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【创新设计,教师用书】(人教A版,理科)2015届高考数学第一轮复习细致讲解练:第二篇+函数、导数及其应用

时间:2014-09-04

第二篇 函数、导数及其应用 A
第 1 讲 函数的概念及其表示 [最新考纲] 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析 法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.
知识梳理 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地,设 A,B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集 合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应;那么就称: f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作 y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. (3)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系. (4)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图象法. (5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表 示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的 并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 2.函数定义域的求法

类型
2n f?x?,n∈N* f?1x?与[f(x)]0 logaf(x)
四则运算组成的函数 实际问题

x 满足的条件 f(x)≥0
f(x)≠0 f(x)>0 各个函数定义域的交集 使实际问题有意义

3.函数值域的求法

方法 配方法 性质法 单调性法 换元法

示例 y=x2+x-2
y=ex y=x+ x-2 y=sin2 x+sin x+1

分离常数法
1.对函数概念的理解. (1)(教材习题改编)如图:

y=x+x 1 辨析感悟

示例答案 y∈???-94,+∞???
y∈(0,+∞) y∈[2,+∞)
y∈???34,3??? y∈(-∞,1)∪
(1,+∞)

以 x 为自变量的函数的图象为②④.(√) (2)函数 y=1 与 y=x0 是同一函数.(×) 2.函数的定义域、值域的求法

(3)(2013·江西卷改编)函数 y= xln(1-x)的定义域为(0,1).(×)

(4)(2014·杭州月考改编)函数 f(x)=1+1 x2的值域为(0,1].(√)

3.分段函数求值

??x2+1,x≤1, (5)(2013·济南模拟改编)设函数 f(x)=???2x,x>1,

则 f(f(3))=193.(√)

学生用书 第 10 页

(6)(2014·浙江部分重点中学调研改编)函数 f(x)=???x2-x+34,x≥0, ??2x+1,x<0

若 f(a)=12,

则实数 a 的值为12或-2.(√) 4.函数解析式的求法 (7)已知 f(x)=2x2+x-1,则 f(x+1)=2x2+5x+2.(√) (8)已知 f( x-1)=x,则 f(x)=(x+1)2.(×) [感悟·提升]

1.一个方法 判断两个函数是否为相同函数.一是定义域是否相同,二是对应

关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简),如(2).

2.三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义,如(3);

二是分段函数求值时,一定要分段讨论,注意验证结果是否在自变量的取值范围

内,如(6);

三是用换元法求函数解析式时,一定要注意换元后的范围,如(8).

考点一 求函数的定义域与值域

【例 1】 (1)(2013·山东卷)函数 f(x)= 1-2x+ x1+3的定义域为(

).

A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] (2)函数 y=xx-+31的值域为________.

??1-2x≥0,

解析 (1)由题意?

解得-3<x≤0.

??x+3>0,

x-3 x+1-4

(2)y= =

=1-

4

,因为

4

≠0,

x+1 x+1

x+1

x+1

所以 1- 4 ≠1.即函数的值域是{y|y≠1}. x+1

答案 (1)A (2){y|y≠1} 规律方法 (1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不

等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.

(2)求函数的值域:①当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可考

虑用分离常数法;②若与二次函数有关,可用配方法;③当函数的图象易画出时,

可以借助于图象求解.

【训练 1】 (1)函数 y=ln???1+1x???+ 1-x2的定义域为________.
(2)函数 f(x)=???log12x,x≥1, 的值域为________. ??2x,x<1

??1+1x>0, ? 解析 (1)根据题意可知, x≠0,
??1-x2≥0

????x+x 1>0, ??-1≤x≤1

?0<x≤1,故定义

域为(0,1].
(2)当 x≥1 时,log1x≤0;当 x<1 时,0<2x<2,故值域为(0,2)∪(-∞,0]=(-
2

∞,2). 答案 (1)(0,1] (2)(-∞,2)
考点二 分段函数及其应用

【 例 2 】 (1)(2014·东 北 三 校 联 考 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 f(x) =

?log2?4-x?,x≤0 ??f?x-1?-f?x-2?,x>0

,则 f(3)的值为(

).

A.-1 B.-2 C.1 D.2

(2)已知实数 a≠0,函数 f(x)=???2-x+x-a,2ax,<x1≥,1. 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为

________.

解析 (1)依题意,3>0,得 f(3)=f(3-1)-f(3-2)=f(2)-f(1),又 2>0,所以 f(2)

=f(2-1)-f(2-2)=f(1)-f(0);所以 f(3)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0),又 f(0)=log2(4

-0)=2,所以 f(3)=-f(0)=-2.

(2)当 a>0 时,1-a<1,1+a>1.

此时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,

f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 3
由 f(1-a)=f(1+a),得 2-a=-1-3a,解得 a=-2.

不合题意,舍去.当 a<0 时,1-a>1,1+a<1,

此时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,

f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a. 3
由 f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a,解得 a=-4. 综上可知,a 的值为-34. 答案 (1)B (2)-34 规律方法 (1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,

然后代入该段的解析式求值,当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.

(2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段

上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足

相应段自变量的取值范围.

【训练 2】 (2014·烟台诊断)已知函数 f(x)=???2cos π3x,x≤2 000, 则 f[f(2 013)] ??2x-2 008,x>2 000,

=( ).

A. 3 B.- 3 C.1 D.-1

解析

f(2 013)=22 013-2 008=25=32,所以 f[f(2 013)]=f(32)=2cos

323π=2cos

2π 3

=-1.
答案 D 学生用书 第 11 页
考点三 求函数的解析式 【例 3】 (1)已知 f???2x+1???=lg x,求 f(x)的解析式. (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试求出 f(x)的解析式. (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式. 解 (1)令2x+1=t,由于 x>0,∴t>1 且 x=t-2 1, ∴f(t)=lg t-2 1,即 f(x)=lg x-2 1(x>1). (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又 f(0)=c=3. ∴f(x)=ax2+bx+3,∴f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax +4a+2b=4x+2. ∴???44aa=+42,b=2, ∴???ab==1-,1, ∴f(x)=x2-x+3. (3)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).①

以-x 代替 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得, f(x)=23lg(x+1)+13lg(1-x),x∈(-1,1). 规律方法 求函数解析式常用方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值 范围; (3)方程法:已知关于 f(x)与 f???1x???或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另 外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). 【训练 3】 (1)若 f(x+1)=2x2+1,则 f(x)=________. (2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x), 则当-1≤x≤0 时,f(x)=________. 解析 (1)令 t=x+1,则 x=t-1, 所以 f(t)=2(t-1)2+1=2t2-4t+3. 所以 f(x)=2x2-4x+3. (2)当-1≤x≤0 时,有 0≤x+1≤1,所以 f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)]=-x(1+x), 又 f(x+1)=2f(x),所以 f(x)=12f(1+x)=-x?x+2 1?. 答案 (1)2x2-4x+3 (2)-x?x+2 1?
1.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质 的基础.因此,我们一定要树立函数定义域优先意识. 2.函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法,三者之间是可以互相转

化的;求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等, 特别要注意将实际问题转化为函数问题,通过设自变量,写出函数的解析式并明 确定义域.

教你审题 1——分段函数中求参数范围问题

?-x2+2x,x≤0,

【典例】

(2013·新课 标全国 Ⅰ卷 )已知 函 数

f(x)



? ?ln?x+1?,x>0.

?若

|f(x)|≥ax?,则 a 的取值范围是( ).

A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

(1)

??-x2+2x,x≤0,

[审题]一审条件?:f(x)=?

转化为一元二次函数与对数函数

??ln?x+1?,x>0,

的图象问题.如图(1).

二审条件?:|f(x)|≥ax,由 f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2).

(2) 三审图形:观察 y=ax 的图象总在 y=|f(x)|的下方,则当 a>0 时,不合题意;当 a=0 时,符合题意;当 a<0 时,若 x≤0,f(x)=-x2+2x≤0,

所以|f(x)|≥ax 化简为 x2-2x≥ax, 即 x2≥(a+2)x,所以 a+2≥x 恒成立,所以 a≥-2. 综上-2≤a≤0. 答案 D [反思感悟] (1)问题中参数值影响变形时,往往要分类讨论,需有明确的标准、全
面的考虑;
(2)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是
否符合要求. 【自主体验】 (2014·德州模拟)已知函数 f(x)=???lxg+x3,,x>x≤00,, 则 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值 等于( ). A.-3 B.-1 或 3 C.1 D.-3 或 1 解析 因为 f(1)=lg 1=0,所以由 f(a)+f(1)=0 得 f(a)=0.当 a>0 时,f(a)=lg a
=0,所以 a=1. 当 a≤0 时,f(a)=a+3=0,解得 a=-3.所以实数 a 的值为 a=1 或 a=-3,选 D. 答案 D

对应学生用书 P227

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题

1.下列各组函数表示相同函数的是( ). A.f(x)= x2,g(x)=( x)2 B.f(x)=1,g(x)=x2 C.f(x)=???x-,xx,≥x0<,0, g(t)=|t| D.f(x)=x+1,g(x)=xx2--11 解析 A 选项中的两个函数的定义域分别是 R 和[0,+∞),不相同;

B 选项中的两个函数的对应法则不一致;

D 选项中的两个函数的定义域分别是 R 和{x|x≠1},不相同,尽管它们的对应法

则一致,但也不是相同函数;

C 选项中的两个函数的定义域都是 R,对应法则都是 g(x)=|x|,尽管表示自变量

的字母不同,但它们依然是相同函数.

答案 C

x 2.(2013·临沂一模)函数 f(x)=lnx-x 1+

1
2 的定义域为(

).

A.(0,+∞) B.(1,+∞)

C.(0,1)

D.(0,1)∪(1,+∞)

??x≥0, 解析 要使函数有意义,则有???x-x 1>0,

??x≥0,

即?

解得 x>1.

??x?x-1?>0,

答案 B 3.(2013·昆明调研)设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x)的图象可以是( ).

解析 A 项定义域为[-2,0],D 项值域不是[0,2],C 项对定义域中除 2 以外的任

一 x 都有两个 y 与之对应,都不符合条件,故选 B.

答案 B

?2x,x<1, 4.(2014·江西师大附中、鹰潭一中联考)已知函数 f(x)=??f?x-1?,x≥1, 则

f(log27)=( ). 7 777
A.16 B.8 C.4 D.2

解析

7

7

7

因为 log27>1,log22>1,0<log24<1,所以 f(log27)=f(log27-1)=f(log22)

=f(log272-1)=f(log274)=2log274=74.

答案 C

5.函数 f(x)=2xc+x 3(x≠-32)满足 f(f(x))=x,则常数 c 等于(

).

A.3 B.-3 C.3 或-3 D.5 或-3

解析

? cx ?

c??2x+3??

c2x

f(f(x))=2???2xc+x 3???+3=2cx+6x+9=x,即

x[(2c+6)x+9-c2]=0,

??2c+6=0,

所以?

解得 c=-3.

??9-c2=0,

答案 B 二、填空题 6.(2014·杭州质检)函数 f(x)=lnxx+-12的定义域是________.

x-2 解析 由题意知 >0,即(x-2)(x+1)>0,解得 x>2 或 x<-1.
x+1

答案 {x|x>2,或 x<-1} ?2x+1,x<1,
7.(2014·石家庄模拟)已知函数 f(x)=??x2+ax,x≥1, 若 f(f(0))=4a,则实数 a =________.

解析 f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,解得 a=2.

答案 2 8.已知 f???11-+xx???=11-+xx22,则 f(x)的解析式为________.

1-x

1-t

解析 令 t= ,由此得 x= (t≠-1),

1+x

1+t

所以 f(t)=11-+????????1111-+-+tttt????????22=1+2tt2,
从而 f(x)的解析式为 f(x)=1+2xx2(x≠-1).
答案 f(x)=1+2xx2(x≠-1) 三、解答题 9.设二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x),且 f(x)=0 的两个实根的平方和为 10, f(x)的图象过点(0,3),求 f(x)的解析式. 解 ∵f(2+x)=f(2-x), ∴f(x)的图象关于直线 x=2 对称. 于是,设 f(x)=a(x-2)2+k(a≠0), 则由 f(0)=3,可得 k=3-4a, ∴f(x)=a(x-2)2+3-4a=ax2-4ax+3. ∵ax2-4ax+3=0 的两实根的平方和为 10, ∴10=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-1a6, ∴a=1.∴f(x)=x2-4x+3.

10.某人开汽车沿一条直线以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地.在 B 地停留 1 h 后,再以 50 km/h 的速度返回 A 地,把汽车与 A 地的距离 s(km)表 示为时间 t(h)(从 A 地出发开始)的函数,并画出函数的图象.
??60t,0≤t≤52, ? 解 由题意知:s= 150,52<t≤72,
??150-50???t-72???,72<t≤123.
其图象如图所示.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题

1.设 f(x)=lg22+-xx,则 f???2x???+f???2x???的定义域为(

).

A.(-4,0)∪(0,4)

B.(-4,-1)∪(1,4)

C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4)

解析

2+x

x

2

2

∵2-x>0,∴-2<x<2,∴-2<2<2 且-2<x<2,取 x=1,则x=2 不

合题意(舍去),故排除 A,取 x=2,满足题意,排除 C、D,故选 B.
答案 B 2.已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,且当 x∈(0,+∞)时,有 f(x) =1x,则当 x∈(-∞,-2)时,f(x) 的解析式为( ). A.f(x)=-1x B.f(x)=-x-1 2

C.f(x)=x+1 2 D.f(x)=-x+1 2

解析 当 x∈(-∞,-2)时,则-2-x∈(0,+∞),

∴f(x)=- 1 . x+2

答案 D 二、填空题

?2-x,x∈?-∞,1], 3.(2013·潍坊模拟)设函数 f(x)=??log81x,x∈?1,+∞?,

则满足 f(x)=14的 x 值

为________.

解析 当 x∈(-∞,1]时,2-x=14=2-2,∴x=2(舍去);

81 3 当 x∈(1,+∞)时,log81x=14,即 x=

1
4=

4?

1 4

=3.

答案 3 三、解答题

4.若函数 f(x)=12x2-x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a,b 的值. 解 ∵f(x)=12(x-1)2+a-12, ∴其对称轴为 x=1,即函数 f(x)在[1,b]上单调递增. ∴f(x)min=f(1)=a-12=1,① f(x)max=f(b)=12b2-b+a=b,②

又 b>1,由①②解得???a=32, ??b=3,

∴a,b 的值分别为32,3.

学生用书 第 12 页

第 2 讲 函数的单调性与最值

[最新考纲] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的单调性.

知识梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意

定义

两个自变量 x1,x2

当 x1<x2 时,都有 f(x1)< f(x2),那么就说函数 f(x)在区
间 D 上是增函数

当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是减函数

续表

图象

描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在这一区间具有

(严格的)单调性,区间 D 叫做函数 y=f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提 条件

设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满



(1)对于任意 x∈I,都有

(3)对于任意 x

f(x)≤M;

∈I,都有

(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M.

f(x)≥M;

结论

M 为最大值 辨析感悟

(4)存在 x0∈I, 使得 f(x0)=M. M 为最小值

1.函数单调性定义的理解 (1)对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D 且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数 f(x)在 D 上是增函数.(√) (2)函数 f(x)=2x+1 在(-∞,+∞)上是增函数.(√) (3)(教材改编)函数 f(x)=1x在其定义域上是减函数.(×)

(4)已知 f(x)= x,g(x)=-2x,则 y=f(x)-g(x)在定义域上是增函数.(√) 2.函数的单调区间与最值 (5)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(×) (6)(教材改编)函数 y=1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×) (7)(2013·汕头模拟)函数 y=lg|x|的单调递减区间为(0,+∞).(×) (8)函数 f(x)=log2(3x+1)的最小值为 0.(×) [感悟·提升]

1.一个区别 “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别:前者指

函数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集,如(5).

2.两个防范 一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间,要分别

说明单调区间,不可说成“在其定义域上”单调,如(3);

二是若函数在两个不同的区间上单调性相同,则这两个区间要分开写,不能写成

并集,如(6).

学生用书 第 13 页

考点一 确定函数的单调性或单调区间

【例 1】 (1)判断函数 f(x)=x+kx(k>0)在(0,+∞)上的单调性.
(2)(2013·沙市中学月考)求函数 y=log1(x2-4x+3)的单调区间.
3
解 (1)法一 任意取 x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2)=???x1+xk1???-???x2+xk2???=(x1-x2)+ ???xk1-xk2???=(x1-x2)+k?xx21-x2x1?=(x1-x2)???1-x1kx2???. 当 k≥x1>x2>0 时,x1-x2>0,1-x1kx2<0, 有 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 此时,函数 f(x)=x+xk(k>0)在(0, k]上为减函数; 当 x1>x2≥ k时,x1-x2>0,1-x1kx2>0, 有 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 此时,函数 f(x)=x+xk(k>0)在[ k,+∞)上为增函数; 综上可知,函数 f(x)=x+xk(k>0)在(0, k]上为减函数;在[ k,+∞)上为增函 数. 法二 f′(x)=1-xk2,令 f′(x)>0,则 1-xk2>0, 解得 x> k或 x<- k(舍).令 f′(x)<0,则 1-xk2<0, 解得- k<x< k.∵x>0,∴0<x< k. ∴f(x)在(0, k)上为减函数;在( k,+∞)上为增函数, 也称为 f(x)在(0, k]上为减函数;在[ k,+∞)上为增函数.
(2)令 u=x2-4x+3,原函数可以看作 y=log1u 与 u=x2-4x+3 的复合函数.
3
令 u=x2-4x+3>0.则 x<1 或 x>3.
∴函数 y=log1(x2-4x+3)的定义域为
3
(-∞,1)∪(3,+∞). 又 u=x2-4x+3 的图象的对称轴为 x=2,且开口向上,

∴u=x2-4x+3 在(-∞,1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数.而函数 y=log1
3
u 在(0,+∞)上是减函数, ∴y=log1(x2-4x+3)的单调递减区间为(3,+∞),单调递增区间为(-∞,1).
3
规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数,证明或判断其在某区间上的单调性有
两种方法:①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结
论)求解;②可导函数则可以利用导数解之.
(2)复合函数 y=f[g(x)]的单调性规律是“同则增,异则减”,即 y=f(u)与 u=g(x)
若具有相同的单调性,则 y=f[g(x)]为增函数,若具有不同的单调性,则 y=f[g(x)]
必为减函数.
【训练 1】 试讨论函数 f(x)=x2a-x 1,x∈(-1,1)的单调性(其中 a≠0). 解 法一 (定义法) 任取-1<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)=x21a-x11-x22a-x21 =a??xx221--x11????xx122x-2+1?1?, ∵-1<x1<x2<1, ∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0, x12-1<0,x22-1<0,|x1x2|<1, 即-1<x1x2<1, ∴x1x2+1>0, ∴?x?2x-21-x11????xx122x-2+1?1?>0, 因此,当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2),此时函数在(-1,1)为减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2),此时函数在(-1,1)为增函数.

法二 (导数法) f′(x)=a?x2?-x2-1?-1?22ax2=-?xa2?-x2+1?21? 当 a>0 时,f′(x)<0; 当 a<0 时,f′(x)>0. ∴当 a>0 时,f(x)在(-1,1)上为减函数; 当 a<0 时,f(x)在(-1,1)上为增函数.
考点二 利用单调性求参数 【例 2】 已知函数 f(x)=axx+-11. (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)上单调递减. (2)函数 f(x)在(-∞,-1)上单调递减,求实数 a 的取值范围. (1)证明 任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)=-x21x+1-1 1--x22x+2-1 1 =-?x1+?x11-??xx22+? 1?. ∵(x1+1)(x2+1)>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递减. (2)解 法一 f(x)=axx+-11=a-ax++11,设 x1<x2<-1, 则 f(x1)-f(x2)=???a-xa1++11???-???a-xa2++11??? =xa2++11-xa1++11=??ax1++11????xx12-+x12??, 又函数 f(x)在(-∞,-1)上是减函数, 所以 f(x1)-f(x2)>0. 由于 x1<x2<-1, ∴x1-x2<0,x1+1<0,x2+1<0, ∴a+1<0,即 a<-1. 故 a 的取值范围是(-∞,-1).

