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荆门市实验高中高三测试卷三角函数

时间:

荆门市实验高中 2008 届高三第一轮复习单元测试卷

三角函数

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1. sin? ? 0 ,则? 是

A.第一象限角

B. 第二象限角

C. 2k? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z D. 第一或第二象限角

2.集合 A、B 都是锐角,且, cos A ? sin B ,则 A+B 的范围是

A.(0, ? ) 2

B.(

?

? ,



42

C.(0,? )

3.若 sin? ? cos? ? 1 ,则下列各式中一定成立的是 2

D.( ? ,? ) 2

A . sin? ? 2 B. cos? ? ? 2

2

2

C. sin? ? cos? ? 0

D. sin? ? cos? ? 0

4. tan? 和 tan(? ? ? ) 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两根,则 p 与 q 的关系是 4

A. p ? q ?1 ? 0 B. p ? q ?1 ? 0

C. p ? q ?1 ? 0 D. p ? q ?1 ? 0

5.已知函数 y ? 2sin(2x ? ?) (? ? ? ) 的图象经过点 (0,1) ,则该函数的一条对称轴方程为 2

A. x ? ? ? 12

B. x ? ? ? 6

C. x ? ? 6

D. x ? ? 12

6.在 ? ABC 中, 3sin A? 4cos B ? 6 , 4sin B ? 3cos A ? 1,则 C 的大小是

A. ? 或 5? 66

?
B.
6

C. 5 ? 6

D. ? 或 2 ? 33

7. 若 sin? ? cos? ? tan? (0 ? ? ? ? ) ,则? ? 2

A(0, ? ) 6

B.( ? , ? ) 64

C.( ? , ? ) 43

D.( ? , ? ) 32

8.当 0 ? x ? ? 时,函数 f (x) ? 1? cos 2x ? 8sin2 x 的最小值为

2

sin 2x

A.2

B .2 3

C.4

D.4 3

9.若 sin(? ? ? ) ? 1 ,则 cos( 2? ? 2? ) =

6

3

3

A. ? 1 3

B. ? 7 9

7
C.
9

1
D.
3

10.在 ? OAB 中,O 为坐标原点,A (1, cos? ) 、B (sin? ,1) ? ? (0, ? ] ,则当 ? OAB 的面积达 2

到最大值时? =

A.?

B.?

6

9

C

? .

4

?
D.
2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.答案填在题中横线上.

11.角? 终边上一点 M( x ,-2),且 cos? ? x ,则 sin? =_

.

3

12.已知?, ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ,则 tan? =

.

13.若 sin x ? cos y ? 2 ,则 cos x ? sin y 的范围是

.

2

14.点 A 在以原点为圆心的圆周上依逆时钟方向做匀速圆周运动,已知点 A 从 X 轴正半轴出发

1min 转 过 ? ( 0? ? ? ? )角 , 2 mi n到 达 第 三 象 限 , 1 4 mi n回 到 原 来 的 位 置 , 则

?=

.

15.某游乐场有一个按逆时针方向旋转的大风车,如图所示。已知某人从点 A 处上风车,离地

面的高度 h(米)与它登上大风车后运行的时间 t(分钟)满足函数关系

h ? 12.5 ?10 cos( 2? t ? 2? ) ,且 5 分钟后到达顶点 B.

B

15 3

⑴此人登上大风车开始运行时的点 A 距地面的高度为



⑵点 A 转到点 B 所走过的弧度数为



A

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分 12 分)

已知 cos(? ? ? ) ? ? 1 ,sin(? ? ? ) ? 2 ,且 ? ? ? ? ? ,0 ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值。

29

2

32

2

17.(本小题满分 12 分)
f (x) 是定义在[?2? ,2? ] 上的偶函数,当 x ?[0,? ] 时, f (x) ? 2cosx ,

当 x ? (? ,2? ]时,y ? f (x) 的图象是斜率为 4 ,在 y 轴上截距为 —2 的直线在相应区间 ?
上的部分。
(1)求 f (?2? ), f (? ? ) 的值; 6
(2)写出函数 y ? f (x) 的表达式,作出图象,并写出函数的单调区间。

18.(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中 , C ? 2A, cos A ? 3 , BA? BC ? 27 (1)求 cos B 值;(2)求边 AC 的长.

