时, 称此电子元件为一级品.
若这批产品中一级品占 , 从中取6000件电
6 1

子元件. 问其中一级品个数所占比例与 品数的范围是多少?

1 6

相差不超过多少时概率约为0.99? 这时一级

分析 求它们相差不超过多少, 即求它们
的差的绝对值最多是多少时概率约为0.99.

解 设6000件产品中有一级品X件, 则
X ~ B(6000, ) 6 1

. 再设一级品件数的比例与 6 相
X 6000 ? 1 6 ≤k} ? 0.99 .

1

差不超过k, 由题设 P{ 注意到关系式
X ? np np(1 ? p) ? X ? 1000 1000 ?
X 6000 ?

?

3 50

( X ? 1000) ? 120 3(

5 6
1

? ). 6000 6

X

1

于是

P{

1 ≤k } ? P{ 6 120 3

X ? np np (1 ? p )

≤k }

? P{

X ? np np (1 ? p )

≤120 3k} ? 2? (120 3k ) ? 1.

从而 2? (120 3k ) ? 1 ? 0.99 , 也有

? (120 3k ) ? 0.995 ? ? (2.57).得到 120 3k ? 2.57.
X 1 ? ≤0.0124. 因此k=0.0124,所以 6000 6

展开不等式,得到一级品范围是 926≤X≤1074.

讲评

当试验次数比较多时, 就要考虑

应用中心极限定理.

扩展 在实际问题中, 二项分布非常普
遍, 为了寻找试验结果, 往往要进行大量的试

验(即试验次数大), 一般通过棣莫弗-拉普拉
斯中心极限定理来计算概率.

三、内容小结
在本章中,我们学习了切比雪夫不等 式、切比雪夫大数定律、伯努利大数定律

和辛钦大数定律,学习了独立同分布中心
极限定理、李雅普诺夫定理和棣莫弗-拉普

拉斯中心极限定理.这些定律和定理揭示了
频率的稳定性、算术平均的稳定性及服从

正态分布、和随机变量服从正态分布等重
大的理论问题,它们具有更多的实用性.

四、习题布置
P150 1、3、8 .

参考文献与联系方式
[1] 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 中 国科学技术出版社,2007年11月. [2] 郑一,王玉敏,戚云松. 概率论与数理统计教学 辅助教材. 中国科学技术出版社,2007年11月. [3] 郑一,冯宝成,戚云松,王玉敏. 概率论与数理 统计教案. [4] 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实 验教材. 中国科学技术出版社,2007年11月. [5] 山东省高等学校省级精品课程 - 概率论与数理 统计网. http://jx.qtech.edu.cn/gailv,或者 http://www.jpkccn.com 联系方式:zhengone@qtech.edu.cn 手 机:15969855738


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