法二 由 f(x)=axx+-11,得 f′(x)=?xa++11?2,又因为 f(x)=axx+-11在(-∞,-1)上是 减函数,所以 f′(x)=?xa++11?2≤0 在 x∈(-∞,-1)上恒成立,解得 a≤-1, 而 a=-1 时,f(x)=-1,在(-∞,-1)上不具有单调性,故实数 a 的取值范围 是(-∞,-1). 规律方法 利用单调性求参数的一般方法:一是求出函数的单调区间,然后使所

给区间是这个单调区间的子区间,建立关于参数的不等式组即可求得参数范围;

二是直接利用函数单调性的定义:作差、变形,由 f(x1)-f(x2)的符号确定参数的

范围,另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题.

【训练 2】 (1)函数 y=x-x-a-5 2在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是 ( ). A.{-3} B.(-∞,3) C.(-∞,-3] D.[-3,+∞) (2)(2014·日照模拟)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=x+a 1在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( ). A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1]

x-5

a-3

解析 (1)y=

=1+



x-a-2 x-?a+2?

由函数在(-1,+∞)上单调递增,

??a-3<0,

有?

解得 a≤-3.

??a+2≤-1,

(2)f(x)在[a,+∞)上是减函数,对于 g(x),只有当 a>0 时,它有两个减区间为(-

∞,-1)和(-1,+∞),故只需区间[1,2]是 f(x)和 g(x)的减区间的子集即可,则

a 的取值范围是 0<a≤1.
答案 (1)C (2)D 学生用书 第 14 页
考点三 利用函数的单调性求最值 【例 3】 已知 f(x)=x2+2xx+a,x∈[1,+∞). (1)当 a=12时,求函数 f(x)的最小值; (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 审题路线 (1)当 a=12时,f(x)为具体函数→求出 f(x)的单调性,利用单调性求最

值.

(2)当 x∈[1,+∞)时,f(x)>0 恒成立→转化为 x2+2x+a>0 恒成立.

解 (1)当 a=12时,f(x)=x+21x+2,联想到 g(x)=x+1x的单调性,猜想到求 f(x)

的最值可先证明 f(x)的单调性.任取 1≤x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+???21x1-21x2???=?x1-x22?x?21xx21x2-1?, ∵1≤x1<x2,∴x1x2>1,∴2x1x2-1>0. 又 x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在[1,+∞)上是增函数,

∴f(x)在[1,+∞)上的最小值为 f(1)=72. (2)在区间[1,+∞)上,f(x)=x2+2xx+a>0 恒成立,

?x2+2x+a>0, 则??x≥1

?a>-?x2+2x?, ???x≥1,

等价于 a 大于函数 φ(x)=-(x2+2x)在

[1,+∞)上的最大值.

只需求函数 φ(x)=-(x2+2x)在[1,+∞)上的最大值.

φ(x)=-(x+1)2+1 在[1,+∞)上递减,

∴当 x=1 时,φ(x)最大值为 φ(1)=-3.

∴a>-3,故实数 a 的取值范围是(-3,+∞). 规律方法 求函数最值的常用方法: (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值; (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用 基本不等式求出最值; (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最 值; (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法 求最值. 【训练 3】 对任意两个实数 x1,x2,定义 max(x1,x2)=???xx12,,xx11≥<xx22,, 若 f(x)= x2-2,g(x)=-x,则 max(f(x),g(x))的最小值为________.

解析 f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,当 x2-2-(-x)=x2+x-2≥0 时, x≥1 或 x≤-2;当-2<x<1 时,x2+x-2<0,即 f(x)<g(x),所以 max(f(x),

??-x,-2<x<1,

g(x))=?

作出图象如图所示,由图象可知函数的最小值

??x2-2,x≥1或x≤-2,

在 A 处取得,所以最小值为 f(1)=-1. 答案 -1

1.求函数的单调区间:首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集;其次掌 握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.求函数单调区间的常用方法: 根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质. 2.复合函数的单调性:对于复合函数 y=f[g(x)],若 t=g(x)在区间(a,b)上是单 调函数,且 y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数,若 t=g(x) 与 y=f(t)的单调性相同(同时为增或减),则 y=f[g(x)]为增函数;若 t=g(x)与 y= f(t)的单调性相反,则 y=f[g(x)]为减函数.简称:同增异减. 3.函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数的单调性在确定函数 最值过程中的应用.

易错辨析 1——分段函数单调性的判定

??ax,x>1, 【典例】 (2013·金华模拟)f(x)=??????4-a2???x+2,x≤1, 是 R 上的单调递增函数,

则实数 a 的取值范围是( ).

A.(1,+∞) B.[4,8)

C.(4,8)

D.(1,8)

? a>1,

[错解] 由题意知? a

解得 1<a<8.

?4-2>0,

[答案] D [错因] 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小.

[正解]

a>1,
??? f(x)在 R 上单调递增,则有 4-a2>0, ?????4-a2???+2≤a,

解得:4≤a<8. [答案] B [防范措施] 对于分段函数的单调性,有两种基本的判断方法:一保证各段上同

增(减)时,要注意上、下段间端点值间的大小关系;二是画出这个分段函数的图

象,结合函数图象、性质进行直观的判断.研究函数问题离不开函数图象,函数

图象反映了函数的所有性质,在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象,学

会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法.

【自主体验】

??3a-1?x+4a,x<1,

(2013·日照模拟)已知 f(x)=??logax,x≥1,

是(-∞,+∞)上的减函数,

那么 a 的取值范围是( ).

A.(0,1) B.???0,13??? C.???17,13??? D.???17,1???

解析 当 x=1 时,loga1=0,若 f(x)为 R 上的减函数,则(3a-1)x+4a≥0 在 x

<1 时恒成立.

令 g(x)=(3a-1)x+4a,

??3a-1<0, 则必有?0<a<1,
??g?1?≥0,

??3a-1<0, 即?0<a<1,
??3a-1+4a≥0

?17≤a<13.

答案 C

对应学生用书 P229

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 C.y=???12???x D.y=x+1x

解析 函数 y=ln(x+2)在(-2,+∞)上是增函数;函数 y=- x+1在[-1,+

∞)上是减函数;函数

y=???12???x

在(0,+∞)上是减函数;函数

1 y=x+x在(0,1)上是

减函数,在(1,+∞)上是增函数.综上可得在(0,+∞)上是增函数的是 y=ln(x

+2),故选 A.

答案 A

2.已知函数 f(x)=2ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞,3)上是减函数,则 a 的取值

范围是( ).

A.???0,34???

B.???0,34???

C.???0,34???

D.???0,34???

解析 当 a=0 时,f(x)=-12x+5 在(-∞,3)上是减函数;当 a≠0 时,由

??a>0, ? 4?a-3? ??- 4a ≥3,

得 0<a≤34.

综上,a 的取值范围是 0≤a≤34. 答案 D

3.(2013·泉州月考)已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f??????1x??????<f(1)的实数 x

的取值范围是( ).

A.(-1,1)

B.(0,1)

C.(-1,0)∪(0,1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析 由 f(x)为 R 上的减函数且 f??????1x??????<f(1),

得?????1x???>1, ?x≠0,

??|x|<1, 即?
??x≠0.

∴-1<x<0 或 0<x<1.

答案 C

4.(2014·广州模拟)已知函数 y=f(x)的图象关于 x=1 对称,且在(1,+∞)上单

调递增,设 a=f???-12???,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为(

).

A.c<b<a B.b<a<c

C.b<c<a D.a<b<c

解析 ∵函数图象关于 x=1 对称,∴a=f???-12???=f???52???,又 y=f(x)在(1,+∞)上单

调递增,

∴f(2)<f???52???<f(3),即 b<a<c. 答案 B 5.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2x,x+2,10 -x}(x≥0),则 f(x)的最大值为( ). A.4 B.5 C.6 D.7

解析 由 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)画出图象,最大值在 A 处取到,联立

??y=x+2,

?

得 y=6.

??y=10-x,

答案 C 二、填空题 6.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间为________.

解析

??-x2+3x,x≥0, y=-(x-3)|x|=?
??x2-3x,x<0,

由图可知其递增区间为???0,32???.

答案 ???0,32???

7.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12,则 a=

________.

解析

1 由 a>1 知函数 f(x)在[a,2a]上为单调增函数,则 loga(2a)-logaa=2,解得 a

=4.

答案 4

?-x+a,x<1,

8.设函数 f(x)=??2x,x≥1

的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是

________.

解析 由题意知,当 x=1 时,f(x)min=2,故-1+a≥2,

∴a≥3.
答案 [3,+∞) 三、解答题 9.试讨论函数 f(x)=x-ax1 (a≠0)在(-1,1)上的单调性. 解 设-1<x1<x2<1, f(x)=ax-x-1+1 1=a???1+x-1 1???, f(x1)-f(x2)=a???1+x1-1 1???-a???1+x2-1 1???

=a?x1-x21-??xx21-1?, 由于-1<x1<x2<1,所以 x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 函数 f(x)在(-1,1)上递减; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 函数 f(x)在(-1,1)上递增. 10.已知函数 f(x)=1a-1x(a>0,x>0). (1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)若 f(x)在???12,2???上的值域是???12,2???,求 a 的值. 解 (1)任取 x1>x2>0,则 x1-x2>0,x1x2>0, ∵f(x1)-f(x2)=???1a-x11???-???1a-x12??? =x12-x11 =x1x-1x2x2>0, ∴f(x1)>f(x2), 因此,函数 f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数. (2)∵f(x)在???12,2???上的值域是???12,2???, 又由(1)得 f(x)在???12,2???上是单调增函数, ∴f???12???=12,f(2)=2, 即1a-2=12,1a-12=2. 解得 a=25.
能力提升题组
(建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.已知函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)=f?xx?在 区间(1,+∞)上一定( ). A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 解析 由题意知 a<1,又函数 g(x)=x+ax-2a 在[ |a|,+∞)上为增函数,故选

D. 答案 D 2.(2014·厦门外国语学校质检)已知函数 f(x)=|ex+eax|(a∈R,e 是自然对数的底 数),在区间[0,1]上单调递增,则 a 的取值范围是( ). A.[0,1] B.[-1,0] C.[-1,1] D.(-∞,-e2]∪[e2,+∞) 解析 取 a=1,则 f(x)=ex+e1x,当 x∈[0,1]时,f′(x)=ex-e1x=e2xe-x 1≥0,所以

f(x)在区间[0,1]上单调递增,排除 B,D;取 a=-1,则 f(x)=|ex-e1x|=ex-e1x,

当 x∈[0,1]时,f′(x)=ex+e1x>0,所以 f(x)在区间[0,1]上单调递增,排除 A.故选

C. 答案 C

二、填空题

3.已知函数

f(x)



x2+a x (a



0)在

(2,

+∞)

上递



,则

实数

a

的取值范围是

________.

解析

法一

x21+a x22+a 任取 2<x1<x2,由已知条件 f(x1)-f(x2)= x1 - x2 =(x1-x2)+

a?x2-x1? ?x1-x2??x1x2-a?

x1x2 =

x1x2

<0 恒成立,即当 2<x1<x2 时,x1x2>a 恒成立,又

x1x2>4,则 0<a≤4.

法二 f(x)=x+ax,f′(x)=1-xa2>0 得 f(x)的递增区间是(-∞,- a),( a,+
∞),由已知条件得 a≤2,解得 0<a≤4.
答案 (0,4] 三、解答题 4.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=???f-?xf??,x?x,>x0<,0. 若 f(-1)=0,且 对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立. (1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围. 解 (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,∴b=a+1, ∴f(x)=ax2+(a+1)x+1. ∵对任意实数 x 均有 f(x)≥0 恒成立,
?a>0, ∴??Δ=?a+1?2-4a≤0,
?a>0, ∴???a-1?2≤0. ∴a=1,从而 b=2,∴f(x)=x2+2x+1,
?x2+2x+1,x>0, ∴F(x)=??-x2-2x-1,x<0. (2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, ∴k-2 2≤-2 或k-2 2≥2,解得 k≤-2 或 k≥6. 故 k 的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).
学生用书 第 15 页 第 3 讲 函数的奇偶性与周期性 [最新考纲] 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.

3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

知识梳理

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(- 偶函数
x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数

关于 y 轴对称

如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(- 奇函数
x)=-f(x),那么函数 f(x)是奇函数

关于原点对称

2.奇(偶)函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区

间上的单调性相反(填“相同”、“相反”).

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数.

②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.

③一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数.

(3)若函数 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0.

3.周期性

(1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内

的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个

函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这

个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.

辨析感悟

1.对奇偶函数的认识及应用 (1)函数 y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.(×)

(2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×)

(3)(教材习题改编)如果函数 f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则 F(x)=f(x)+g(x)

是偶函数.(√)

(4)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称.(√)

(5)(2013·山东卷改编)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+1x,则 f(- 1)=-2.(√) (6)(2014·菏泽模拟改编)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(-∞,0) 上是减函数,若 f(a)≥f(2),则实数 a 的取值范围是[-2,2].(×) 2.对函数周期性的理解 (7)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函 数.(√) (8)(2014·枣庄一模改编)若 y=f(x)既是周期函数,又是奇函数,则其导函数 y= f′(x)既是周期函数又是奇函数.(×) [感悟·提升] 1.两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原
点对称,若不对称,则该函数一定是非奇非偶函数,如(1);
二是若函数 f(x)是奇函数,则 f(0)不一定存在;若函数 f(x)的定义域包含 0,则必
有 f(0)=0,如(2). 2.三个结论 一是若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对
称;若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称,如(4);
二是若对任意 x∈D 都有 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是以 2a 为周期的函数;若对任意 x∈D 都有 f(x+a)=±f?1x?(f(x)≠0),则 f(x)也是以 2a 为周期的函数,如(7); 三是若函数 f(x)既是周期函数,又是奇函数,则其导函数 y=f′(x)既是周期函数
又是偶函数,如(8)中因为 y=f(x)是周期函数,设其周期为 T,则有 f(x+T)=f(x), 两边求导,得 f′(x+T)(x+T)′=f′(x),即 f′(x+T)=f′(x),所以导函数是周 期函数,又因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),两边求导,得 f′(-x)(-x)′ =-f′(-x)=-f′(x),即-f′(-x)=-f′(x),所以 f′(-x)=f′(x),所以导
函数是偶函数.

学生用书 第 16 页

考点一 函数奇偶性的判断及应用

【例 1】 (1)判断下列函数的奇偶性:

①f(x)= x2-1+ 1-x2;②f(x)=ln11+-xx.

(2)已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+f(lg 12)=(

).

A.-1 B.0 C.1 D.2

?x2-1≥0, (1)解 ①由??1-x2≥0 得 x=±1.

∴f(x)的定义域为{-1,1}.

又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,

即 f(x)=±f(-x).

∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

②由11-+xx>0,得-1<x<1,即 f(x)=ln11+-xx的定义域为(-1,1),

又 f(-x)=ln11+-xx=ln???11-+xx???-1=-ln11-+xx=-f(x),则 f(x)为奇函数.

(2)解析 设 g(x)=ln( 1+9x2-3x),

则 g(-x)=ln( 1+9x2+3x)=ln

1



1+9x2-3x

-ln( 1+9x2-3x)=-g(x).

∴g(x)为奇函数. ∴f(lg 2)+f???lg12???=f(lg 2)+f(-lg 2) =g(lg 2)+1+g(-lg 2)+1=g(lg 2)-g(lg 2)+2=2. 答案 D

规律方法 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:

(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考

虑定义域;

(2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判

断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))

是否成立.

【训练 1】 (1)(2014·武汉一模)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足

f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0 且 a≠1),若 g(2)=a,则 f(2)=( ).

A.2

15 B. 4

17 C. 4

D.a2

(2)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(-

1)=( ).

A.-3 B.-1 C.1 D.3

解析 (1)∵g(x)为偶函数,f(x)为奇函数,

∴g(2)=g(-2)=a,f(-2)=-f(2), ∴f(2)+g(2)=a2-a-2+2,① f(-2)+g(-2)=-f(2)+g(2)=a-2-a2+2,② 联立①②解得 g(2)=2=a,f(2)=a2-a-2 =22-2-2=145.

(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=20+2×0+b=0,解得 b=-1. 所以当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1, 所以 f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.

答案 (1)B (2)A

考点二 函数的单调性与奇偶性

【例 2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中,在其定义域中,既是奇函数

又是减函数的是( ).

A.f(x)=1x B.f(x)= -x

C.f(x)=2-x-2x D.f(x)=-tan x

(2)(2013·辽宁五校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在区间[0,+∞)上为

增函数,且

f???13???=0,则不等式

f(log1x)>0
8

的解集为(

).

A.???12,2??? B.(2,+∞)

C.???0,12???∪(2,+∞) D.???12,1???∪(2,+∞)

解析 (1)f(x)=1x在定义域上是奇函数,但不单调;

f(x)= -x为非奇非偶函数;f(x)=-tan x 在定义域上是奇函数,但不单调.

(2)由已知 f(x)在 R 上为偶函数,且 f???13???=0,

∴f(log1x)>0
8

等价于

f(|log18x|)>f???13???,又

f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴|log18x|>13,

即 log18x>13或 log81x<-13,解得 0<x<12或 x>2,故选 C.

答案 (1)C (2)C

规律方法 对于求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调

性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,若 f(x)为

偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|).
【训练 2】 (2014·北京 101 中学模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x> 0 时,f(x)=ex+a,若 f(x)在 R 上是单调函数,则实数 a 的最小值是( ). A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析 因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0.又 f(x)=ex+a 在(0,+∞)上是增

函数,所以 f(x)在 R 上是增函数,则 e0+a=1+a≥0,解得 a≥-1,所以 a 的

最小值是-1,故选 B.
答案 B 考点三 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用 【例 3】 (经典题)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间 [0,2]上是增函数,则( ). A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)
令x=x-4 审题路线 f(x-4)=-f(x) ――――→ f(x-8)=f(x)→结合 f(x)奇偶性、周期性把-

25,11,80 化到区间[-2,2]上→利用[-2,2]上的单调性可得出结论.

解析 ∵f(x)满足 f(x-4)=-f(x),

∴f(x-8)=f(x),∴函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数,则 f(-25)=f(-1),f(80)=

f(0),f(11)=f(3).

由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x-4)=-f(x),得 f(11)=f(3)=-f(-1)

=f(1).

∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,

f(x)在 R 上是奇函数,

∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,

∴f(-1)<f(0)<f(1),即 f(-25)<f(80)<f(11).

答案 D

学生用书 第 17 页

规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周

期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. 【训练 3】 (2014·黄冈中学适应性考试)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1) =-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线 x=2 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(4)=f(0). 其中判断正确的序号是________. 解析 f(x+1)=-f(x)?f(x+2)=f(x),故 f(x)是周期函数.又 f(x)=f(-x),所以 f(x+2)=f(-x),故 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.同理,f(x+4)=f(x)=f(-x), 所以 f(x)的图象关于直线 x=2 对称.由 f(x)在[-1,0]上是增函数,得 f(x)在[0,1] 上是减函数,在[1,2]上是增函数.因此可得①②⑤正确. 答案 ①②⑤
1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域关于原点 对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或 f(-x) =f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性, 有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)?f(-x)±f(x)
f?-x? =0? f?x? =±1(f(x)≠0). 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也成立.利 用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.

方法优化 1——根据函数的奇偶性求参数值

【典例】 (2011·辽宁卷)若函数 f(x)=?2x+1x??x-a?为奇函数,则 a=(

).

1 A.2

2 B.3

3 C.4

D.1

[一般解法] 由题意知 f(-x)=-f(x)恒成立,

即2???-x+-12???x?-x-a?=-2???x+12x????x-a?, 即???x-12???(x+a)=???x+12???(x-a)恒成立,所以 a=12. [优美解法] (特值法) 由已知 f(x)为奇函数得 f(-1)=-f(1),

-1

-1







?-2+1??-1-a? ?2+1??1-a?

所以 a+1=3(1-a),解得 a=12. [答案] A [反思感悟] 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是:利用函数的奇偶性的定义

转化为 f(-x)=±f(x),从而建立方程,使问题获得解决,但是在解决选择题、填

空题时还显得较麻烦,为了使解题更快,可采用特值法.

【自主体验】

1.(2014·永康适应性考试)若函数 f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1 为偶函数,则实数

a 的值为( ).

A.1

B.-12

C.1 或-12

D.0

解析 由 2a2-a-1=0,得 a=1 或-12.

答案 C 2.(2014·山东省实验中学诊断)已知定义域为 R 的函数 f(x)=-2x+21x++ab是奇函数,

则 a=________,b=________.

解析

-12+1 -2+1

由 f(0)=0,得 b=1,再由 f(-1)=-f(1),得

=-

,解得 a

1+a

4+a

=2. 答案 2 1

对应学生用书 P231

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2013·广东卷)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中, 奇函数的个数是( ). A.4 B.3 C.2 D.1

解析 由奇函数的概念可知 y=x3,y=2sin x 是奇函数.