4

2

19.(本小题满分 12 分)



(

sin

3 2 1400

?

1 cos2 1400

)?

1 2 sin 100

的值。

20.(本小题满分 13 分)

已知奇函数 f(x)的定义域为实数集,且 f(x)在[0, ??) 上是增函数,当 0 ? ? ? ? 时,是否存在 2

这样的实数 m,使 f (4m ?2mcos ) ?(2nsi f? 2) (0)2 ? ? f?

对所有的? ?[0, ? ] 均成立? 2

若存在,求出所有适合条件的实数 m;若不存在,说明理由。

21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f (x) ? 4x3 ? 3x2 cos? ? 1 , 其中 x ? R,? 为参数,且 0 ? ? ? ? .

32

2

(1)当 cos? ? 0 时,判断函数 f (x) 是否有极值;

(2)要使函数 f (x) 的极小值大于零,求参数? 的取值范围;

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数? ,函数 f (x) 在区间 (2a ?1, a) 内都是增函数,
求实数 a 的取值范围。

荆门市实验高中 2008 届高三第一轮复习单元测试卷三角函数参考答案

一、选择题:1.C 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.C 9.B 10.D

二、填空题: 11. ? 2 或 ?1
3

12.1

13.

? ?? ?

14 , 2

14 ?

2

? ?

14. 4? , 5? 77
三、解答题:

15. ⑴7.5 米(2 分) ⑵ 2? (3 分) 3

16. ? ? ? ? ? ,0 ? ? ? ? ,? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2

2 4 2 42 2

?sin(? ? ? ) ?

1? cos2(? ? ? ) ? 4

5

? , cos(

?

?

)

?

5

2

29

2

3

?cos ? ? ? 2

?

cos

???(?

?

? 2

)

?

(? 2

?

?

)???

?

cos(?

?

? 2

)

cos(? 2

?

?

)

?

sin(?

?

? 2

)

sin(? 2

?

?

)

?

(?

1) 9

?

5?4 5?2? 3 93

75 27

?cos(? ? ? ) ? 2cos2 ? ? ? ?1 ? ? 239

2

729

17. 解:(1)当 x ? (? ,2? ]时, y ? f (x) ? 4 x ? 2又 y ? f (x) 是偶函数
?

? f (?2? ) ? f (2? ) ? 4 ? 2? ? 2 ? 6 ?

又当 x ?[0,? ] 时, f (x) ? 2cosx ,

f (? ?

)

?

f

? ()

?

2

?

? cos

?

3

6

6

6

(2)

f

(x)

?

??? ?

4 ?

x

?

?2 cosx

2

? ?

4

x

?

2

??

x ?[?2? ,?? ) x ?[?? ,? ] x ? (? ,2? ]

其图象在[?2? ,2? ] 上的图象如下图所示,

故函数的递增区间为[?? ,0] , (? ,2? ] ;递减区间为[?2? ,?? ) ,[0,? ]

18. 解:(1) cos C ? cos 2A ? 2 cos2 A ?1 ? 1 ? 0 8
又 cos A ? 3 ? 0 ,故在 ?ABC 中, A 、 C 是锐角
4

∴ sin A ? 7 , sin C ? 3 7

4

8

∴ cos B ? ? cos(A ? C) ? sin Asin C ? cos Acos C ? 9 16

(6 分)

(2) BA? BC ? 27 ? ac cos B ? 27 ? ac ? 24

2

2

由正弦定理 c ? a ? c ? 2 cos A ? 3

sin 2A sin A a

2

解得 a ? 4 ;c=6

∴ b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 25 ∴ b ? 5

(12 分)

19.原式 ?

