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数学必修五知识点总结归纳

时间:2010-04-29


必修五知识点总结归纳
(一)解三角形
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 2、三角形面积公式: S ???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
接圆的半径,则有 3、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
4、 余弦定理的推论:cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 ,cos ? ? ,cos C ? . 2bc 2ab 2ac

5、射影定理: a ? b cos C ? c cos B, b ? a cos C ? c cos A, c ? a cos B ? b cos A 6、设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2

?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2

?

2

2

2

?

(二)数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数.
1

3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. an?1 ? an ? 0 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. an?1 ? an ? 0 7、常数列:各项相等的数列. 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 10、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 11、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称 为等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 12、由三个数 a , ? ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的 等差中项.若 b ?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

13、若等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an ? a1 ? ? n ?1? d . 14、通项公式的变形:① an ? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ? ④n ?

an ? a1 a ? am ? 1 ;⑤ d ? n . d n?m

an ? a1 ; n ?1

* 15、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、n 、 p 、q ? ? ) ,则 am ? an ? ap ? aq ; * 若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an ? ap ? aq .

16、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2

* 17、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则 S2n ? n ? an ? an?1 ? ,且

?

?

S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 a ? n . S偶 an?1

* ②若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ? S偶 ? an ,

?

?

S奇 n ? S偶 n ? 1

2

(其中 S奇 ? nan , S偶 ? ? n ?1? an ) . 18、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称 为等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 19、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比项 .若 G ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.注意: a 与 b 的等比中项可能是 ? G
2

20、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . 21、通项公式的变形:① an ? amqn?m ;② a1 ? an q
?? n ?1?

;③ q

n ?1

?

an a n?m ;④ q ? n . a1 am

22、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;
2 若 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 an ? ap ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 23、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
* 24、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则

?

?

S偶 S奇

?q.

② Sn?m ? Sn ? qn ? Sm .③ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列( Sn ? 0 ) .

(三)不等式
1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 2、 不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; a ? b, b ? c ? a ? c ; a ? b ? a ? c ? b ? c ; ② ③ ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;
n n ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ??, n ? 1? ;

3

⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0


??0

??0







y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
一元二次方程 ax ? bx
2

有两个相异实数根

有两个相等实数根

? c ? 0 ? a ? 0 ? 的根

x1,2 ?

?b ? ? ? x1 ? x2 ? 2a

x1 ? x2 ? ?

b 2a

没有实数根

ax2 ? bx ? c ? 0
一元二次 不等式的 解集

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? a ? 0?
若二次项系数为负,先变为正 5、设 a 、 b 是两个正数,则 几何平均数.

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的 2

6、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即

a?b ? ab . 2

a 2 ? b2 7、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ? ? a, b ? R ? ; 2
2 2

③ ab ? ?

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? a ? 0, b ? 0? ;④ ?? ? ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?
2 2

8、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有
4

s2 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 . 4
⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

5


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