答案 C

2.(2013·温州二模)若函数 f(x)=?xs+inax?2是奇函数,则 a 的值为(

).

A.0 B.1 C.2 D.4

sin?-1? -sin 1 解析 由 f(-1)=-f(1),得?-1+a?2=?1+a?2,

∴(-1+a)2=(1+a)2 解得 a=0. 答案 A

3.(2014·哈尔滨三中模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于

直线 x=13对称,则 f???-23???=(

).

A.0 B.1 C.-1 D.2

解析 由 f(x)是奇函数可知,f(0)=0,f???-23???=-f???23???.又 y=f(x)的图象关于 x=13对

称,所以 f(0)=f???23???,因此 f???-23???=0.

答案 A 4.(2014·湛江一测)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意 x∈R,都有 f(x+4) =f(x),若 f(-2)=2,则 f(2 014)等于( ). A.2 012 B.2 C.2 013 D.-2

解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为 4,

∴f(2 014)=f(2),又 f(x)为奇函数,∴f(2)=-f(-2)=-2,即 f(2 014)=-2.
答案 D 5.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[-1,3]上的解集为( ). A.(1,3) B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1) 解析 f(x)的图象如图.

当 x∈(-1,0)时,由 xf(x)>0,得 x∈(-1,0); 当 x∈(0,1)时,由 xf(x)>0,得 x∈?; 当 x∈(1,3)时,由 xf(x)>0,得 x∈(1,3). ∴x∈(-1,0)∪(1,3),故选 C. 答案 C

二、填空题 6.(2014·温岭中学模拟)f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=log2(1-x),则 f(3)= ________. 解析 f(3)=-f(-3)=-log24=-2. 答案 -2 7.(2013·青岛二模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x) 对任意 x∈R 成立,当 x∈(-1,0)时 f(x)=2x,则 f???52???=________. 解析 因为 f(x+2)=f(x),故 f???52???=f???12???=-f???-12???=1. 答案 1 8.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),则 实数 m 的取值范围是________. 解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).
∴不等式 f(1-m)<f(m)?f(|1-m|)<f(|m|).
又当 x∈[0,2]时,f(x)是减函数.

??|1-m|>|m|, ∴?-2≤1-m≤2, ??-2≤m≤2,

解得-1≤m<12.

答案 ???-1,12??? 三、解答题 9.f(x)为 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=-2x2+3x+1,求 f(x)的解析式. 解 当 x<0 时, -x>0,则 f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于 f(x)是奇函数,故 f(x)=-f(-x), 所以当 x<0 时,f(x)=2x2+3x-1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数,故 f(0)=0.

?-2x2+3x+1,x>0, 综上可得 f(x)的解析式为 f(x)=?0,x=0,
?2x2+3x-1,x<0.
10.设 f(x)是定义域为 R 的周期函数,最小正周期为 2,且 f(1+x)=f(1-x),当 -1≤x≤0 时,f(x)=-x. (1)判定 f(x)的奇偶性; (2)试求出函数 f(x)在区间[-1,2]上的表达式. 解 (1)∵f(1+x)=f(1-x), ∴f(-x)=f(2+x). 又 f(x+2)=f(x), ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数. (2)当 x∈[0,1]时,-x∈[-1,0], 则 f(x)=f(-x)=x; 进而当 1≤x≤2 时,-1≤x-2≤0, f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.
?-x,x∈[-1,0?, 故 f(x)=?x,x∈[0,1?,
?-x+2,x∈[1,2].
能力提升题组
(建议用时:25 分钟)

一、选择题

1.(2013·昆明模拟)已知偶函数 f(x)对?x∈R 都有 f(x-2)=-f(x),且当 x∈[-1,0] 时 f(x)=2x,则 f(2 013)=( ).

A.1

B.-1

1 C.2

D.-12

解析 由 f(x-2)=-f(x)得 f(x-4)=f(x),所以函数的周期是 4,故 f(2 013)=

f(4×503+1)=f(1)=f(-1)=2-1=12.

答案 C

2.(2014·郑州模拟)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 1<x1<x2 时,[f(x2)-f(x1)](x2

-x1)>0 恒成立,设 a=f???-12???,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为(

).

A.b<a<c B.c<b<a

C.b<c<a D.a<b<c

解析 ∵f(x+1)是偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),

∴y=f(x)关于 x=1 对称.又 1<x1<x2,

[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, 知 y=f(x)在[1,+∞)是增函数,又 f???-12???=f???52???,且 2<52<3,∴f(2)<f???52???<f(3),

即 b<a<c.故选 A.
答案 A 二、填空题 3.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1), 已知当 x∈[0,1]时,f(x)=???12???1-x,则: ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; ④当 x∈(3,4)时,f(x)=???12???x-3. 其中所有正确命题的序号是________. 解析 由已知条件:f(x+2)=f(x),则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,①正确;

当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1, f(x)=f(-x)=???12???1+x, 函数 y=f(x)的图象如图所示:

当 3<x<4 时,-1<x-4<0,
f(x)=f(x-4)=???12???x-3,因此②④正确,③不正确. 答案 ①②④ 三、解答题 4.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7] 上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 014,2 014]上根的个数,并证明你的结论. 解 (1)若 y=f(x)为偶函数,则 f(-x)=f[2-(x+2)]=f[2+(x+2)]=f(4+x)=f(x), ∴f(7)=f(3)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是 偶函数. 若 y=f(x)为奇函数,则 f(0)=-f(0), ∴f(0)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是奇函数. 综上可知:函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)由???ff??27--xx??==ff??27++xx??, ????ff??xx??==ff??41-4-x?x,? ? f(4-x)=f(14-x)?f(x)=f(x+10), 从而知函数 y=f(x)的周期 T=10. 由 f(3)=f(1)=0,得 f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0. 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2 014]上有 404 个解,在[-2 014,0]上有 402 个解,所以函数 y=f(x)在[-2 014,2 014]上共有 806 个解.
学生用书 第 18 页 第 4 讲 幂函数与二次函数 [最新考纲] 1.了解幂函数的概念.

2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=

的图象,了解它们的变化情况.

3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.

4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知识梳理
1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象

(3)常见的 5 种幂函数的性质

函数

特征

y=x

y=x2

性质

定义域

R

R

y=x3 R

值域

R

奇偶性



单调性



定点 2.二次函数

[0,+∞)

R





(-∞,0]

减,[0,+



∞)增

(0,0),(1,1)

y=x12

y=x-1

[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶

{x|x∈R,且 x≠0}
{y|y∈R,且 y≠0} 奇

(-∞,0)减,(0, 增
+∞)减

(1,1)

(1)二次函数的定义 形如 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.

(2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),(m,n)为顶点坐标;

③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)其中 x1,x2 分别是 f(x)=0 的两实根. (3)二次函数的图象和性质

函数

二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)

a>0

a<0

图象

定义域 值域
对称轴 顶点 坐标 奇偶性 递增 区间 递减 区间
最值

R y∈???4ac4-a b2,+∞???
x=-2ba

R y∈???-∞,4ac4-a b2???

???-2ba,4ac4-a b2???

b=0?y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数

???-2ba,+∞???

???-∞,-2ba???

???-∞,-2ba???

???-2ba,+∞???

当 x=-2ba时,y 有最小值 ymin =4ac4-a b2

当 x=-2ba时,y 有最大 值 ymax=4ac4-a b2

1.对幂函数的认识

辨析感悟

(1)函数 f(x)=x2 与函数 f(x)=2x2 都是幂函数.(×) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0).(×) (3)幂函数的图象不经过第四象限.(√) 2.对二次函数的理解 (4)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.(×) (5)(教材习题改编)函数 f(x)=12x2+4x+6,x∈[0,2]的最大值为 16,最小值为- 2.(×) (6)(2011·陕西卷改编)设 n∈N*,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条 件是 n≤4.(×)
学生用书 第 19 页 [感悟·提升] 三个防范 一是幂函数的图象最多出现在两个象限内,一定会经过第一象限,一
定不经过第四象限,若与坐标轴相交,则交点一定是原点,但并不是都经过(0,0)
点,如(2)、(3).
二是二次函数的最值一定要注意区间的限制,不要盲目配方求得结论,如(5)中
的最小值就忽略了函数的定义域.
三是一元二次方程有实根的充要条件为 Δ≥0,但还要注意 n∈N*,如(6).

考点一 幂函数的图象与性质的应用

【例 1】 (1)(2014·济南模拟)已知幂函数 y=f(x)的图象过点???12, 22???,则 log4f(2)

的值为( ).

1 A.4

B.-14

C.2

D.-2

1
(2)函数 y= x 3 的图象是( ).

1

解析

(1)

设 f(x)=xα,由图象过点???12,

22???,得???12???α=

22=

? ??

1 2

? ??

2

?α=12,log4f(2)



log 4

1
22

=14.

1
(2)显然 f(-x)=-f(x),说明函数是奇函数,同时由当 0<x<1 时, x3 >x;当 x

1
>1 时, x3 <x,知只有 B 选项符合.

答案 (1)A (2)B

规律方法 (1)幂函数解析式一定要设为 y=xα(α 为常数)的形式;(2)可以借助幂函

数的图象理解函数的对称性、单调性;(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值

的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象

和性质是解题的关键.

【训练 1】 比较下列各组数的大小:

1

1

⑴1.12 , 0.92 ,1;

? ? ?
⑵? ? ?

2 2

2
?3 ? ?



? ??

?10 7

?2
?3 ??



?1.1

4
3.

1

1

解⑴ 把 1 看作12 ,幂函数 y= x 2 在(0,+∞)上是增函数.∵0<0.9<1<1.1,

1

1

1

∴ 0.92 <12 <1.12 .

1

1

即 0.92 <1<1.12 .

2

2

? ⑵因为? ?
?

2 ?3 ?

2

? =? ??

2 ?3

2

? ?



?2

2

2

? ??

?10 7

? ??

3



? ?

?

?7 10

?3 ? ?



? ??

7 10

? ?

3



?

? ? ? ? ?1.1

4
3=

1.12

2

3

2
=1.213



x 幂函数 y=

2 3

在(0,+∞)上是增函数,且170<

22<1.21.



? ??

?10 7

? ??

?

2 3



? ? ?

?

2

2 2

?3 ? ?

<(-1.1)43.

考点二 二次函数的图象与性质 【例 2】 (2013·浙江七校模拟)

如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对称轴为 x =-1.给出下面四个结论: ①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b. 其中正确的是( ). A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 解析 因为图象与 x 轴交于两点,所以 b2-4ac>0,即 b2>4ac,①正确;
b 对称轴为 x=-1,即-2a=-1,2a-b=0,②错误;
结合图象,当 x=-1 时,y>0,即 a-b+c>0,③错误;

由对称轴为 x=-1 知,b=2a.又函数图象开口向下,所以 a<0,所以 5a<2a,

即 5a<b,④正确. 答案 B 规律方法 解决二次函数的图象问题有以下两种方法:

(1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点;

(2)讨论函数图象,依据图象特征,得到参数间的关系. 【训练 2】 (2014·广东六校教研协作体联考)已知函数 f(x)=x2-2x,g(x)=ax+ 2(a>0),对任意的 x1∈[-1,2]都存在 x0∈[-1,2],使得 g(x1)=f(x0),则实数 a 的 取值范围是________. 解析 当 x0∈[-1,2]时,由 f(x)=x2-2x 得 f(x0)∈[-1,3],又对任意的 x1∈[-1,2]
都存在 x0∈[-1,2],使得 g(x1)=f(x0),∴当 x1∈[-1,2]时,g(x1)∈[-1,3].当 a>0

??-a+2≥-1, 时,?
??2a+2≤3,

解得 a≤12.综上所述,实数 a 的取值范围是???0,12???.

答案 ???0,12??? 考点三 二次函数的综合运用
【例 3】 若二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

审题路线 f(0)=1 求 c→f(x+1)-f(x)=2x 比较系数求 a,b→构造函数 g(x)=f(x)

-2x-m→求 g(x)min→由 g(x)min>0 可求 m 的范围.

解 (1)由 f(0)=1,得 c=1.∴f(x)=ax2+bx+1.

又 f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,

?2a=2,

?a=1,

即 2ax+a+b=2x,∴??a+b=0, ∴??b=-1.

因此,f(x)=x2-x+1. (2)f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[- 1,1]上恒成立,只需使函数 g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1).
学生用书 第 20 页 规律方法 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在
一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方
法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方
面分析.

【训练 3】 (2014·江西九校联考)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(c>0 且为常数)

的导函数的图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式(用含 c 的式子表示);

(2)令 g(x)=f?xx?,求 y=g(x)在[1,2]上的最大值.

解 (1)∵f′(x)=2ax+b,由图可知,f′(x)=2x+1,

?2a=2, ?a=1, ∴??b=1, 得??b=1,

故所求函数的解析式为 f(x)=x2+x+c. (2)g(x)=f?xx?=x2+xx+c=x+xc+1,

则 g′(x)=1-xc2=x2x-2 c=?x+

c??x- x2

c? .

①若 c<1,即 0<c<1 时,g′(x)>0,

∴g(x)在[1,2]上是增函数,故 g(x)max=g(2)=2c+3. ②若 1≤ c≤2,即 1≤c≤4,当 1≤x< c时,g′(x)<0,当 c<x≤2 时,g′(x) >0, ∵g(1)=c+2,g(2)=2c+3, ∴当 1≤c≤2 时,g(1)≤g(2),g(x)max=g(2)=2c+3; 当 2<c≤4 时,g(1)>g(2),g(x)max=g(1)=c+2. ③若 c>2,即 c>4 时,g′(x)<0, ∴g(x)在[1,2]上是减函数,故 g(x)max=g(1)=c+2. 综上所述,当 0<c≤2 时,g(x)max=2c+3;当 c>2 时, g(x)max=c+2.
1.对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区 域,即 x=1,y=1,y=x 分区域.根据 α<0,0<α<1,α=1,α>1 的取值确定 位置后,其余象限部分由奇偶性决定. 2.二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题,解决的 主要思路是等价转化,多用到数形结合思想与分类讨论思想. 3.对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用.
答题模板 2——二次函数在闭区间上的最值问题
【典例】 (12 分)(经典题)求函数 f(x)=-x(x-a)在 x∈[-1,1]上的最大值. [规范解答] 函数 f(x)=-???x-a2???2+a42的图象的对称轴为 x=a2,应分a2<-1,-

1≤

a 2

≤1



a 2



1





a < - 2 , - 2≤a≤2



a>2

三种情形讨

论.

(2 分)

(1)当 a<-2 时,由图(1)可知 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=-1-a;

(5 分)

(2) 当 - 2≤a≤2

时 , 由 图 (2) 可 知

f(x) 在 [ - 1,1] 上 的 最 大 值 为

f

???a2???



a2 4



(8 分)

(3) 当 a > 2 时 , 由 图 (3) 可 知 f(x) 在 [ - 1,1] 上 的 最 大 值 为 f(1) = a - 1.

(11 分)











f(x)max



-a-1,a<-2,
???a42,-2≤a≤2,

??a-1,a>2.

(12 分) [反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区

间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键是对称轴与区间的关系,当含有

参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.

(2)部分学生易出现两点错误:①找不到分类的标准,无从入手;②书写格式不

规范,漏掉结论 f(x)max=

-a-1,a<-2,
???a42,-2≤a≤2, ??a-1,a>2.

答题模板 第一步:配方,求对称轴. 第二步:分类,将对称轴是否在给定区间上分类讨论. 第三步:求最值. 第四步:下结论. 【自主体验】 已知函数 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有一个最大值-5,求 a 的值. 解 f(x)=-4???x-a2???2-4a,对称轴为 x=a2,顶点为???a2,-4a???. ①当a2≥1,即 a≥2 时,f(x)在区间[0,1]上递增. ∴ymax=f(1)=-4-a2.令-4-a2=-5, ∴a=±1<2(舍去). ②当 0<a2<1,即 0<a<2 时, ymax=f???a2???=-4a,令-4a=-5,∴a=54∈(0,2). ③当a2≤0,即 a≤0 时,f(x)在区间[0,1]上递减, 此时 f(x)max=f(0)=-4a-a2. 令-4a-a2=-5,即 a2+4a-5=0, ∴a=-5 或 a=1(舍去).综上所述,a=54或 a=-5.

对应学生用书 P233

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题

1.幂函数的图象过点???2,14???,则它的单调递增区间是(

).

A.(0,+∞) B.[0,+∞)

C.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 解析 设幂函数 y=xα,则 2α=14,解得 α=-2,所以 y=x-2,故函数 y=x-2 的
单调递增区间是(-∞,0).
答案 C 2.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),那么( ). A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2) 解析 函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x 都有 f(1+x)=f(-x).可知函数 f(x)
1 图象的对称轴为 x=2,又函数图象开口向上,自变量离对称轴越远函数值越大. 答案 D 3.(2014·北京八十中模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( ). A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析 当 x≥0 时,f(x)=x2+2x 为增函数,由于 f(x)是奇函数,故 f(x)在 R 上为

增函数.由 f(2-a2)>f(a)得 2-a2>a,解得-2<a<1.故实数 a 的取值范围是(-

2,1).

答案 C

4.若 a<0,则 0.5a,5a,5-a 的大小关系是( ).

A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-a

C.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a

解析

5-a=???15???a,因为

a<0

时,函数

y=xa

1 单调递减,且5<0.5<5,所以

5a<

0.5a<5-a.

答案 B 5.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( ).

解析 由 A,C,D 知,f(0)=c<0.

∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴 x=-2ba>0,

知 A,C 错误,D 符合要求.

由 B 知 f(0)=c>0,∴ab>0,∴x=-2ba<0,B 错误.

答案 D 二、填空题 6.(2014·上海中学一检)方程 x2-2ax+4=0 的一根大于 1,一根小于 1,则实数 a 的取值范围是________. 解析 设 f(x)=x2-2ax+4,则 f(1)<0,解得 a>52.

答案 ???52,+∞??? 7.(2013·南昌检测)已知函数 y=-x2+4ax 在区间[1,3]上单调递减,则实数 a 的 取值范围是________. 解析 根据题意,得对称轴 x=2a≤1,所以 a≤12.

答案 ???-∞,12???

8.已知函数 f(x)=???2x,x≥2,

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,

???x-1?3,x<2.

则实数 k 的取值范围是________.

解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点.

作出函数 f(x)的图象,如图,由图象可知,当 0<k<1 时,函数 f(x)与 y=k 的图象

有两个不同的交点,所以所求实数 k 的取值范围是(0,1).
答案 (0,1) 三、解答题 9.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且 f(x)>-2x 的解集为{x|1<x<3},方 程 f(x)+6a=0 有两相等实根,求 f(x)的解析式. 解 设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3) (a<0), 则 f(x)=ax2-4ax+3a-2x, f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a, Δ=[-(4a+2)]2-36a2=0,即(5a+1)(a-1)=0, 解得 a=-15或 a=1(舍去). 因此 f(x)的解析式为 f(x)=-15x2-65x-35. 10.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). 解 ∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线 x=1,而 x=1 不一定在区 间[-2,a]内,应进行讨论. 当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,ymin=a2-2a; 当 a≥1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin =-1.
?a2-2a,-2<a<1, 综上,g(a)=??-1,a≥1.
能力提升题组
(建议用时:25 分钟)
一、选择题 1.(2014·江门、佛山模拟)已知幂函数 f(x)=xα,当 x>1 时,恒有 f(x)<x,则 α 的取值范围是( ). A.(0,1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,0) 解析 当 x>1 时,恒有 f(x)<x,即当 x>1 时,函数 f(x)=xα 的图象在 y=x 的图

象的下方,作出幂函数 f(x)=xα 在第一象限的图象,由图象可知 α<1 时满足题
意,故选 B. 答案 B 2.设函数 f(x)=-2x2+4x 在区间[m,n]上的值域是[-6,2],则 m+n 的取值所 组成的集合为( ). A.[0,3] B.[0,4] C.[-1,3] D.[1,4] 解析 由题意得,函数 f(x)=-2x2+4x 图象的对称轴为 x=1,故当 x=1 时,函
数取得最大值 2.
因为函数的值域是[-6,2],
令-2x2+4x=-6,可得 x=-1 或 x=3,
所以-1≤m≤1,1≤n≤3,
所以 0≤m+n≤4. 答案 B 二、填空题
1
3.已知函数 f(x)= x 2 ,给出下列四个命题:
①若 x>1,则 f(x)>1; ②若 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)>x2-x1; ③若 0<x1<x2,则 x2f(x1)<x1f(x2); ④若 0<x1<x2,则f?x1?+2 f?x2?<f???x1+2 x2???. 其中,所有正确命题的序号是________.
1
解析 对于①:∵y= x 2 在(0,+∞)上为增函数,
∴当 x>1 时,f(x)>f(1)=1,①正确;对于②:取 x1=14,x2=4,此时 f(x1)=12, f?x? x
f(x2)=2,但 f(x2)-f(x1)<x2-x1,②错误;对于③:构造函数 g(x)= x = x ,则

x

-x

g′(x)=2

x x2

x =-2x2<0,所以

g(x)在(0,+∞)上为减函数,当

x2>x1>0

时,

x 有f?xx22?<f?xx11?,即 x1f(x2)<x2f(x1),③错误;对于④:画出 f(x)=

1
2 在(0,+∞)

的图象,可知f?x1?+2 f?x2?<f???x1+2 x2???,④正确. 答案 ①④ 三、解答题 4.(2014·辽宁五校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x) =x2+2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图 所示,请根据图象:

(1)写出函数 f(x)(x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数 g(x)的最小值. 解 (1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增. (2)设 x>0,则-x<0,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x2 +2x, ∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),
?x2-2x?x>0?, ∴f(x)=??x2+2x?x≤0?. (3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为 x=a+1, 当 a+1≤1,即 a≤0 时,g(1)=1-2a 为最小值; 当 1<a+1≤2,即 0<a≤1 时,g(a+1)=-a2-2a+1 为最小值;当 a+1>2, 即 a>1 时, g(2)=2-4a 为最小值.