3 (sin2 40

?

1 cos2

)? 40

1 2 sin 100

?

3cos2 sin2

400 400

? sin2 400 cos2 400

?

1 2 sin 100

?

4 cos2 400 ?1 sin2 400 ? cos2 400

1 ? 2sin100

?

4cos2 400 ?1 1 1 sin2 800 ? 2sin100

?

8(cos2 400 ? 1) 4
cos100 sin2 100

? 8(cos 400

? cos 600)(cos 400 ? cos 600) cos2 100 sin100

4

?

8? 2cos2

500

? cos100 ???2sin 500 cos2 100 sin100

sin(?100 )??

?

16cos2 100 sin100 cos2 100 sin100

? 16

20. f (x) 为奇函数,? f (?x) ? ? f (x)(x ? R)? f (0) ? 0

f (4m ? 2mcos? ) ? f (2sin2 ? ? 2) ? 0 ? f (4m ? 2m cos? ) ? f (2sin2 ? ? 2)

? ? 又 f (x) 在 0, ?? 上是增函数,且 f (x) 是奇函数 ? f (x) 是 R 上的增函数,

? 4m ? 2m cos? ? 2sin2 ? ? 2 ?cos2 ? ? m cos? ? 2m ? 2 ? 0

?

?

???0

? , 2

? ??

?,

c o?s??

0? ,, 1令l ? cos? (l ??0,1?)

? ? ?满足条件的 m 应该使不等式 l2 ? mt ? 2m ? 2 ? 0 对任意 m ? 0,1 均成立。

设 g(t) ? l2 ? mt ? 2m ? 2 ? (l ? m)2 ? 2m ? 2 ,由条件得 2

? ?

m

?

0

?2



??g(0) ? 0

???0

?

m 2

?

1


? ? ??

g(

m 2

)

?

0

?? m ? 1 ?2 ?? g ( 1 )?

解得, 4 ? 2 2 ? m ? 2 或 m ? 2 0

即 m 存在,取值范围是 (4 ? 2 2, ??)

21. 解: (1)解:当 cos? ? 0 时 f (x) ? 4x3 ? 1 , 则 f (x) 在 (??, ??) 内是增函数,故无极值。 3 分
32

(2)解: f '(x) ? 12x2 ? 6x cos? , 令 f '(x) ? 0, 得

x1

?

0,

x2

?

cos? 2

.

由 0 ? ? ? ? 及(I),只需考虑 cos? ? 0 的情况。 2
当 x 变化时, f '(x) 的符号及 f (x) 的变化情况如下表:

x f '(x)

(??, 0)


0

(0, cos? ) 2

cos?

(cos? , ??)

2

2

0



0



f (x)

递增

极大值

递减

极小值

递增

因此,函数

f (x) 在 x ?

cos?

处取得极小值

cos? f ( ), 且

f (cos? ) ? ? 1 cos3 ? ?

1

.

2

2

2

4

32

要使 f (cos? ) ? 0, 必有 ? 1 cos3 ? ? 1 ? 0, 可得 0 ? cos? ? 1 , 所以 ? ? ? ? ? 8 分

2

4

32

23

2

(3)由(2)知,函数 f (x) 在区间 (??, 0) 与 ( cos? , ??) 内都是增函数。 2

由题设,函数 f (x) 在 (2a ?1, a) 内是增函数,则 a 须满足不等式组

?2a ?1 ? a ??a ? 0

?2a ?1 ? a

?



??? 2a

?1

?

1 2

cos?

由(II),参数? ? (? , ? ) 时, 0 ? cos? ? 1 .要使不等式 2a ?1 ? 1 cos? 关于参数? 恒成立,必

32

2

2

有 2a ?1 ? 1 .综上,解得 a ? 0 或 5 ? a ? 1. 所以 a 的取值范围是 (??, 0] [5 ,1). 14 分

4

8

8


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