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2.3.1抛物线及其标准方程 人教版_图文

时间:2013-04-08

生活中的抛物线

美丽的赵州桥

生活中的抛物线

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抛球运动

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展示课前实践作业
请同学们准备以下工具,两个同学分工协作, 按下列方法画出动点轨迹.
1.在纸一侧固定直尺
2.将直角三角板的一条直角边 紧贴直尺

3.取长等于另一直角边长的绳子
4.固定绳子一端在直尺外一点

5.固定绳子另一端在三角板顶点 A上 6.用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴 三角板的直角边 7.上下移动三角板,用笔画出轨迹

动画 演示

A 返回目录

抛物线的画法

数学这门学科不仅需要观察,还需要实验

一、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F和一 H 条定直线l(l不经过点F)的距离相 等的点的轨迹叫抛物线.
点F 叫抛物线的焦点, d F

M

·
焦 点

·

直线l 叫抛物线的准线. 准线

MF d为 M到 即:若 ? 1 ,则点M的轨迹 d l 的距离 是抛物线. 1. 若l经过点F,动点M的轨迹是什么?
2.比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如 何选择坐标系,建立的抛物线的方程才能更简单? 返回目录

l

二、抛物线标准方程的推导
求曲线方程 的基本步骤 是怎样的?
建系 列式 化简 设点

H
F

M

·

·
l

二、抛物线标准方程的推导
H
建系 列式 化简 设点 K O

解:以过F且垂直于直线 l 的直

yd

M (x,y) 线为x轴,垂足为K.以F,K的中 点O为坐标原点建立直角坐标系

·

·F ·

xoy. 点M到l的距离为d.
设 FK ? p( p>0),

x 设M(x,y)是抛物线上任意一点,

l

p p 则焦点F的坐标为( , 0),准线的方程为x ? ? . 2 2

由抛物线的定义,抛物线就是点的集合 P ? ?M MF ? d ?,
p? p ? 所以 ? x ? ? ? y ? x ? 2? 2 ?
2 2

两边平方,整理得

y ? 2 px( p> 0)
2

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三、抛物线的标准方程
y2 = 2px(p>0) 其中p 为正常数,它的几何意义是:

H

yd

M

·
x

K O

·F ·

焦 点 到 准 线 的 距 离.

l

方程 y2 = 2px(p>0)表示焦点在x轴正半轴上的 抛物线.
p p 焦点F的坐标为( , : 0),准线l的方程为 : x ? ? . 2 2
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三、抛物线的标准方程

探 究
抛物线的标准 方程还有哪些 不同形式?

若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下,你能根 据上述办法求出它的标准方程吗? 各组分别求解开口不同时抛物线的标准方程。

三、抛物线的标准方程的其他形式
l
N M

· · F

l

N
H

y M

· · F
y F

x

· ·

F

M

M

· ·
N
O H x

l

l
N

图形
y H M x

标准方程

焦点坐标
?p ? ? ,0 ? ?2 ?

准线方程
x?? p 2

y 2 ? 2 px

O F l M y H

? p ? 0?
y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

F O x l y F O

如何确定抛物线焦 ? p ? p ? ? ,0 ? x? 2 ? 点位置及开口方向? ? 2
? p? 一次变量定焦点? p y? ? 0, ? ? 2?
2

M
x H H M

x2 ? 2 py

? p ? 0?

l
l y O F

开口方向看正负
x

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2 返回目录

四、抛物线及其标准方程的应用
根据下列条件求抛物线的标准方程?
1.抛物线的焦点坐标是 F(0,-2); 2.抛物线的准线方程是 y=-4;

x ? ?8 y
2

x ? 16 y
2

3.焦点在x轴负半轴,且焦点到准线距离 2 ; 3.焦点到准线的距离为 2. 2 y ? ?2 2x或y ? 2 2x或x ? ?2 y 2?或x 2x 2 2 y. y ?2 ?
2 2 2 2

4.M是抛物线y2 = 4x上一点,若点M到焦点F的 距离等于6,求点M坐标.
M (5,?2 5 )

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y l
O x F(0,-2)

1.因为抛物线的焦点坐标为(0, 2), ? p 在y轴负半轴上,且 ? 2,所以, 2 所求抛物线的标准方程是x ? ?8 y.
2

y

2.因为抛物线的准线方程是y ? ?4, p 所以焦点在y轴的正半轴上,且 =4, 2 所以所求抛物线的标准方程是x ? 16 y.
2

F O l y=-4 x

返回例1

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y

3.因为抛物线的焦点到准线的距离是 2, 所以p ? 2,又因为抛物线的焦点在x轴
F O x

的负半轴上,所以,所求抛物线的标准 方程为y ? ?2 2 x.
2

l

4.解 : 设M ( x , y ),
0 0

返回例1

y H M

抛物线y ? 4 x的准线方程为x ? ?1,
2

由抛物线的定义知: ? MH . MF
x

O F l

所以x ? (?1) ? 6,所以x ? 7,
0 0

又因为M(7,y )在抛物线y ? 4 x上,
2 0

所以y ? 4 ? 7,所以y ? ?2 7.
2 0 0

所以M(7, 2 7). ?

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四、抛物线及其标准方程的应用
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. 2 (1) y ? 20 x (1) (5,),x ? ?5. 0

1 (2) x ? ? y 2 (3) 2 y ? 5 x ? 0
2 2

1 (4) y ? x 4
注意

2

1 1 (2) (0, ),y ? . ? 8 8 5 5 (3)( ? , 0),x ? . 8 8 (4)(0, 1 ),y ? ?1.

求抛物线的焦点或准线时,一定要先把方 程化为标准方程;
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