?1-2a?a≤0?, ? 综上,g(x)min= -a2-2a+1?0<a≤1?,
?2-4a?a>1?.
学生用书 第 21 页 第 5 讲 指数与指数函数 [最新考纲] 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底 数为 2,3,10,12,13的指数函数的图象. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.

知识梳理

1.根式 (1)根式的概念

根式的概念

符号表示

备注

如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根

n>1 且 n∈N*

当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负

数的 n 次方根是一个负数

n a

零的 n 次方根是零

当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互

为相反数

±n a

负数没有偶次方 根

(2)两个重要公式



n

??a,n为奇数, an=???|a|=???a-,aa,≥a0<,0,

n 为偶数.

②(n a)n=a. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念

①零指数幂:a0=1(a≠0). ②负整数指数幂:a-p=a1p(a≠0,p∈N*);

a ③正分数指数幂:

m n

=n

am(a>0,m,n∈

N*,且 n>1);

a ④负分数指数幂:

?

m n



1

m

an

= 1 (a>0,m,n∈N*,且 n>1); n am

⑤0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义.

(2)有理数指数幂的性质

①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);

②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

3.指数函数的图象与性质

y=ax

a>1

0<a<1

图象

定义域

R

值域

(0,+∞)

过定点(0,1)

性质

当 x>0 时,y>1;x<0 时,0< 当 x>0 时,0<y<1;x<0 时,y

y<1

>1

在(-∞,+∞)上是增函数

在(-∞,+∞)上是减函数

辨析感悟

1.指数幂的应用辨析

4 (1)(

-2)4=-2.(×)

(2)(教材探究改编)(n an)=a.(×) 2.对指数函数的理解 (3)函数 y=3·2x 是指数函数.(×)

(4)y=???1a???x 是 R 上的减函数.(×) (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图, 无论在 y 轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小.(×) (6)(2013·金华调研改编)已知函数 f(x)=4+ax-1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 P, 则点 P 的坐标是(1,5).(√) [感悟·提升]
1.“n an”与“??n a??n”的区别 当 n 为奇数时,或当 n 为偶数且 a≥0 时,n an
=a,当 n 为偶数,且 a<0 时,n an=-a,而(n a)n=a 恒成立.如(1)中4 -2不

6 成立,(2)中

?-2?2= 3

3 2≠

-2.

2.两点注意 一是指数函数的单调性是底数 a 的大小决定的,因此解题时通常

对底数 a 按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论,如(4);

二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系,在 y 轴右侧,图象

从上到下相应的底数由大变小,在 y 轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变

大.如(5).

学生用书 第 22 页

考点一 指数幂的运算

【例 1】 (1)计算:

?

2

0.5

?

? ? ? ? ? ? ??
??????

33 8

? ??

3

?

? ??

5

4 9

? ??

?

?2

?1

0.008 3 ? 0.02 2 ?

0.32 1 2

? ?

÷0.062

50.25;

?

??

x x xx xx (2)若

1
2+

?

1 2

=3,求

3
2?
2?

?3 2

?

2

的值.

?2 ? 3

?

3

1

2



(1) 原 式 =

?? 8 ?2 ?????? 27 ??



? 49 ?2 ?? 9 ??



? 1000 ?3 ?? 8 ??

÷

50

1

×

42 10

?
? ?

? ÷??

625 10000

? ??

4

=???49-73+25×5

1

2×4102???÷12=???-197+2???×2=29.

x x (2)由

1
2+

?

1 2

=3,得

x+x-1+2=9,∴x+x-1=7,∴x2+x-2+2=49,

x x x x x x ∴x2+x-2=47.∵

3
2?

?3 2



? ?

?

1
2?

?

1 2

? ??

3-3

? ? ?

1
2?

?

1 2

? ??

=27-9=18,∴原式=

1487++23=25.

规律方法 进行指数幂运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,

化小数为分数,同时兼顾运算的顺序.需注意下列问题:

(1)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示;(2)应用平 方差、完全平方公式及 apa-p=1(a≠0)简化运算.

答案 C 考点二 指数函数的图象及其应用
【例 2】 (1)(2014·郑州模拟)已知函数 f(x)=2x-2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是 ( ).

(2)下列各式比较大小正确的是( ). A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62 C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1

向下平移

把x轴下方

解析 (1)y=2x ―――→ y=2x-2 ――――――→ y=|f(x)|.

2个单位

的部分翻折上去

(2)A 中,∵函数 y=1.7x 是增函数,2.5<3,

∴1.72.5<1.73.

B 中,∵y=0.6x 是减函数,-1<2,∴0.6-1>0.62.

C 中,∵(0.8)-1=1.25,

∴问题转化为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大小. ∵y=1.25x 是增函数,0.1<0.2, ∴1.250.1<1.250.2,即 0.8-0.1<1.250.2. D 中,∵1.70.3>1,0.93.1<1,∴1.70.3>0.93.1. 答案 (1)B (2)B 规律方法 (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的 求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形
结合使问题得解.
(2)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合 求解. 【训练 2】 已知实数 a,b 满足等式 2 011a=2 012b,下列五个关系式:①0<b <a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 ( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

解析 设 2 011a=2 012b=t,如图所示,由函数图象,可得

(1)若 t>1,则有 a>b>0;'(2)若 t=1,则有 a=b=0;(3)若 0<t<1,则有 a<b

<0.

故①②⑤可能成立,而③④不可能成立.

答案 B

考点三 指数函数的性质及其应用

【例 3】 已知函数 f(x)=???2x-1 1+12???x3.

(1)求函数 f(x)的定义域;

(2)讨论 f(x)的奇偶性;

(3)求证:f(x)>0.

审题路线



2x-1≠0

可求

f(x)的定义域?分别求

11 g(x)=2x-1+2与

h(x)=x3



奇偶性?可利用 g(-x)±g(x)=0 判断 g(x)的奇偶性?利用“奇×奇=偶,奇×偶

=奇”判断 f(x)的奇偶性?先证 x>0 时,f(x)>0?再证 x<0 时,f(x)>0.
解 (1)由 2x-1≠0 可解得 x≠0,∴定义域为{x|x≠0}. (2)令 g(x)=2x-1 1+12,h(x)=x3. 则 h(x)为奇函数,g(-x)+g(x)=2-x1-1+12+2x-1 1+12=1-2x2x+2x-1 1+1=0. ∴g(x)为奇函数,故 f(x)为偶函数. (3)证明 当 x>0 时,2x-1>0,∴???2x-1 1+12???x3>0, 即 f(x)>0.又∵f(x)是偶函数, ∴当 x<0 时,f(x)=f(-x)>0, ∴f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上恒大于零.∴f(x)>0. 规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.

(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解

方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可.
学生用书 第 23 页 【训练 3】 已知定义域为 R 的函数 f(x)=-2x+21x++ab是奇函数. (1)求 a,b 的值; (2)解关于 t 的不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0. 解 (1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即-21++ab=0,解得 b=1,

所以 f(x)=-2x+21x++a1.又由 f(1)=-f(-1)知-42++a1=--112++a1.解得 a=2.

(2)由(1)知 f(x)=-2x+21x++21=-12+2x+1 1.

由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数 f(x)

在 R 上是减函数). 又因为 f(x)是奇函数,所以不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2 -1)=f(-2t2+1).因为 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+1,即 3t2-2t

-1>0,解不等式可得?????t???t>1或t<-13

??
?.
??

1.判断指数函数图象的底数大小的问题,可以先通过令 x=1 得到底数的值再进 行比较. 2.对和复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成. 3.画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), ???-1,1a???. 4.熟记指数函数 y=10x,y=2x,y=???110???x,y=???12???x 在同一坐标系中图象的相对 位置,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.

易错辨析 2——忽略讨论及验证致误

【典例】 (2012·山东卷)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,

最小值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a=________.

[解析]



a>1,有

a2=4,a-1=m,此时

1 a=2,m=2,此时

g(x)=-

x为减

函数,不合题意.若 0<a<1,有 a-1=4,a2=m,故 a=14,m=116,检验知符

合题意.

[答案]

1 4

[易错警示] (1)误以为 a>1,未进行分类讨论从而求得错误答案.

(2)对条件“g(x)在[0,+∞)上是增函数”不会使用,求得结果后未进行检验得到

两个答案.

[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时,单调性不明确,从而无法确定其最值,

故应分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论.

(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一,熟练掌握基本初等

函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础. 【自主体验】 当 x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且 a≠1),则实数 a 的范围是( ). A.(1, 2) B.??? 22,1??? C.??? 22,1???∪(1, 2) D.(0,1)∪(1, 2) 解析 x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且 a≠1), 若 a>1,y=ax 是一个增函数,则有 a2<2,可得 a< 2,故有 1<a< 2;
若 0<a<1,y=ax 是一个减函数,则有 a-2<2,可得 a> 22,故有 22<a<1.综上知 a ∈??? 22,1???∪(1, 2). 答案 C

对应学生用书 P235

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题

1.函数 y=ax-1a(a>0,a≠1)的图象可能是(

).

解析 当 a>1 时单调递增,且在 y 轴上的截距为 0<1-1a<1 时,故 A,B 不正
确; 当 0<a<1 时单调递减,且在 y 轴上的截距为 1-1a<0,故 C 不正确;D 正确. 答案 D 2.(2014·陕西质检三)函数 y=2x-2-x 是( ). A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 解析 令 f(x)=2x-2-x,则 f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以函数是奇函数,排除 C,
D.又函数 y=2x,y=-2-x 都是 R 上的增函数,由增函数加增函数还是增函数的
结论可知 f(x)=2x-2-x 是 R 上的增函数. 答案 A 3.(2014·济南一模)若 a=30.6,b=log30.2,c=0.63,则( ). A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a 解析 30.6>1,log30.2<0,0<0.63<1,所以 a>c>b,选 A. 答案 A

4.设 2a=5b=m,且1a+1b=2,则 m 等于(

).

A. 10 B.10 C.20 D.100

解析 ∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,

11 1

1

∴a+b=log2m+log5m=logm2+logm5=logm10=2.

∴m= 10.

答案 A 5.函数 y=ax-b(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则 ab 的取值范围 为( ). A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(0,1) D.无法确定 解析 函数经过第二、三、四象限,所以函数单调递减且图象与 y 轴的交点在负

半轴上.而当 x=0 时,y=a0-b=1-b,由题意得???0<a<1,

??0<a<1, 解得?

??1-b<0,

??b>1,

所以 ab∈(0,1).

答案 C

二、填空题

6. a3 (a>0)的值是________.

5 a·

a4

解析

a3
a =

a a 5 a a a·

a4

3
1 4=
25

= 3?1 ? 4 25

17
10 .

17

a 答案

10

7.(2013·盐城模拟)已知函数 f(x)=a-x(a>0,且 a≠1),且 f(-2)>f(-3),则 a

的取值范围是________.

解析 因为 f(x)=a-x=???1a???x,且 f(-2)>f(-3),所以函数 f(x)在定义域上单调递

增,所以1a>1,解得 0<a<1.

答案 (0,1)

8.函数

f(x)



ax(a



0

,a≠1)

在[1,2]

中的



大值











a 2





a

的值为

________.

解析 当 0<a<1 时,a-a2=a2,∴a=12或 a=0(舍去).

当 a>1 时,a2-a=a2,∴a=32或 a=0(舍去).

综上所述,a=12或32.

答案 12或32 三、解答题 9.设 f(x)=ea-x+ea-x是定义在 R 上的函数. (1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,求 a 的值. 解 (1)假设 f(x)是奇函数,由于定义域为 R, ∴f(-x)=-f(x),即eax+eax=-???ea-x+ea-x???, 整理得???a+1a???(ex+e-x)=0, 即 a+1a=0,即 a2+1=0,显然无解. ∴f(x)不可能是奇函数. (2)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), 即eax+eax=ea-x+ea-x,整理得???a-1a???(ex-e-x)=0,

又∵对任意 x∈R 都成立,∴有 a-1a=0,得 a=±1. 10.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值. 解 令 t=ax(a>0 且 a≠1),

则原函数化为 y=(t+1)2-2(t>0). ①当 0<a<1 时,x∈[-1,1],t=ax∈???a,1a???, 此时 f(t)在???a,1a???上为增函数. 所以 f(t)max=f???1a???=???1a+1???2-2=14. 所以???1a+1???2=16,所以 a=-15或 a=13. 又因为 a>0,所以 a=13. ②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=ax∈???1a,a???, 此时 f(t)在???1a,a???上是增函数. 所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 解得 a=3(a=-5 舍去).综上得 a=13或 3.
能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
一、选择题 1.(2014·惠州质检)设 f(x)=|3x-1|,c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中 一定成立的是( ). A.3c>3b B.3b>3a C.3c+3a>2 D.3c+3a<2 解析 作 f(x)=|3x-1|的图象如图所示,由图可知,要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>
f(b)成立,则有 c<0 且 a>0,
∴3c<1<3a,∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,
又 f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,
即 3a+3c<2,故选 D.

答案 D

??1-3a?x+10a,x≤7,

2.(2014·杭州质检)已知函数 f(x)=??ax-7,x>7

是定义域上的递减

函数,则实数 a 的取值范围是( ).

A.???13,12??? B.???13, 161???

C.???12,23??? D.???12,161???

解析

???1-3a?x+10a,x≤7, ∵ 函 数 f(x) = ?
??ax-7,x>7

是定义域上的递减函数,∴

??1-3a<0, ?0<a<1, ???1-3a?×7+10a≥a0,

??1-3a<0, 即?0<a<1,
??7-11a≥1,

解得13<a≤161. 答案 B 二、填空题
?e2x ?x>0?, 3.已知实数 a≠1,函数 f(x)=??ea-x ?x<0?, 若 f(1-a)=f(a-1),则 a 的值为 ________. 解析 由 f(1-a)=f(a-1),1-a 和 a-1 互为相反数,得 e2(1-a)=ea-(a-1)(1-a

>0),解得

1 a=2,或

e2(a-1)=ea-(1-a)(a-1>0),此方程无解,故

1 a=2.

答案

1 2

三、解答题

4.已知函数 f(x)=

.

(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间;

(2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值.

解 (1)当 a=-1 时,f(x)=



令 t=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,

由于 t 在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而 y=???13???t 在 R 上 单调递减,所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函

数 f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).

(2)令 h(x)=ax2-4x+3,则 f(x)=???13???h(x).由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小

??a>0, 值-1,因此必有???-4a+3=-1, 解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值

等于 1.

第 6 讲 对数与对数函数

[最新考纲]

1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数

或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;

2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数的图象通过的特殊点,会画

底数为 2,10,12的对数函数的图象;

3.体会对数函数是一类重要的函数模型; 4.了解指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为 反函数.

知识梳理
1.对数的概念 如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN, 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则

(1)对数的性质 几个恒等式(M,N,a,b 都是正数,且 a,b≠1)



=N;②logaaN=N;③logbN=llooggaaNb ;④



mn logab;⑤logab=log1ba,推广 logab·logbc·logcd=logad. (2)对数的运算法则(a>0,且 a≠1,M>0,N>0)

①loga(M·N)=logaM+logaN;②logaMN =logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R);

④logan M=1nlogaM. 3.对数函数的图象与性质

a>1

0<a<1

图象

性质

(1)定义域:(0,+∞)

(2)值域:R

(3)过点(1,0),即 x=1 时,y=0

(4)当 x>1 时,y>0

(5)当 x>1 时,y<0

当 0<x<1 时,y<0

当 0<x<1 时,y>0

(7)在(0,+∞)上是减函 (6)在(0,+∞)上是增函数


辨析感悟 1.对数运算的辨析 (1)(2013·浙江卷改编)已知 x,y 为正实数,①2lg x+lg y=2lg x+2lg y,②2lg(x+y)=2lg x·2lg y,③2lg x·lg y=2lg x+2lg y,④2lg(xy)=2lg x·2lg y,以上四个式子错误的是①②③.(√)

(2)(2013·中山调研改编)若 log4[log3(log2x)]=0,则 2.对数函数的理解

= 42.(√)

(3)(2013·吉林调研改编)函数 y=log3(2x-4)的定义域为(2,+∞).(√) (4)对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),???1a,-1???, 函数图象只在第一、四象限.(√) (5)(2014·长沙模拟改编)函数 y=logax(a>0,且 a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值 的差是 1,则 a=2.(×) (6)log2x2=2log2x.(×) [感悟·提升]
三个防范 一是在运算性质中,要特别注意条件,底数和真数均大于 0,底数不

等于 1;

二是对公式要熟记,防止混用;

三是对数函数的单调性、最值与底数 a 有关,解题时要按 0<a<1 和 a>1 分类

讨论,否则易出错.

学生用书 第 25 页

考点一 对数的运算

例 1 (1)?1-log63?2lo+g6lo4g62·log618的值是________.

(2)已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=???12???x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1).则 f(2

+log23)=( ).

1

1

1

3

A.24

B.12

C.8

D.8

(1)解析 原式

1-2log63+?log63?2+log663·log6?6×3?



log64

1-2log63+?log63?2+?1-log63??1+log63?



log64

1-2log63+?log63?2+1-?log63?2



log64

=2?12-lolgo6g263?=log6l6o-g6l2og63=lloogg6622=1.

答案 (1)1 (2)A 规律方法 (1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数 指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中 要注意化同底或指数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、 证明常用的技巧. 训练 1 (1)已知 loga2=m,loga3=n,则 a2m+n=________. (2)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=________. 解析 (1)am=2,an=3,
∴a2m+n=(am)2·an=22×3=12.
(2)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52 =(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5 =2(lg 2+lg 5)=2. 答案 (1)12 (2)2

考点二 对数函数的图象及其应用

例 2 (2012·新课标全国卷)当 0<x≤12时,4x<logax,则 a 的取值范围是(

).

A.???0, 22???

B.??? 22,1???

C.(1, 2) D.( 2,2)

审题路线 在同一坐标系下作出两个函数 y=4x 与 y=logax 的图象?画函数 y=

logax 的图象可考虑两种情况:a>1 和 0<a<1?观察图象,当 a>1 时不符合题 意舍去,所以只画出 0<a<1 的情形?观察图象的交点???12,2???满足条件:loga 12>

2 即可.

解析 由题意得,当 0<a<1 时,要使得 4x<logax???0<x≤12???,即当 0<x≤12时, 函数 y=4x 的图象

在函数 y=logax 图象的下方.

又当 x=12时,

=2,即函数 y=4x 的图象过点???12,2???,把点???12,2???代入函数

y=logax,



a=

2 2 ,若函数

y=4x 的图象在函数

y=logax

图象的下方,则需

2 2 <a<1(如

图所示).

当 a>1 时,不符合题意,舍去. 所以实数 a 的取值范围是??? 22,1???. 答案 B 规律方法 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数
形结合法求解. 训练 2 (2014·石家庄二模)设方程 10x=|lg(-x)|的两个根分别为 x1,x2,则( ).

A.x1x2<0 C.x1x2>1

B.x1x2=1 D.0<x1x2<1

解析 构造函数 y=10x 与 y=|lg(-x)|,并作出它们的图象,如图所示.

答案 D

考点三 对数函数的性质及其应用

例 3 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( ).

A.c>b>a

B.b>c>a

C.a>c>b

D.a>b>c

??log2x,x>0,

(2)设函数 f(x)=???log12?-x?,x<0. 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是(

).

A.(-1,0)∪(0,1) +∞)

B.(-∞,-1)∪(1,

C.(-1,0)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪

(0,1)

解析 (1)a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,则只

要比较 log32,log52,log72 的大小即可,在同一坐标系中作出函数 y=log3x,y

=log5x,y=log7x 的图象,由三个图象的相对位置关系,可知 a>b>c.

(2)由题意可得

??a>0,

?a<0,

? ?



? ??log2a>-log2a

log1?-a?>log2?-a?,
2

解得 a>1 或-1<a<0.

答案 (1)D (2)C

规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利

用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数 a 的取值对函数

增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.

e 【训练 3】 (1)(2014·郑州模拟)若 x∈( ?1 ,1),a=ln x,b=???12???ln x,c =eln x,则

a,b,c 的大小关系为( ).

A.c>b>a

B.b>c>a

C.a>b>c

D.b>a>c

(2)函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是

( ).

A.(1,+∞)

B.(0,1)

C.???0,13???

解析 (1)依题意得 a=ln x∈(-1,0),b=???12???ln x∈(1,2),c=x∈(e-1,1),因此 b>c>

a.

(2)由于 a>0,且 a≠1,∴u=ax-3 为增函数,

∴若函数 f(x)为增函数,则 f(x)=logau 必为增函数,因此 a>1,又 u=ax-3 在[1,3]

上恒为正,∴a-3>0,即 a>3. 答案 (1)B (2)D

(1)研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、

伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数 a>1 和 0<a<1 的两种不同情况.有 些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重 要体现. (2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同 底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.
学生用书 第 26 页
教你审题 2——巧用对数函数图象解题

[审题] 一审条件?:转化函数 y=|log2x|为 y=

??log2x,x>1, ?

得到图象,如图.

??-log2x,0<x<1.

二审条件?:见上图. 三审条件?:转化为 a 是 A,C 两点横坐标之差的绝对值,b 是 B,D 两点横坐 标之差的绝对值.A,B 的横坐标即是方程|log2x|=m 的解,C,D 的横坐标即是 方程|log2x|=2m8+1的解,求出 A,B,C,D 点的横坐标.

四审问题?:把ba转化为关于 m 的函数,利用导数或不等式求解即可. 解析 数形结合可知 A,C 点的横坐标在区间(0,1)上,B,D 点的横坐标在区间

b |xB-xD| xB-xD (1,+∞)上,而且 xC-xA 与 xB-xD 同号,所以a=|xC-xA|=xC-xA.根据已知|log2xA|

=m,即-log2xA=m,所以 xA=2-m.同理可得 xC=

,xB=2m,xD=

b

,所以a=



8 .只要求出2m+1+m 的最小值即可.

法一

构造函数

g(m)= 8 +m,则 2m+1

g′(m)=-?2m1+6 1?2+1=?2m?+2m5?+?21m?2-3?,

由于 m>0,显然可得 g(m)在(0,+∞)上有唯一的极小值点,也是最小值点 m=

32,故 g(m)min=g???32???=72,即ba的最小值为

=8 2.

法二 2m8+1+m=m+4 12+m=m+4 12+m+12-12≥4-12=72,当且仅当m+4 12=m+

12,即 m=32时等号成立,故ba的最小值为

=8 2.

答案 B

[反思感悟] (1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变

换的应用;

(2)本题是以函数图象为载体,AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度用坐标表示是解决

问题的切入点,再转化为求函数的最值问题,难度稍大. 【自主体验】 已知函数 f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线 y=a(a<0)与这三个函数的交 点的横坐标分别是 x1,x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是________. 解析 分别作出三个函数的图象,如图所示:
由图可知,x2<x3<x1.

答案 x2<x3<x1

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题

1.如果 log1 x< log1 y<0,那么

2

2

A.y<x<1

C.1<x<y

B.x<y<1 D.1<y<x

( ).

解析 ∵ log1 x< log1 y<log121,又 y= log1 x 是(0,+∞)上的减函数,∴x>

2

2

2

y>1.

答案 D

2.(2014·深圳调研)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log3(1

+x),则 f(-2)=

( ).

A.-1

B.-3

C.1

D.3

解析 f(-2)=-f(2)=-log33=-1.

答案 A 3.(2013·宣城二模)若 a=ln426,b=ln 2×ln 3,c=ln42π,则 a,b,c 的大小关

系是

( ).

A.a>b>c

B.c>a>b

C.c>b>a

D.b>a>c

解析

∵ln

6>ln

π>1,∴a>c,排除

B,C;b=ln

2·ln

3<??ln ?

2+ln 2

3???2=ln426=a,

排除 D.

答案 A

4.若函数 g(x)=log3(ax2+2x-1)有最大值 1,则实数 a 的值等于

1

1

A.2

B.4

C.-14

D.4

( ).

解析 令 h(x)=ax2+2x-1,由于函数 g(x)=log3h(x)是递增函数,所以要使函数

g(x)=log3(ax2+2x-1)有最大值 1,应使 h(x)=ax2+2x-1 有最大值 3,因此有

a<0,
???Δ=4+4a≥0, ??-4a-4
4a =3,

1 解得 a=-4,此即为实数 a 的值.

答案 C

5.已知 f(x)=loga[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数,那么 a 的取值范围是 ( ).

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(0,1)∪(1,3) D.(3,+∞)

解析 记 u=(3-a)x-a,

当 1<a<3 时,y=logau 在(0,+∞)上为增函数,
u=(3-a)x-a 在其定义域内为增函数,
∴此时 f(x)在其定义域内为增函数,符合要求.
当 a>3 时,y=logau 在其定义域内为增函数,
而 u=(3-a)x-a 在其定义域内为减函数,
∴此时 f(x)在其定义域内为减函数,不符合要求.
当 0<a<1 时,同理可知 f(x)在其定义域内是减函数,不符合题目要求.故选 B. 答案 B 二、填空题
6.函数 y= log1 (3x-a)的定义域是???23,+∞???,则 a=______. 2
解析 要使函数有意义,则 3x-a>0,即 x>a3, ∴a3=23,∴a=2. 答案 2
?2a2,x<2, 7.已知 f(x)=??loga?x2-1?,x≥2, 且 f(2)=1,则 f(1)=________. 解析 ∵f(2)=loga(22-1)=loga3=1, ∴a=3,∴f(1)=2×32=18. 答案 18 8.(2014·深圳中学模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x, 则不等式 f(x)<-1 的解集是________. 解析 当 x∈(-∞,0)时,则-x∈(0,+∞),
所以 f(x)=-f(-x)=-log2(-x)

??log2x,x>0, ∴f(x)=?0,0,
??-log2?-x?,x<0,

??x>0,

??x=0, ??x<0,

由 f(x)<-1,得?

或?

或?

??log2x<-1 ??0<-1 ??-log2?-x?<-1,

解得 0<x<12或 x<-2.

答案 ???x|0<x<12,或x<-2??? 三、解答题 9.已知 f(x)=log4(4x-1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)求 f(x)在区间???12,2???上的值域. 解 (1)由 4x-1>0 解得 x>0, 因此 f(x)的定义域为(0,+∞). (2)设 0<x1<x2,则 0<4x1-1<4x2-1, 因此 log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即 f(x1)<f(x2),f(x)在(0,+∞)上递增. (3)f(x)在区间???12,2???上递增,又 f???12???=0,f(2)=log415, 因此 f(x)在???12,2???上的值域为[0,log415]. 10.已知函数 f(x)=log12axx--12(a 为常数). (1)若常数 a<2 且 a≠0,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(2,4)上是减函数,求 a 的取值范围. 解 (1)由题意知axx--12>0,当 0<a<2 时, 解得 x<1 或 x>2a;当 a<0 时,解得2a<x<1.

故当 0<a<2 时,f(x)的定义域为?????x???x<1,或x>2a

???;
??

当 a<0 时,f(x)的定义域为?????x???2a<x<1

??
?.
??

(2)令 u=axx--12,因为 f(x)= log1 u 为减函数,故要使 f(x)在(2,4)上是减函数,只 2
需 u(x)=axx--12=a+ax--12在(2,4)上单调递增且为正.

?a-2<0, 故由??u?2?=22a--12≥0,
得 1≤a<2.故 a∈[1,2).

能力提升题组

(建议用时:25 分钟)

一、选择题

1.(2014·河南洛阳二模)如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交

点,那么称这个点为“好点”.下列四个点 P1(1,1),P2(1,2),P3???12,12???,P4(2,2)

中,“好点”的个数为

( ).

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 设指数函数和对数函数分别为 y=ax(a>0,a≠1),y=logbx(b>0,b≠1).若

为“好点”,

则 P1(1,1)在 y=ax 的图象上,

得 a=1 与 a>0,且 a≠1 矛盾;

P2(1,2)显然不在 y=logbx 的图象上;P3???12,12???在 y=ax,y=logbx 的图象上时,a =14,b=14;

易得 P4(2,2)也为“好点”.

答案 B

2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且 x∈(-1,0)时,

f(x)=2x+15,则 f(log220)=

( ).

A.1

4 B.5

C.-1

D.-45

解析 由 f(x-2)=f(x+2),得 f(x)=f(x+4),因为 4<log220<5,所以 f(log220)

4 =f(log220-4)=-f(4-log220)=-f(log25)=-(

+15)=-1.

答案 C 二、填空题

3.如果函数 y=f(x)图象上任意一点的坐标(x,y)都满足方程 lg(x+y)=lg x+lg y, 那么 y=f(x)在[2,4]上的最小值是________.

解析

??x>0,y>0, 由 lg(x+y)=lg x+lg y,得?

由 x+y=xy 得 y=f(x)= x =

??x+y=xy,

x-1

x-1+1 =1+

1

(x≠1).则函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以 y=f(x)在[2,4]

x-1

x-1

上的最小值是 f(4)=1+4-1 1=43.

答案

4 3

三、解答题

4.已知函数 f(x)=-x+log211+-xx.

(1)求 f???2 0114???+f???-2 0114???的值;

(2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时,函数 f(x)是否存在最小值?若存

在,求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.

解 (1)由 f(x)+f(-x)=log211+-xx+log211+-xx =log21=0. ∴f???2 0114???+f???-2 0114???=0. (2)f(x)的定义域为(-1,1), ∵f(x)=-x+log2(-1+x+2 1), 当 x1<x2 且 x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数, ∴当 a∈(0,1),x∈(-a,a]时 f(x)单调递减, ∴当 x=a 时,f(x)min=-a+log211-+aa.

第 7 讲 函数的图象 [最新考纲] 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的 问题.

1.函数的图象及作法

知识梳理

2.图象变换 (1)平移变换
(2)对称变换 关于x轴对称
①y=f(x) ――→ y=-f(x); 关于y轴对称
②y=f(x) ――→ y=f(-x);

关于原点对称 ③y=f(x) ――→ y=-f(-x);

关于y=x对称 ④y=ax(a>0 且 a≠1) ――→ y=logax(a>0 且 a≠1).
(3)翻折变换

保留x轴上方图象
①y=f(x) ―――――――→ y=|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去

保留y轴右边图象,并作其
②y=f(x) ――――――――→ y=f(|x|). 关于y轴对称的图象

(4)伸缩变换

纵坐标伸长?a>1?或缩短?0<a<1?为原来

①y=f(x)

――→

y=

的a倍,横坐标不变

af(x)(a>0)

横坐标伸长?0<a<1?或缩短?a>1?为原来

②y=f(x)

的1a倍,―纵―坐→标不变

y=f(ax)(a>0)

辨析感悟

1.图象变换问题

(1)为了得到函数 y=lgx+103的图象,只需把函数 y=lg x 的图象上所有的点向左平

移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度.(√)

(2)若函数 y=f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),则函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.(×)

(3)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同.(×) (4)函数 y=2|x-1|的图象关于直线 x=1 对称.(√)

(5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象.(×)

2.图象应用问题

(6)(2013·汉中模拟改编)方程|x|=cos x 在(-∞,+∞)内有且仅有两个根.

(7)(2013·洛阳调研改编)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点

P???a,bc???所在的象限为第二象限.

(√)

[感悟·提升] 三个防范 一是函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”,但要注意 加、减指的是自变量,如(5); 二是注意含绝对值符号的函数的对称性,如 y=f(|x|)与 y=|f(x)|的图象是不同的, 如(3); 三是混淆条件“f(x+1)=f(x-1)”与“f(x+1)=f(1-x)”的区别,前者告诉周期 为 2,后者告诉图象关于直线 x=1 对称,如(2).
学生用书 第 28 页

考点一 函数图象的辨识 【例 1】 (2013·山东卷)函数 y=xcos x+sin x 的图象大致为( ).
解析 函数 y=xcos x+sin x 在 x=π 时为负,排除 A;易知函数为奇函数,图象 关于原点对称, 排除 B;再比较 C,D,不难发现当 x 取接近于 0 的正数时 y>0, 排除 C. 答案 D 规律方法 函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的 左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图 象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点, 排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. 【训练 1】 (1)(2014·潍坊模拟)函数 y=xsin x 在[-π,π]上的图象是( ).
(2)函数 y=x+cos x 的大致图象是( ).
解析 (1)容易判断函数 y=xsin x 为偶函数,可排除 D.当 0<x<2π时,y=xsin x >0,当 x=π 时,y=0,可排除 B,C,故选 A. (2)∵y′=1-sin x≥0,∴函数 y=x+cos x 为增函数,排除 C.又当 x=0 时,y=1,

排除 A,当 x=π2时,y=2π,排除 D,故选 B.

答案 (1)A (2)B

考点二 函数图象的变换

??3x?x≤1?,

【例 2】函数 f(x)=???log13x?x>1?, 则 y=f(1-x)的图象是(

).

解析 画出 y=f(x)的图象,再作其关于 y 轴对称的图象,得到 y=f(-x)的图象, 再将所得图象向右平移 1 个单位,得到 y=f[-(x-1)]=f(-x+1)的图象. 答案 C 规律方法 作图象平移时,要注意不要弄错平移的方向,必要时,取特殊点进行 验证;平移变换只改变图象的位置,不改变图象的形状. 【训练 2】 (2013·江南十校联考)函数 y=log2(|x|+1)的图象大致是( ).
解析 当 x>0 时,y=log2(x+1),先画出 y=log2x 的图象,再将图象向左平移 1 个单位,最后作出关于 y 轴对称的图象,得与之相符的图象为 B. 答案 B
考点三 函数图象的应用 【例 3】 (1)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数 y =f(x)的图象与函数 y=|lg x|的图象的交点共有( ). A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 (2)直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是________. 审题路线 (1)画出 x∈[-1,1]时,f(x)=x2 的图象?根据周期为 2 画出 x∈(1,+∞)

注意x=10时的情形

时的函数图象?画出函数 y=|lg x|的图象

――→

观察图象,得出交点

个数.

解析 (1)根据 f(x)的性质及 f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下

可验证当 x=10 时,y=|lg 10|=1;x>10 时,|lg x|>1.

因此结合图象及数据特点知 y=f(x)与 y=|lg x|的图象交点共有 10 个.

??x2-x+a,x≥0,

(2)y=?

作出图象,如图所示.

??x2+x+a,x<0,

此曲线与 y 轴交于(0,a)点,最小值为 a-14,要使 y=1 与其有四个交点,只需 a -14<1<a, ∴1<a<54. 答案 (1)A (2)???1,54??? 规律方法 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否
有解,有多少个解.数形结合是常用的思想方法.
(2)利用图象,可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质. 学生用书 第 29 页
【训练 3】已知函数 f(x)=|x2-4x+3|.

(1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}.
解 f(x)= ??x-2?2-1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, ??-?x-2?2+1,x∈?1,3?, 作出函数图象如图. (1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞);函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出 y=f(x)和 y=m 的图象,使两函数图象有四个不同的交点 (如图).由图知 0<m<1, ∴M={m|0<m<1}.
1.掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技 巧,来帮助我们简化作图过程. 2.识图的要点:重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊 点(与 x、y 轴的交点,最高、最低点等). 3.识图的方法 (1)定性分析法:对函数进行定性分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利 用这一特征分析解决; (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决; (3)排除法:利用本身的性能或特殊点进行排除验证. 4.研究函数性质时一般要借助于函数图象,体现了数形结合思想;
5.方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解

决.
思想方法 2——利用数形结合思想求参数的范围 【典例】已知不等式 x2-loga x<0,当 x∈???0,12???时恒成立,求实数 a 的取值范 围. 解 由 x2-loga x<0, 得 x2<logax. 设 f(x)=x2,g(x)=logax. 由题意知,当 x∈???0,12???时,函数 f(x)的图象在函数 g(x)的图象的下方,
?0<a<1, 如图,可知??f???12???≤g???12???,
?0<a<1, 即?????12???2≤loga 12,
解得116≤a<1. ∴实数 a 的取值范围是???116,1???. [反思感悟] (1)“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法,解 决此类问题的关键在于准确作出不含参数的函数的图象,并标清一些关键点,对 于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意的图形.

(2)当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为 两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解. 【自主体验】 (2014·黄冈调研)设函数 f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的 x∈R,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,则实数 a 的取值范围是________ . 解析 如图,要使 f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1, ∴a≥-1.
答案 [-1,+∞)

对应学生用书 P239

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2013·青岛一模)函数 y=21-x 的大致图象为( ).

解析 y=21-x=???12???x-1,因为 0<12<1,所以 y=???12???x-1 为减函数,取 x=0 时, 则 y=2,故选 A. 答案 A 2.(2013·福建卷)函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是( ).
解析 函数 f(x)=ln(x2+1)的定义域为(-∞,+∞),又因为 f(-x)=f(x),故 f(x) 为偶函数且 f(0)=ln 1=0,综上选 A. 答案 A 3.(2014·日照一模)函数 f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( ).
解析 易知 f(x)为偶函数,故只考虑 x>0 时 f(x)=lg(x-1)的图象,将函数 y=lg x 图象向 x 轴正方向平移一个单位得到 f(x)=lg(x-1)的图象,再根据偶函数性质得

到 f(x)的图象. 答案 B 4.(2013·东营模拟)已知函数 y=f(x)的大致图象如图所示, 则函数 y=f(x)的解析式可以为( ). A.f(x)=exln x B.f(x)=e-xln(|x|) C.f(x)=exln(|x|) D.f(x)=e|x|ln(|x|) 解析 如题图,函数的定义域是{x|x≠0},排除选项 A,当 x→-∞时,f(x)→0, 排除选项 B,D,因此选 C. 答案 C 5.已知函数 f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a>0,且 a≠1),f(2 011)·g(-2 012)<0,则 y =f(x),y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是( ).
解析 由 f(2 011)·g(-2 012)<0,知 0<a<1,根据函数 g(x)=loga|x|(0<a<1)的图象 和函数 f(x)=ax-2(0<a<1)的图象,知选项 B 正确. 答案 B 二、填空题 6.函数 y=(x-1)3+1 的图象的对称中心是________. 解析 y=x3 的图象的对称中心是(0,0),将 y=x3 的图象向上平移 1 个单位,再向 右平移 1 个单位,即得 y=(x-1)3+1 的图象,所以对称中心为(1,1). 答案 (1,1) 7.若方程|ax|=x+a(a>0)有两个解,则 a 的取值范围是________. 解析 画出 y=|ax|与 y=x+a 的图象,如图.只需 a>1.

答案 (1,+∞) 8.(2013·长沙模拟)已知函数 f(x)=???l2oxg2x??xx≤>00??,, 且关于 x 的方程 f(x)-a=0 有 两个实根,则实数 a 的范围是________.
解析 当 x≤0 时,0<2x≤1,所以由图象可知要使方程 f(x)-a=0 有两个实根, 即 f(x)=a 有两个交点,所以由图象可知 0<a≤1. 答案 (0,1] 三、解答题 9.已知函数 f(x)=1+x x. (1)画出 f(x)的草图;(2)指出 f(x)的单调区间.
解 (1)f(x)=1+x x=1-x+1 1,函数 f(x)的图象是由反比例函数 y=-1x的图象向左 平移 1 个单位后,再向上平移 1 个单位得到,图象如图所示. (2)由图象可以看出,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(-1,+∞). 10.设函数 f(x)=x+1x的图象为 C1,C1 关于点 A(2,1)对称的图象为 C2,C2 对应 的函数为 g(x). (1)求 g(x)的解析式; (2)若直线 y=m 与 C2 只有一个交点,求 m 的值和交点坐标. 解 (1)设点 P(x,y)是 C2 上的任意一点,则 P(x,y)关于点 A(2,1)对称的点为 P′(4 -x,2-y),代入 f(x)=x+1x,可得 2-y=4-x+4-1 x,即 y=x-2+x-1 4, ∴g(x)=x-2+x-1 4.

?? y=m, (2)由???y=x-2+x-1 4,

消去 y 得 x2-(m+6)x+4m+9=0,Δ=[-(m+6)]2-

4(4m+9),

∵直线 y=m 与 C2 只有一个交点, ∴Δ=0,解得 m=0 或 m=4.

当 m=0 时,经检验合理,交点为(3,0);

当 m=4 时,经检验合理,交点为(5,4).

能力提升题组

(建议用时:25 分钟)

一、选择题

1.(2014·济南 4 月模拟)函数 y=x2+lnx|x|的图象大致为(

).

解析 因为 f???1e???f(1)<0,故由零点存在定理可得函数在区间???1e,1???上存在零点,

故排除

A,D

选项,又当

ln?-x? x<0,f(x)=x2+ x ,而

f???-1e???=e12+e>0,排除

B,

故选 C.

答案 C

2.函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等

式cfo?xs?x<0 的解集为(

).

A.???x|-π2<x<-1???

B.???x|1<x<2π??? C.???x|-2π<x<-1,或1<x<2π??? D.{x|-1<x<1} 解析 当 x∈(0,1)时,cos x>0,f(x)>0;

当 x∈???1,2π???时,cos x>0,f(x)<0; 当 x∈???2π,4???时,cos x<0,f(x)<0,

当 x∈(-1,0)时,cos x>0,f(x)>0;

当 x∈???-2π,-1???时,cos x>0,f(x)<0; 当 x∈???-4,-2π???时,cos x<0,f(x)<0. 故不等式cfo?xs?x<0 的解集为

?????x???-π2<x<-1,或1<x<π2

??
?.
??

答案 C

二、填空题

3.(2013·广州模拟)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,且

在[-1,3]内,关于 x 的方程 f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则 k 的取值

范围是________.

解析 由题意作出 f(x)在[-1,3]上的示意图如图, 记 y=k(x+1)+1, ∴函数 y=k(x+1)+1 的图象过定点 A(-1,1). 记 B(2,0),由图象知,方程有四个根,

即函数 y=f(x)与 y=kx+k+1 的图象有四个交点,

0-1

11

故 kAB<k<0,kAB=2-?-1?=-3,∴-3<k<0.

答案 ???-13,0??? 三、解答题 4.已知函数 f(x)=|x2-4x+3|.若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的实 数根,求实数 a 的取值范围.
??x-2?2-1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞? 解 f(x)=??-?x-2?2+1,x∈?1,3? 作出图象如图所示.

原方程变形为

|x2-4x+3|=x+a.

于是,设 y=x+a,在同一坐标系下再作出 y=x+a 的图象.如图.则当直线 y =x+a 过点(1,0)时 a=-1;当直线 y=x+a 与抛物线 y=-x2+4x-3 相切时,

?y=x+a, 由??y=-x2+4x-3

?x2-3x+a+3=0.

由 Δ=9-4(3+a)=0,得 a=-34.

由图象知当 a∈???-1,-34???时方程至少有三个不等实根.

学生用书 第 30 页

第 8 讲 函数与方程

[最新考纲]

1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程

根的存在性及根的个数.

2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.

知识梳理 1.函数的零点 (1)函数的零点的概念 对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. (2)函数的零点与方程的根的关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数 y=f(x)满足:①在闭区间[a,b]上连续;②f(a)·f(b)<0;则函数 y=f(x) 在(a,b)上存在零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)= 0 的根. 2.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近 似值的方法叫做二分法.
辨析感悟 函数零点概念的理解及应用 (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.(×) (2)对于定义域内的两个变量 x1,x2,若 f(x1)f(x2)<0,则函数 f(x)有零点.(×) (3)若 f(x)在区间[a,b]上连续不断,且 f(a)f(b)>0,则 f(x)在(a,b)内没有零点.(×) (4)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且 f(a)f(b)<0, 则函数 y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点.(√) (5)(2013·天津卷改编)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为 2.(√) (6)(2013·广州模拟改编)已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值范围是(-2,0).(√) [感悟·提升]
1.一点提醒 函数的零点不是点,是方程 f(x)=0 的根,如(1).

2.三个防范 一是严格把握零点存在性定理的条件,如(2)中没有强调连续曲线; 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零 点的充分条件,而不是必要条件,如(3);
三是函数 f(x)在[a,b]上单调且 f(a)f(b)<0,则 f(x)在[a,b]上只有一个零点.

考点一 函数零点的求解与判断

【例 1】 (1)设 x0 是方程 ln x+x=4 的解,则 x0 属于( A.(0,1)

). B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

?ln x-x2+2x,x>0,

(2)(2014·郑州一模)函数 f(x)=??4x+1,x≤0

的零点个数是________.

解析 (1)令 f(x)=ln x+x-4,

则 f(1)=-3<0,f(2)=ln 2-2<0,

f(3)=ln 3-1>0,

∴x0∈(2,3).

(2)当 x>0 时,令 g(x)=ln x,h(x)=x2-2x. 画出 g(x)与 h(x)的图象如图: 故当 x>0 时,f(x)有 2 个零点. 当 x≤0 时,由 4x+1=0,得 x=-14, 综上函数 f(x)的零点个数为 3. 答案 (1)C (2)3

规律方法 (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且
f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有
多少个零点.
(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看
其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 【训练 1】 (1)函数 f(x)=2x+x3-2 在(0,1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(2013·重庆卷)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)·(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x -a)的两个零点分别位于区间( ). A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 解析 (1)因为 f′(x)=2xln 2+3x2>0,所以函数 f(x)=2x+x3-2 在(0,1)上递增,
且 f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有 1 个零点.
(2)由于 a<b<c,所以 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c
-b)>0.因此有 f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,又因 f(x)是关于 x 的二次函数,函数的图
象是连续不断的曲线,因此函数 f(x)的两零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故
选 A. 答案 (1)B (2)A
考点二 根据函数零点的存在情况,求参数的值 【例 2】 已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ex2(x>0). (1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 解 (1)法一 ∵x>0 时,g(x)=x+ex2≥2 x·ex2=2e,

等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e,则 y=g(x)-m 就有零点. ∴m 的取值范围是[2e,+∞).
法二 作出 g(x)=x+ex2(x>0)的大致图象如图: 可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e. ∴m 的取值范围是[2e,+∞). (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根,即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点, 作出 g(x)=x+ex2(x>0)的大致图象.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1 +e2,∴其图象的对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 m-1+e2.故当 m-1+ e2>2e,即 m>-e2+2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点,即 g(x)-f(x)=0 有两个相 异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过

解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个

函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体

现了数形结合思想的应用.

??|2x-1|,x<2, 【训练 2】 (2014·鞍山模拟)已知函数 f(x)=???x-3 1,x≥2,

若方程 f(x)-a=0

有三个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是( ).

A.(1,3) C.(0,2) 解析 画出函数 f(x)的图象如图所示,

B.(0,3) D.(0,1)

观察图象可知,若方程 f(x)-a=0 有三个不同的实数根,则函数 y=f(x)的图象与
直线 y=a 有 3 个不同的交点,此时需满足 0<a<1,故选 D. 答案 D
考点三 与二次函数有关的零点分布 【例 3】 是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3] 上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说 明理由. 审题路线 由 f(x)在[-1,3]上只有一个零点?f(x)=0 在[-1,3]上有且只有一个实
数根?计算知 Δ>0 恒成立?令 f(-1)·f(3)≤0?求出 a 的范围?对端点值检验?
得出结论.
解 令 f(x)=0,则 Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9a2-16a+8=9???a-89???2+89>0,即 f(x) =0 有两个不相等的实数根, ∴若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)·f(3)≤0 即可. f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,∴a≤-15 或 a≥1. 检验:(1)当 f(-1)=0 时,a=1,所以 f(x)=x2+x. 令 f(x)=0,即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故 a≠1. (2)当 f(3)=0 时,a=-15, 此时 f(x)=x2-153x-65.

令 f(x)=0,即 x2-153x-65=0, 解得 x=-25或 x=3. 方程在[-1,3]上有两个实数根, 不合题意,故 a≠-15. 综上所述,a 的取值范围是???-∞,-15???∪(1,+∞). 规律方法 解决二次函数的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)
可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列
不等式组. 【训练 3】 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范 围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 解

(1)由条件,抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)

?? 内,如图(1)所示,得

f?0?=2m+1<0, f?-1?=2>0, f?1?=4m+2<0,

?

?f?2?=6m+5>0

?m<-12, ?m∈R, ?m<-12, ??m>-56.

即-56<m<-12.

故 m 的取值范围是???-56,-12???.

(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内,如图(2)所示,列不等式组

f?0?=2m+1>0,
?f?1?=4m+2>0, ?Δ=4m2-4?2m+1?≥0,

?

?0<-m<1

?m>-12, ??m>-12,
m≥1+ 2或m≤1- 2,
??-1<m<0.
即-12<m≤1- 2. 故 m 的取值范围是???-12,1- 2???.

1.函数零点的判定常用的方法有: (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0. 2.研究方程 f(x)=g(x)的解,实质就是研究 G(x)=f(x)-g(x)的零点.

3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知 方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
学生用书 第 32 页
创新突破 2——函数的零点与函数极值点的交汇 【典例】(2013·安徽卷)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2.若 f(x1) =x1<x2,则关于 x 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根个数为( ). A.3 B.4 C.5 D.6 突破:条件“函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2”等价于“方程 f′(x) =3x2+2ax+b=0 有两个不等实数根 x1,x2”;条件:“若 f(x1)=x1<x2,则关 于 x 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的根”等价于“方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 有 两个不等实根,f(x)=x1,f(x)=x2”. 解析 f′(x)=3x2+2ax+b,原题等价于方程 3x2+2ax+b=0 有两个不等实数根 x1,x2,且 x1<x2,x∈(-∞,x1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(x1,x2)时,f′(x) <0,f(x)单调递减;x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.∴x1 为极大值点, x2 为极小值点.∴方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 有两个不等实根,f(x)=x1,f(x)=x2. ∵f(x1)=x1,∴由图知 f(x)=x1 有两个不同的解,f(x)=x2 仅有一个解.
答案 A [反思感悟] (1)强化函数零点的求法,函数与方程的转化技巧,本题的突破点是方 程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根个数转化为 f(x)=x1 与 f(x)=x2 的根的个数之 和.

(2)本题把函数的零点与函数的极值点交汇在一起考查,体现了新课标高考的指
导思想. 【自主体验】 (2014·广州测试)已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=ex+x-2 的零点为 a,函 数 g(x)=ln x+x-2 的零点为 b,则下列不等式中成立的是( ). A.f(a)<f(1)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(1) C.f(1)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(1)<f(a) 解析 由题意,知 f′(x)=ex+1>0 恒成立,所以函数 f(x)在 R 上是单调递增的, 而 f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数 f(x)的零点 a∈
(0,1); 由题意,知 g′(x)=1x+1>0,所以函数 g(x)在(0,+∞)上是单调递增的,又 g(1) =ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以函数 g(x)的零点 b∈(1,2).
综上,可得 0<a<1<b<2.
因为 f(x)在 R 上是单调递增的,所以 f(a)<f(1)<f(b).故选 A. 答案 A

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题

1.(2013·西安高新一中测试)方程 2-x+x2=3 的实数解的个数为

A.2

B.3

C.1

D.4

( ).

解析 构造函数 y=2-x 与 y=3-x2,在同一坐标系中作出它们的图象如图,由

图可知有两个交点.

答案 A

2.(2014·福州质检)若方程 ln x+x-5=0 在区间(a,b)(a,b∈Z,且 b-a=1)上

有一实根,则 a 的值为

( ).

A.5

B.4

C.3

D.2

解析 设函数 f(x)=ln x+x-5(x>0),则 f′(x)=1x+1>0,所以函数 f(x)在(0,

+∞)上单调递增,因为 f(3)·f(4)=(ln 3+3-5)(ln 4+4-5)=(ln 3-2)(ln 4-1)<

0,故函数 f(x)在区间(3,4)上有一零点,即方程 ln x+x-5=0 在区间(3,4)上有一

实根,所以 a=3. 答案 C 3.若函数 f(x)=ax2-x-1 有且仅有一个零点,则实数 a 的取值为 ( ).

A.0 C.0 或-14

B.-14 D.2

解析 当 a=0 时,函数 f(x)=-x-1 为一次函数,则-1 是函数的零点,即函数

仅有一个零点;

当 a≠0 时,函数 f(x)=ax2-x-1 为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次

方程 ax2-x-1=0 有两个相等实根.

∴Δ=1+4a=0,解得 a=-14.

综上,当 a=0 或 a=-14时,函数仅有一个零点.

答案 C

4.(2013·朝阳区期末)函数 f(x)=2x-2x-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的

取值范围是

( ).

A.(1,3)

B.(1,2)

C.(0,3)

D.(0,2)

解析 因为函数 f(x)=2x-2x-a 在区间(1,2)上单调递增,又函数 f(x)=2x-2x-a

??f?1?<0,

的一个零点在区间(1,2)内,则有?

,所以 0<a<3.

??f?2?>0,

答案 C

5.已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- x-1 的零点分别为 x1,x2,

x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是

( ).

A.x2<x1<x3

B.x1<x2<x3

C.x1<x3<x2

D.x3<x2<x1

解析 依据零点的意义,转化为函数 y=x 分别和 y=-2x,y=-ln x,y= x+1

的交点的横坐标大小问题,作出草图,易得 x1<0<x2<1<x3.

答案 B 二、填空题 6.若函数 f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是 ________. 解析 由已知条件 2a+b=0,即 b=-2a, g(x)=-2ax2-ax=-2ax???x+12???, 则 g(x)的零点是 x=0,x=-12. 答案 0,-12 7.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________. 解析 求函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,
如 f(2)=-1+ln 2,由于 ln 2<ln e=1,所以 f(2)<0,f(3)=2+ln 3,由于 ln 3
>1,所以 f(3)>0,所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n=2. 答案 2
?2x-1,x>0, 8.已知函数 f(x)=??-x2-2x,x≤0, 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实 数 m 的取值范围是________.

解析 画出 f(x)=

??2x-1,x>0,

?

的图象,如图.

??-x2-2x,x≤0

由函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,结合图象得:0<m<1,即 m∈(0,1).

答案 (0,1) 三、解答题 9.已知二次函数 f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a,若 y=f(x)在区间(-1,0)及???0,12???内 各有一个零点,求实数 a 的范围. 解 依题意:要使 y=f(x)在区间(-1,0)及???0,12???内各有一个零点,
只需???ff??-0?<1?>0,0, ??f???12???>0,

即???31--42aa><00,, ??34-a>0,

解得12<a<34.

故实数 a 的取值范围是???12,34???. 10.已知函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),且满足 f(1)=0. (1)若函数 f(x)有两个不同的零点,求 b 的取值范围; (2)若对 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程 f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不相 等的实根,证明必有一实根属于(x1,x2). (1)解 由题意知 b+c+1=0,即 c=-(1+b), ∴f(x)=x2+bx-(1+b), 若 f(x)有两个零点,则 f(x)=0 有两个不相等的实根, ∴b2+4(1+b)=(b+2)2>0,∴b≠-2. 即 b 的取值范围是{b|b∈R 且 b≠-2}. (2)证明 设 g(x)=f(x)-12[f(x1)+f(x2)] 则 g(x1)=12[f(x1)-f(x2)], g(x2)=-12[f(x1)-f(x2)],

∴g(x1)·g(x2)=-14[f(x1)-f(x2)]2, ∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)·g(x2)<0, ∴g(x)=0 必有一根属于(x1,x2), 即方程 f(x)=12[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于(x1,x2).
能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
一、选择题

1.(2014·烟台模拟)如图是函数 f(x)=x2+ax+b 的图象,则函数 g(x)=ln x+f′(x)

的零点所在区间是

( ).

A.???14,12??? C.???12,1???

B.(1,2) D.(2,3)

解析 由 f(x)的图象知 0<b<1,f(1)=0,从而-2<a<-1,g(x)=ln x+2x+a,

g(x)在定义域内单调递增,g???12???=ln 12+1+a<0,g(1)=2+a>0,g???12???·g(1)<0,

故选 C.

答案 C

2.已知定义在 R 上的函数 f(x)图象的对称轴为 x=-3,且当 x≥-3 时,f(x)=

2x-3.若函数 f(x)在区间(k-1,k)(k∈Z)上有零点,则 k 的值为

( ).

A.2 或-7

B.2 或-8

C.-8 或-7

D.-2 或-8

解析 当 x≥-3 时,由 f(x)=2x-3=0,解得 x=log23,因为 1≤log23≤2,即函

数的零点所在的区间为(1,2),所以 k=2.又函数的图象关于 x=-3 对称,所以另 外一个零点在区间(-8,-7)内,此时 k=-7,所以选 A. 答案 A 二、填空题
??1-|x-1|,x∈?-∞,2?, 3.(2013·杭州第一次质检)若函数 f(x)=???12f?x-2?,x∈[2,+∞?, 则函数 F(x) =xf(x)-1 的零点的个数为________. 解析 据题意函数 F(x)=xf(x)-1 的零点个数可转化为函数 y=f(x)与函数 y=1x图 象交点的个数,在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示,由图可知共有 6 个交点,故函数 F(x)=xf(x)-1 的零点个数为 6.
答案 6 三、解答题 4.(2014·深圳调研)已知二次函数 f(x)的最小值为-4,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f?xx?-4ln x 的零点个数. 解 (1)∵f(x)是二次函数,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x ∈R}, ∴f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且 a>0. ∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.

故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2x-3. (2)∵g(x)=x2-2xx-3-4ln x=x-3x-4ln x-2(x>0), ∴g′(x)=1+x32-4x=?x-1x??2x-3?. 当 x 变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:

x

(0,1)

1

(1,3)

3

g′(x)



0



0

(3,+∞) +

g(x)

极大值

极小值

当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=-4<0. 又因为 g(x)在(3,+∞)单调递增,因而 g(x)在(3,+∞)上只有 1 个零点.故 g(x) 在(0,+∞)只有 1 个零点.

学生用书 第 32 页 第 9 讲 函数模型及其应用 [最新考纲] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、 指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普 遍使用的函数模型)的广泛应用.

1.函数模型及其性质比较 (1)几种常见的函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型

知识梳理
函数解析式 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)

与指数函数相关模 型

f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0)

与对数函数相关模 f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0)


与幂函数相关模型

f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠0)

(2)三种函数模型性质比较

性质

函数 y=ax(a>1)

y=logax(a>1)

y=xn(n>0)

在(0,+∞)上的 单调性

单调增函数

单调增函数

单调增函数

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

2.“f(x)=x+ax”型函数模型

形如 f(x)=x+ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型,在现实生活中有着广 泛的应用,常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.

学生用书 第 33 页

辨析感悟

1.关于函数模型增长特点的理解 (1)函数 y=2x 的函数值比 y=x2 的函数值大.(×) (2)“指数爆炸”是指数型函数 y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快

的形象比喻.(×)

(3)幂函数增长比直线增长更快.(×) 2.常见函数模型的应用问题

(4)(2013·长春模拟改编)一个体积为 V 的棱锥被平行于底面的平面所截,设截面 上部的小棱锥的体积为 y,截面下部的几何体的体积为 x,则 y 与 x 的函数关系

的图象可以表示为

.(√)

(5)(2014·济宁模拟改编)某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式

是 y=3 000+20x-0.1 x2,x∈(0,240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者

不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 150 台.(√) [感悟·提升] 一个区别 三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在 同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一个 x0,使 x>x0 时,有 ax>xn> logax(a>1,n>0).如(1)中当 2<x<4 时,2x<x2;如(2)中没强调 b>1;如(3),
举例 y= 与 y=x,当 x>1 时,y= 比 y=x 增长慢.
考点一 利用图象刻画实际问题 【例 1】 (2013·湖北卷,文)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞 停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是 ( ).
解析 小明匀速运动时,所得图象为一条直线段,且距离学校越来越近,故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除 D.后来为了赶时间 加快速度行驶,故排除 B.故选 C. 答案 C 规律方法 抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的 性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可. 【训练 1】 如图下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同 的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度 h 和时

间 t 之间的关系,其中不正确的有( ).

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度 h

和时间 t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图①应该是匀速的,

故上面的图象不正确,②中的变化率应该是越来越慢的,正确;③中的变化率逐

渐变慢,然后逐渐变快,正确;④中的变化率逐渐变快,然后逐渐变慢,也正确,

故只有①是错误的.选 A.

答案 A

考点二 二次函数模型

【例 2】 (2014·德州一模)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投 资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投

资额的算术平方根成正比.已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元 和 0.5 万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系; (2)该家庭有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得 最大收益,其最大收益是多少万元?

解 (1)设两类产品的收益与投资的函数分别为 f(x)=k1x,g(x)=k2 x. 由已知得 f(1)=18=k1,g(1)=12=k2,

所以 f(x)=18x(x≥0),g(x)=12 x(x≥0). (2)设投资债券类产品为 x 万元,则投资股票类产品为(20-x)万元.

依题意得 y=f(x)+g(20-x)=8x+12 20-x(0≤x≤20).

令 t= 20-x(0≤t≤2 5), 则 y=20-8 t2+12t=-18(t-2)2+3, 所以当 t=2,即 x=16 时,收益最大,ymax=3 万元.
学生用书 第 34 页
规律方法 二次函数模型的应用比较广泛,解题时,根据实际问题建立二次函数

解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数

的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.

【训练 2】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y=x52-48x+8 000, 已知此生产线年产量最大为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大 利润?最大利润是多少? 解 (1)每吨平均成本为yx(万元).

则yx=5x+8 0x00-48≥2

x8 5·

0x00-48=32,

当且仅当5x=8 0x00,即 x=200 时取等号.

∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元.

(2)设年获得总利润为 R(x)万元. 则 R(x)=40x-y=40x-x52+48x-8 000 =-x52+88x-8 000

=-15(x-220)2+1 680(0≤x≤210).

∵R(x)在[0,210]上是增函数,∴x=210 时,

R(x)有最大值为-15(210-220)2+1 680=1 660.

∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1 660 万元. 考点三 分段函数模型
【例 3】 (2014·郴州模拟)某旅游景点预计 2014 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数 的和 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)=12x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且 x≤12).已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是 q(x)= ??35-2x?x∈N*,且1≤x≤6?, ???16x0?x∈N*,且7≤x≤12?. (1)写出 2014 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位:人)与 x 的函数关系式; (2)试问 2014 年第几个月旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为多少元? 解 (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37, 当 2≤x≤12,且 x∈N*时, f(x)=p(x)-p(x-1)=12x(x+1)(39-2x)-12(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x,验证 x =1 也满足此式,所以 f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且 1≤x≤12). (2)第 x 个月旅游消费总额为
???-3x2+40x??35-2x??x∈N*,且1≤x≤6?, g(x)=????-3x2+40x?·16x0?x∈N*,且7≤x≤12?,
?6x3-185x2+1 400x?x∈N*,且1≤x≤6?, 即 g(x)=??-480x+6 400?x∈N*,且7≤x≤12?. ①当 1≤x≤6,且 x∈N*时,g′(x)=18x2-370x+1 400,令 g′(x)=0,解得 x =5 或 x=1490(舍去). 当 1≤x<5 时,g′(x)>0,当 5<x≤6 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3 125(万元). ②当 7≤x≤12,且 x∈N*时,g(x)=-480x+6 400 是减函数,∴当 x=7 时,g(x)max =g(7)=3 040(万元). 综上,2014 年 5 月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为 3 125 万元. 规律方法 (1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需

要构建分段函数模型,如出租车的票价与路程的函数就是分段函数.
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段
函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.
【训练 3】 在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好 的某种消费品专卖店 以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并 约定从该店经营的利 润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步偿还 转让费(不计息). 在甲提供的资料中有:①这种消费品的进价为每件 14 元;②该店月销量 Q(百件) 与销售价格 P(元)的关系如图所示;③每月需各项开支 2 000 元. (1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并 求最大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 解 设该店月利润余额为 L,则由题设得 L=Q×(P-14)×100-3 600-2 000,①
??-2P+50,14≤P≤20, 由销量图易得 Q=???-32P+40,20<P≤26,
??-200?P-19.5?2+450,14≤P≤20, 代入①式得 L=???-150???P-631???2+1 2350,20<P≤26, (1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元, 此时 P=19.5 元; 当 20<P≤26 时,Lmax=1 2350元,此时 P=631元. 故当 P=19.5 元时,月利润余额最大为 450 元. (2)设可在 n 年内脱贫,依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20, 即最早可望在 20 年后脱贫.

1.认真分析题意,合理选择函数模型是解决应用问题的基础.

2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.

3.注意问题反馈,在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合

理性.

学生用书 第 35 页

答题模板 3——函数实际应用的建模问题 【典例】 (12 分)(2012·江苏卷)如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的 轨迹在方程 y=kx-210(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮 的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程. (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横 坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. [规范解答] (1)令 y=0,得 kx-210(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知 x>0,
k>0, 故 x=12+0kk2=k+201k≤220=10,当且仅当 k=1 时取等号.
所以炮的最大射程为 10 千米. (2)因为 a>0,所以,炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka-210(1+k2)a2 成立.

即关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ∴判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0,解得 a≤6.
所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. [反思感悟] (1)函数模型应用不当是常见的解题错误,所以,正确理解题意,选择
适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础;
(2)本题中有的学生不能把炮弹击中目标转化为关于 k 的一元二次方程有正根问
题,导致失分. 答题模板 解函数应用题的一般程序: 第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; 第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型; 第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论; 第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义; 第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学解对实 际问题的合理性.

【自主体验】

某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后

每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效,求服 药一次后治疗疾病有效的时间.

??kt

?0≤t≤1?,

解 (1)由图象,设 y=??????12???t-a ?t>1?,

当 t=1 时,由 y=4 得 k=4,

由???12???1-a=4



a=3.所以

??4t y=??????12???t-3

?0≤t≤1?, ?t>1?.

?0≤t≤1, ??t>1, (2)由 y≥0.25 得??4t≥0.25 或??????12???t-3≥0.25,

解得116≤t≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5-116=7196(小时).

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题

1.(2014·日照模拟)下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,它最可能的函

数模型是

( ).

x y A.一次函数模型 C.指数函数模型

4 5 6 7 8 9 10 15 17 19 21 23 25 27
B.幂函数模型 D.对数函数模型

解析 根据已知数据可知,自变量每增加 1 函数值增加 2,因此函数值的增量是

均匀的,故为一次函数模型.
答案 A 2.(2014·湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽 快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时 间 T 内完成预测的运输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如 图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是

解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该

逐渐增大,故选 B.

答案 B

3.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间与储藏温度的关系为

指数型函数 y=kax,若牛奶在 0 ℃的冰箱中,保鲜时间约为 100 h,在 5 ℃的冰

箱中,保鲜时间约为 80 h,那么在 10 ℃时保鲜时间约为 ( ).

A.49 h

B.56 h

C.64 h

D.72 h

解析

??100=ka0, 由题意知,?
??80=ka5,

?k=100 解得??a5=45

,则当 x=10 时,y=100a10=

100×???45???2=64 (h). 答案 C 4.(2013·安徽名校联考)如图,在平面直角坐标系中,AC 平行于 x 轴,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,记四边形位于直线 x=t(t>0)左侧图形的面积为 f(t),则 f(t) 的大致图象是( ).

??t2,0<t≤ 22, ? 解析 由题意得,f(t)= -?t- 2?2+1, 22<t< 2,
??1,t≥ 2,

故其图象为 C.

答案 C

5.(2014·人大附中模拟)某汽车销售公司在 A,B 两地销售同一种品牌车,在 A

地的销售利润(单位:万元)是 y1=13.5-9x,在 B 地的销售利润(单位:万元)是 y2

=14x+6.2,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 11 辆这种品

牌车,则能获得的最大利润是

( ).

A.19.45 万元

B.22.45 万元

C.25.45 万元

D.28.45 万元

解析 根据题意设公司在 A 地售 x 辆,则 B 地售(11-x)辆,则销售利润 y=13.5

-9x+14(11-x)+6.2

=22.45-???9x+4x???≤22.45-2 9x·4x=19.45 91
(当且仅当x=4x,即 x=6 时取等号). 答案 A 二、填空题 6.(2014·临汾一模)某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%), 仍可获利 10%(相对进货价),则该家具的进货价是________元. 解析 设进货价为 a 元,由题意知 132×(1-10%)-a=10%·a,解得 a=108.

答案 108 7.(2013·北京朝阳二模)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此 外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元,年产量为 x(x∈N*)件.当 x≤ 20 时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当 x>20 时,年销售总收入为 260 万元.记

该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元,则 y(万元)与 x(件)的函数关 系式为________,该工厂的年产量为________件时,所得年利润最大.(年利润 =年销售总收入-年总投资) 解析 当 x≤20 时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当 x>20 时,y=

??-x2+32x-100,0<x≤20,

260-100-x=160-x.故 y=?

(x∈N*).

??160-x,x>20

当 0<x≤20 时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16 时,ymax=156.而

当 x>20 时,160-x<140,故 x=16 时取得最大年利润.

答案

?-x2+32x-100,0<x≤20, y=??160-x, x>20

(x∈N*)

16

8.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成

一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示),则围成

场地的最大面积为________(围墙厚度不计).

解析 本题是实际问题,建立函数关系即可.设矩形场地的宽为 x m,则矩形场
地的长为(200-4x)m,面积 S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500.故当 x=25 时,S
取得最大值 2 500,即围成场地的最大面积为 2 500 m2. 答案 2 500 m2 三、解答题 9 .(2014·宁德 一模 ) 有一种新 型的 洗衣液 ,去污速 度特 别快. 已知每投放 k(1≤k≤4,且 k∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓 度 y(克/升)随着时间 x(分钟)变化的函数关系式近似为 y=k·f(x),其中 f(x)=

??82-4x-1?0≤x≤4?, ???7-12x ?4<x≤14?.

若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放

的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于

4(克/升)时,它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次 k 个单位的洗衣液,两分钟时水中洗衣液的浓度为 3(克/升),求 k 的值; (2)若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?

解 (1)由题意知 k???82-42-1???=3, ∴k=1.

(2)因为 k=4,所以 y=???89-6x-4 ?0≤x≤4?, ??28-2x ?4<x≤14?,

则当 0≤x≤4 时,由89-6x-4≥4,解得 8>x≥-4,所以此时 0≤x≤4. 当 4<x≤14 时,由 28-2x≥4,解得 x≤12,所以此时 4<x≤12. 综上可知 0≤x≤12,若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达 12 分钟. 10.(2014·佛山一模)某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:万元)与日产量 x(单位:吨)满足函数关系式 C=3+x,每日的销售额 S(单位:万元)与日产量 x

的函数关系式 S=???3x+x-k 8+5?0<x<6?, 已知每日的利润 L=S-C,且当 x ??14 ?x≥6?,

=2 时,L=3. (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

解 (1)由题意可得:L=???2x+x-k 8+2,0<x<6, ??11-x,x≥6,

因为 x=2 时,L=3,所以 3=2×2+2-k 8+2, 解得 k=18. (2)当 0<x<6 时,L=2x+x-188+2,所以 L=2(x-8)+x-188+18=-[2(8-x)+ 81-8x]+18≤-2 2?8-x?·81-8x+18=6. 当且仅当 2(8-x)=81-8x,即 x=5 时取得等号. 当 x≥6 时,L=11-x≤5. 所以当 x=5 时,L 取得最大值 6. 所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大值 6 万元.
能力提升题组
(建议用时:25 分钟)

一、选择题

1.(2014·江门质检)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还

征收附加税.已知某种酒每瓶售价为 70 元,不收附加税时,每年大约销售 100

万瓶;若每销售 100 元国家要征附加税 x 元(叫做税率 x%),则每年销售量将减

少 10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于 112 万元,则

x 的最小值为

( ).

A.2

B.6

C.8

D.10

解析 由分析可知,每年此项经营中所收取的附加税额为 104·(100-10x)·70·10x0,

令 104·(100-10x)·70·10x0≥112×104,解得 2≤x≤8.故 x 的最小值为 2.

答案 A 2.(2014·焦作模拟)某商人购货,进价已按原价 a 扣去 25%.他希望对货物定一新 价,以便按新价让利 20%销售后仍可获得售价 25%的利润,则此商人经营这种 货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系式为 ( ).

A.y=a4x(x∈N*) C.y=1a2x(x∈N*)

B.y=a8x(x∈N*) D.y=1a6x(x∈N*)

解析 设新价为 b,依题意,有 b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化简

得 b=54a,∴y=b·20%·x=54a·20%·x,即 y=a4x(x∈N*). 答案 A 二、填空题 3.将一个长宽分别是 a,b(0<b<a)的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成一 个无盖的长方体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则ab的取值 范围是________. 解析 设切去正方形的边长为 x,x∈???0,b2???,则该长方体外接球的半径为 r2=14[(a -2x)2+(b-2x)2+x2]=14[9x2-4(a+b)x+a2+b2],在 x∈???0,b2???存在最小值时,必

有 0<2?a+9 b?<b2,解得ab<54,又 0<b<a?ab>1,故ab的取值范围是???1,54???. 答案 ???1,54??? 三、解答题 4.(2014·孝感统考)某公司生产一种产品,每年需投入固定成本 0.5 万元,此外 每生产 100 件这样的产品,还需增加投入 0.25 万元,经市场调查知这种产品年 需求量为 500 件,产品销售数量为 t 件时,销售所得的收入为???0.05t-20 1000t2???万 元. (1)该公司这种产品的年生产量为 x 件,生产并销售这种产品所得到的利润关于 当年产量 x 的函数为 f(x),求 f(x); (2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大? 解 (1)当 0<x≤500 时,f(x)=0.05x-20 1000x2-

???0.25×10x0+0.5???=-20x0200+41090x-12, 当 x>500 时,f(x)=0.05×500-20 1000×5002- ???0.25×10x0+0.5???=12-4100x,
??-20 1000x2+41090x-12,0<x≤500, 故 f(x)=???12-4100x,x>500.
(2)当 0<x≤500 时,f(x)=-20x0200+41090x-12= -20 1000(x-475)2+33425, 故当 x=475 时,f(x)max=33425. 当 x>500 时,f(x)=12-4100x<12-54=33424<33425. 故当该公司的年产量为 475 件时,当年获得的利润最大.
方法强化练——函数与基本初等函数 (建议用时:75 分钟)

一、选择题

1.(2014·珠海模拟)函数

y=

?x+1?0 的定义域为 2x+1

( ).

A.???-12,+∞???

B.???-12,-1???∪(-1,+∞)

C.???12,+∞???

D.???-12,-1???∪(-1,+∞)

解析

??x+1≠0, 由?
??2x+1>0,

得 x∈???-12,+∞???.

答案 A 2.(2014·深圳调研)下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单

调递增的是 A.y= x C.y=xsin x

B.y=ex-e-x

D.y=lg

1-x 1+x

( ).

解析 对于 A,y= x,其定义域[0,+∞)不关于原点对称,故为非奇非偶函数;

对于 B,y=ex-e-x,其定义域为 R,且

f(-x)=e-x-e-(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),故 f(x)在(0,1)上为奇函数,

f′(x)=ex-(-x)′·(e-x)′=ex+e1x,当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,故为增函数;对

于 C,y=xsin x,其定义域为 R,f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x),函数为偶

函数;对于 D,f(x)=lg11-+xx,则11+-xx>0,则-1<x<1,f(-x)+f(x)=lg????11+-xx·11+-xx????

1-x =lg 1=0,故 f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=lg =
1+x

lg-?x1++1x?+2=lg???-1+1+2 x???,其为(0,1)上的减函数.综上,故选 B.

答案 B

3.(2014·湖北七市联考)函数 f(x)=2x-sin x 的零点个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

( ).

解析 显然 f(x)的一个零点是 0,而 f′(x)=2-cos x>0,即 f(x)在 R 上单调递增,

因此函数 f(x)只有一个零点,故选 A. 答案 A

4.(2014·南昌二模)已知 a= 大小 关系是 A.c<a<b

,b=

,c=log2.11.5,则 a,b,c 的

B.c<b<a

( ).

C.a<b<c

D.b<a<c

解析 由 log2.11.5<1<



,得 c<a<b.

答案 A

5.(2013·温州第二次测试)已知 2a=3b=6c,则有

A.a+c b∈(2,3)

B.a+c b∈(3,4)

C.a+c b∈(4,5)

D.a+c b∈(5,6)

( ).

解析 设 2a=3b=6c=k,则 a=log2k,b=log3k,c=log6k,∴a+c b=lloogg26kk+lloogg36kk =llooggkk62+llooggkk36=log26+log36=1+log23+1+log32>2+2=4,又 2+log23+log32

<2+2+1=5.

答案 C 6.(2013·四川卷)函数 y=3xx-3 1的图象大致是

( ).

解析 由已知 3x-1≠0?x≠0,排除 A;

又∵x<0





3x



1



0



x3



0





y



x3 3x-1



0









B;又

y′ =

x2[3x?3-xln 3?-3]

?3x-1?2

,当

3-xln

3<0

时,x>ln33>0,y′<0,所以

D

不符合.故

选 C.

答案 C

7.(2013·北京卷)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex

关于 y 轴对称,则 f(x)=

( ).

A.ex+1 C.e-x+1

B.ex-1 D.e-x-1

解析 与曲线 y=ex 关于 y 轴对称的图象对应的函数为 y=e-x,将函数 y=e-x

的图象向左平移 1 个单位长度即得 y=f(x)的图象,∴y=f(x)=e-(x+1)=e-x-1.

答案 D

8.(2014·衡水模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分



为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地

共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为

( ).

A.45.606

B.45.6

C.45.56

D.45.51

解析 设在甲地销售 x 辆车,则在乙地销售 15-x 辆车,获得的利润为

y=5.06x-0.15x2+2×(15-x)=-0.15x2+3.06x+30,

当 x=-2×?3-.060.15?=10.2 时,y 最大,但 x∈N,所以当 x=10 时,ymax=-15+

30.6+30=45.6.

答案 B

9.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,

且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=

( ).

A.2

15 B. 4

17 C. 4

D.a2

解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,

∴由 f(x)+g(x)=ax-a-x+2,



得-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,



①+②,得 g(x)=2,①-②,得 f(x)=ax-a-x.

又 g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2-x,

∴f(2)=22-2-2=145.

答案 B

10.(2013·辽宁卷)已知函数 f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+

8.设 H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示 p,q 中的较

大值,min{p,q}表示 p,q 中的较小值).记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值

为 B,则 A-B=

( ).

A.16

B.-16

C.a2-2a-16

D.a2+2a-16

解析 令 f(x)=g(x),即 x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,即 x2-2ax +a2-4=0,解得 x=a+2 或 x=a-2.
f(x)与 g(x)的图象如图.
由题意知 H1(x)的最小值是 f(a+2), H2(x)的最大值为 g(a-2), 故 A-B=f(a+2)-g(a-2) =(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16. 答案 B 二、填空题 11.(2013·湖南卷)函数 f(x)=ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+4 的图象的交点个 数为________. 解析 因为 g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,所以作出函数 f(x)=ln x 与 g(x)=x2-4x

+4=(x-2)2 的图象,由图象可知两函数图象的交点个数有 2 个.
答案 2 ?x2,x<0,
12.(2013·长沙期末考试)设 f(x)=??2x,x≥0, 则 f[f(-1)]=________. 解析 f(-1)=(-1)2=1,所以 f[f(-1)]=f(1)=21=2. 答案 2 13.(2014·郑州模拟)已知函数 f(x)=e|x-a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是 增函数,则 a 的取值范围是________. 解析 g(x)=|x-a|的增区间为[a,+∞), ∴f(x)=e|x-a|的增区间为[a,+∞). ∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴[1,+∞)?[a,+∞),∴a≤1. 答案 (-∞,1] 14.(2013·滨州一模)定义在 R 上的偶函数 f(x),且对任意实数 x 都有 f(x+2)=f(x), 当 x∈[0,1)时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数 g(x)=f(x)-kx-k 有 4 个零点, 则实数 k 的取值范围是________.

解析 由 f(x+2)=f(x)得函数的周期为 2.由 g(x)=f(x)-kx-k=0,得 f(x)=kx+k

=k(x+1),分别作出函数 y=f(x),y=k(x+1)的图象,设 A(3,1), B(-1,0),要使

函数有

4

个零点,则直线

y=k(x+1)的斜率

0<k≤kAB,因为

1-0 1 kAB=3-?-1?=4,

所以 0<k≤14,即实数 k 的取值范围是???0,14???. 答案 ???0,14??? 15.(2014·扬州质检)对于函数 f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题: ①q=0 时,f(x)为奇函数; ②y=f(x)的图象关于(0,q)对称; ③p=0,q>0 时,方程 f(x)=0 有且只有一个实数根; ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根. 其中正确命题的序号为________. 解析 若 q=0,则 f(x)=x|x|+px=x(|x|+p)为奇函数,所以①正确;由①知,当

q=0 时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称,f(x)=x|x|+px+q 的图象由函数 f(x)

=x|x|+px 向上或向下平移|q|个单位,所以图象关于(0,q)对称,所以②正确;当

??x2+q,x≥0,

p=0,q>0 时,f(x)=x|x|+q=?

当 f(x)=0,得 x=- q,只

??-x2+q,x<0,

??x2-x,x≥0,

有一解,所以③正确;取 q=0,p=-1,f(x)=x|x|-x=?

由 f(x)

??-x2-x,x<0,

=0,可得 x=0,x=±1 有三个实根,所以④不正确.综上正确命题的序号为①
②③.
答案 ①②③ 三、解答题 16.(2013·贵阳诊断)函数 f(x)=m+logax(a>0 且 a≠1)的图象过点(8,2)和(1,- 1). (1)求函数 f(x)的解析式; (2)令 g(x)=2f(x)-f(x-1),求 g(x)的最小值及取得最小值时 x 的值. 解 (1)由???ff??81??==2-,1, 得???mm++llooggaa81==2-,1, 解得 m=-1,a=2, 故函数解析式为 f(x)=-1+log2x. (2)g(x)=2f(x)-f(x-1) =2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)] =log2x-x2 1-1(x>1). ∵x-x21=?x-1?2+x-2?1x-1?+1=(x-1)+x-1 1+2≥
2 ?x-1?·x-1 1+2=4. 当且仅当 x-1=x-1 1,即 x=2 时,等号成立.而函数 y=log2x 在(0,+∞)上单 调递增,则 log2 x-x21-1≥log24-1=1, 故当 x=2 时,函数 g(x)取得最小值 1. 17.(2014·齐齐哈尔调研)对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点,已知函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求 f(x)的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围. 解 (1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x2-x-3,由题意可知 x=x2-x-3,得 x1= -1,x2=3.

故当 a=1,b=-2 时,f(x)的不动点是-1,3. (2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)恒有两个不动点,∴x=ax2+(b+1)x+b-1, 即 ax2+bx+b-1=0 恒有两相异实根, ∴Δ=b2-4ab+4a>0(b∈R)恒成立. 于是 Δ′=(-4a)2-16a<0 解得 0<a<1, 故当 b∈R,f(x)恒有两个相异的不动点时的 a 的范围是(0,1). 18.某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为 了鼓励销售商订购,决定每一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,多订购的 全部零件的出厂单价就降 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达 式. (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1 000 个,利润又是多少元? 解 (1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0 个,则 x0 =100+600-.0251=550.因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价 恰好降为 51 元. (2)当 0<x≤100 时,P=60; 当 100<x<550 时,P=60-0.02(x-100)=62-5x0; 当 x≥550 时,P=51.
所以 P=f(x)=???6602,-05x<0,x≤10100<0,x<550,x∈N, ??51,x≥550.
(3)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元,则
L=(P-40)x=???2202xx,-05x<02 ,x≤10100<0,x<550,x∈N, ??11x,x≥550.

当 x=500 时,L=6 000; 当 x=1 000 时,L=11 000. 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6 000 元;如果订购 1 000 个,利润是 11 000 元.

学生用书 第 36 页 第 10 讲 变化率与导数、导数的计算 [最新考纲] 1.了解导数概念的实际背景; 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义; 3.能根据导数的定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y=1x,y=x2,y=x3,y= x 的导数; 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数, 能求简单复合函数[仅限于形如 y=f(ax+b)的复合函数]的导数.

知识梳理 1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
①定义:称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率

ΔΔyx=

f?x0+ΔΔxx?-f?x0?为

函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或

.

②几何意义:函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,

f(x0))处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方

程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

(2)称函数 f′(x)=

f?x+ΔΔxx?-f?x?为 f(x)的导函数.

2.基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)=xα(α∈Q*)

f′(x)=αxα-1

f(x)=sin x

f′(x)=cos_x

f(x)=cos x

f′(x)=-sin_x

f(x)=ax

f′(x)=axln_a(a>0)

f(x)=ex

f′(x)=ex

f(x)=logax

f′(x)=xln1 a

f(x)=ln x

f′(x)=1x

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).

(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).

(3)???gf??xx?????′=f′?x?g?[xg?-?x?f]?2x?g′?x?(g(x)≠0).

4.复合函数的导数

设 u=v(x)在点 x 处可导,y=f(u)在点 u 处可导,则复合函数 f[v(x)]在点 x 处可导,

且 f′(x)=f′(u)·v′(x).

辨析感悟

1.对导数概念的理解

(1)f′(x0)是函数 y=f(x)在 x=x0 附近的平均变化率.(×) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.(×) (3)f′(x0)是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值.(√) 2.导数的几何意义与物理意义

(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(√)

(5)物体的运动方程是 s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为 0,则相应时刻 t=0.(×)

(6)(2012·广东卷改编)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为 2x-y+1=

0.(√)

3.导数的计算 (7)若 f(x)=a3+2ax-x2,则 f′(x)=3a2+2x.(×)

(8)(教材习题改编)函数 y=xcos x-sin x 的导函数是 y′=-xsin x.(√)

(9)[f(ax+b)]′=f′(ax+b).(×) [感悟·提升] 1.“过某点”与“在某点”的区别 曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0)的切线”的区别:前
者 P(x0,y0)为切点,如(6)中点(1,3)为切点,而后者 P(x0,y0)不一定为切点. 2.导数运算及切线的理解应注意的问题

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直

线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或

两个以上的公共点,如(4).

三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式.由外向内逐层求导,其导数为

两层导数之积,如(9).

学生用书 第 37 页

考点一 导数的计算

【例 1】 分别求下列函数的导数:

(1)y=ex·cos x;

(2)y=x-sin

x 2cos

2x;

(3)y=ln?2xx+1?.

解 (1)y′=(ex)′cos x+ex(cos x)′=excos x-exsin x.

(2)∵y=x-sin

x 2cos

2x=x-12sin x,

∴y′=???x-12sin x???′=1-12cos x.

(3)y′=???ln?2xx+1????′=[ln?2x+1?]′xx-2 x′ln?2x+1?

=?2x2+x+1?1′·xx-2 ln?2x+1?=2x2+x 1-xl2n?2x+1? =2x-?2?x2+x+1?1l?nx?22x+1?. 规律方法 (1)本题在解答过程中常见的错误有:①商的求导中,符号判定错误;

②不能正确运用求导公式和求导法则,在第(3)小题中,忘记对内层函数 2x+1

进行求导.

(2)求函数的导数应注意:

①求导之前利用代数或三角变换先进行化简,减少运算量;

②根式形式,先化为分数指数幂,再求导.

③复合函数求导先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元处理.

【训练 1】 (1)(2013·江西卷改编)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,

则 f′(1)=________.

+e2x,则 f′(x)=________.

(2) 若 f(x) = 3-x

解析 (1)令 ex=t,则 x=ln t,

∴f(t)=ln t+t,即 f(x)=ln x+x. 因此 f′(x)=(ln x+x)′=1x+1,于是 f′(1)=1+1=2.

考点二 导数的几何意义

【例 2】 (1)(2013·广东卷)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴, 则 k=________. (2) 设 f(x) = xln x + 1 , 若 f′(x0) = 2 , 则 f(x) 在 点 (x0 , y0) 处 的 切 线 方 程 为 ____________________. 解析 (1)函数 y=kx+ln x 的导函数 y′=k+1x,

由导数 y′|x=1=0,得 k+1=0,则 k=-1.

(2)因为 f(x)=xln x+1,

所以

f′(x)=ln

1 x+x·x=ln

x+1.

因为 f′(x0)=2,所以 ln x0+1=2,

解得 x0=e,所以 y0=e+1. 由点斜式得,f(x)在点(e,e+1)处的切线方程为 y-(e+1)=2(x-e),即 2x-y-e

+1=0. 答案 (1)-1 (2)2x-y-e+1=0 规律方法 (1)导数 f′(x0)的几何意义就是函数 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜 率.第(1)题要能从“切线平行于 x 轴”提炼出切线的斜率为 0,进而构建方程,

这是求解的关键,考查了分析问题和解决问题的能力.

(2)在求切线方程时,应先判断已知点 Q(a,b)是否为切点,若已知点 Q(a,b)不

是切点,则应求出切点的坐标,利用切点坐标求出切线斜率,进而用切点坐标表

示出切线方程.
【训练 2】 (1)(2012·新课标全国卷)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 ____________________. (2)若函数 f(x)=excos x,则此函数图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( ). A.0 B.锐角 C.直角 D.钝角 解析 (1)∵y=x(3ln x+1),∴y′=3ln x+1+x·3x=3ln x+4,∴k=y′|x=1=4,∴

所求切线的方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y-3=0. (2)f′(x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x),

∴f′(1)=e(cos 1-sin 1). ∵2π>1>4π.而由正余弦函数性质可得 cos 1<sin 1. ∴f′(1)<0,即 f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率 k<0,

∴切线的倾斜角是钝角.
答案 (1)4x-y-3=0 (2)D 考点三 导数运算与导数几何意义的应用
【例 3】 (2013·北京卷)设 l 为曲线 C:y=lnxx在点(1,0)处的切线. (1)求 l 的方程; (2)试证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方.
导数几何意义 审题路线 (1)求 f′(1) ――→ 点斜式求直线 l 的方程

转化

运用导数

(2)构建 g(x)=x-1-f(x)――→g(x)>0 对 x>0 且 x≠1 恒成立 ――→ 研究函数 y

=g(x)的性质―→获得结论



(1)设

f(x)=lnx x,则

f′(x)=1-xl2n

x .

∴f′(1)=1-1ln 1=1,即切线 l 的斜率 k=1.

由 l 过点(1,0),得 l 的方程为 y=x-1.

(2)令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 l 的下方等价于 g(x)>0(?

x>0,x≠1).

g(x)满足

g(1)=0,且

g′(x)=1-f′(x)=x2-1x+2 ln

x .

当 0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0,

∴g′(x)<0,故 g(x)在(0,1)上单调递减;

当 x>1 时,x2-1>0,ln x>0,g′(x)>0,g(x)单调递增.

所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 l 的下方. 规律方法 (1)准确求切线 l 的方程是本题求解的关键;第(2)题将曲线与切线 l 的

位置关系转化为函数 g(x)=x-1-f(x)在区间(0,+∞)上大于 0 恒成立的问题,

进而运用导数研究,体现了函数思想与转化思想的应用.

(2)当曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,切线

方程为 x=x0;当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.

学生用书 第 38 页

【训练 3】 (2014·济南质检)设函数 f(x)=aex+a1ex+b(0<a<1).

(1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值;

(2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=32x,求 a 和 b 的值.

解 (1)f′(x)=aex-a1ex=?aex-1a?e?xaex+1?.

令 f′(x)=0,得 x=ln

1 a>0.

当 0≤x<ln 1a时,f′(x)<0;

当 x>ln 1a,f′(x)>0.

∴f(x)在???0,ln 1a???上递减,在???ln 1a,+∞???上递增.

从而 f(x)在[0,+∞)上的最小值 f???ln 1a???=2+b.

(2)∵y=f(x)在点(2,f(2))处的切线为 y=32x,

∴f(2)=3,且 f′(2)=32,

??ae2+a1e2+b=3 ①

∴???ae2-a1e2=32



解之得 b=12且 a=e22.
1.理解导数的概念时,要注意 f′(x0),(f(x0))′与 f′(x)的区别:f′(x)是函数 y =f(x)的导函数,f′(x0)是 f(x)在 x=x0 处的导数值,是常量但不一定为 0,(f(x0))′ 是常数一定为 0,即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视 求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时, 首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.
3.求曲线的切线时,要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的区 别.

易错辨析 3——求曲线切线方程考虑不周 【典例】 (2014·杭州质检)若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 f(x)=x3-3x2+2x 和 y=x2+a 都相切,则 a 的值是( ).

A.1

1 B.64

C.1 或614

D.1 或-614

[错解] ∵点 O(0,0)在曲线 f(x)=x3-3x2+2x 上,

∴直线 l 与曲线 y=f(x)相切于点 O.

则 k=f′(0)=2,直线 l 的方程为 y=2x. 又直线 l 与曲线 y=x2+a 相切, ∴x2+a-2x=0 满足 Δ=4-4a=0,a=1,选 A. [答案] A [错因] (1)片面理解“过点 O(0,0)的直线与曲线 f(x)=x3-3x2+2x 相切”.这里

有两种可能:一是点 O 是切点;二是点 O 不是切点,但曲线经过点 O,解析中

忽视后面情况.

(2)本题还易出现以下错误:一是当点 O(0,0)不是切点,无法与导数的几何意义沟

通起来;二是盲目设直线 l 的方程,导致解题复杂化,求解受阻. [正解] 易知点 O(0,0)在曲线 f(x)=x3-3x2+2x 上,

(1)当 O(0,0)是切点时,同上面解法.

(2)当 O(0,0)不是切点时,设切点为 P(x0,y0),则 y0=x30-3x02+2x0,且 k=f′(x0)

=3x02-6x0+2.

又 k=yx00=x02-3x0+2,

3

1

由①,②联立,得 x0=2(x0=0 舍),所以 k=-4,

1 ∴所求切线 l 的方程为 y=-4x.

由??y=-14x, ?y=x2+a,

得 x2+14x+a=0.

依题意,Δ=116-4a=0,∴a=614.综上,a=1 或 a=614. [答案] C [防范措施] (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键,

分清过点 P 的切线与在点 P 处的切线的差异.

(2)熟练掌握基本初等函数的导数,导数的运算法则,正确进行求导运算.

【自主体验】

函数 y=ln x(x>0)的图象与直线 y=12x+a 相切,则 a 等于

( ).

A.2ln 2

B.ln 2+1

C.ln 2
解析 设切点为(x0,y0),且 y′=1x,∴ 2.又点(2,ln 2)在直线 y=12x+a 上, ∴ln 2=12×2+a,∴a=ln 2-1. 答案 D

D.ln 2-1 =x10=12,则 x0=2,y0=ln

对应学生用书 P247

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( ).

A.-1 B.-2 C.2 D.0 解析 f′(x)=4ax3+2bx,∵f′(x)为奇函数且 f′(1)=2,∴f′(-1)=-2. 答案 B 2.

如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)= ( ). A.2 B.6 C.-2 D.4

解析 如图可知,f(5)=3,f′(5)=-1,因此 f(5)+f′(5)=2.

答案 A

3.(2014·济南质检)设曲线 y=xx-+11在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,

则 a=( ).

A.2 B.-2

C.-12

1 D.2

解析 ∵y′=x-?1x--?1x?+2 1?=-?x-21?2,∴y′|x=3=?3--21?2=-12,∴-a=2,即 a

=-2.

答案 B

4.已知曲线 y=14x2-3ln x 的一条切线的斜率为-12,则切点横坐标为(

).

A.-2 B.3 C.2 或-3 D.2

解析 设切点坐标为(x0,y0),∵y′=12x-3x,∴

13 1 =2x0-x0=-2,即

x20+

x0-6=0,解得 x0=2 或-3(舍).

答案 D

5.(2014·湛江调研)曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成

的三角形的面积为( ).

11 A.3 B.2

2 C.3

D.1

解析 y′|x=0=(-2e-2x)|x=0=-2,故曲线 y=e-2x+1 在点(0,2)处的切线方程为

y=-2x+2,易得切线与直线 y=0 和 y=x 的交点分别为(1,0),???23,23???,故围成

的三角形的面积为12×1×23=13.

答案 A

二、填空题

6.已知函数 f(x)=f′???π4???cos x+sin x,则 f???4π???的值为________.

解析

∵f′(x)=-f′???π4???sin x+cos x,∴f′???π4???=-f′???π4???sin

π 4+cos

4π,∴f′???π4???=

2-1,∴f???4π???=(

2-1)cos

π

π

4+sin 4=1.

答案 1 7.(2013·南通一调)曲线 f(x)=f′e?1?ex-f(0)x+12x2 在点(1,f(1))处的切线方程为________. 解析 f′(x)=f′e?1?ex-f(0)+x?f′(1)=f′e?1?e1-f(0)+1?f(0)=1.在函数 f(x)

=f′e?1?ex-f(0)x+12x2 中,令 x=0,则得 f′(1)=e.所以 f(1)=e-12,所以 f(x)在

(1,f(1))处的切线方程为 y=e(x-1)+f(1)=ex-12,即 y=ex-12.

答案 y=ex-12 8.若以曲线 y=13x3+bx2+4x+c(c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为 非负数,则实数 b 的取值范围是________. 解析 y′=x2+2bx+4,∵y′≥0 恒成立,∴Δ=4b2-16≤0,∴-2≤b≤2.

答案 [-2,2] 三、解答题 9.已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值; (2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围. 解 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2). (1)由题意得???ff?′0??=0?b==-0,a?a+2?=-3, 解得 b=0,a=-3 或 1. (2)∵曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,

∴关于 x 的方程 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即 4a2+4a+1>0, ∴a≠-12. ∴a 的取值范围是???-∞,-12???∪???-12,+∞???. 10.已知函数 f(x)=x3-ax2+10. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)在区间[1,2]内至少存在一个实数 x,使得 f(x)<0 成立,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=1 时,f′(x)=3x2-2x,f(2)=14, 曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率 k=f′(2)=8, ∴曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-14=8(x-2),即 8x-y-2=0. (2)由已知得 a>x3+x210=x+1x02 , 设 g(x)=x+1x02 (1≤x≤2),g′(x)=1-2x03 , ∵1≤x≤2, ∴g′(x)<0,∴g(x)在[1,2]上是减函数. g(x)min=g(2)=92,∴a>92, 即实数 a 的取值范围是???92,+∞???.
能力提升题组
(建议用时:25 分钟)
一、选择题 1.(2014·北京西城质检)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标 分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐 标为( ). A.1 B.3 C.-4 D.-8 解析 依题意,得 P(4,8),Q(-2,2).



x2 y= 2 ,得

y′=x.

∴在点 P 处的切线方程为 y-8=4(x-4),即 y=4x-8.①

在点 Q 处的切线方程为 y-2=-2(x+2),即 y=-2x-2.②

联立①,②得点 A(1,-4).

答案 C 2.已知 f(x)=logax(a>1)的导函数是 f′(x),记 A=f′(a),B=f(a+1)-f(a),C =f′(a+1),则( ). A.A>B>C B.A>C>B C.B>A>C D.C>B>A

f?a+1?-f?a?

解析 记 M(a,f(a)),N(a+1,f(a+1)),则由于 B=f(a+1)-f(a)=



?a+1?-a

表示直线 MN 的斜率,A=f′(a)表示函数 f(x)=logax 在点 M 处的切线斜率;C
=f′(a+1)表示函数 f(x)=logax 在点 N 处的切线斜率.由图象得,A>B>C. 答案 A 二、填空题 3.(2014·武汉中学月考)已知曲线 f(x)=xn+1(n∈N*)与直线 x=1 交于点 P,设曲 线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2 013x1+log2 013x2+… +log2 013x2 012 的值为________. 解析 f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1,

点 P(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),



y=0,得

x=1- 1 = n ,即 n+1 n+1

xn=n+n 1,

∴x1·x2·…·x2 012=12×23×34×…×22 001112×22 001123=2 0113,则 log2 013x1+log2 013x2+…

+log2 013x2 012 =log2 013(x1x2…x2 012)=-1.

答案 -1 三、解答题 4.(2013·福建卷改编)已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)当实数 a>0 时,求函数 f(x)的极值. 解 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-ax. (1)当 a=2 时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-2x(x>0), 因而 f(1)=1,f′(1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0. (2)由 f′(x)=1-ax=x-x a,x>0. 令 f′(x)=0,得 x=a>0. 当 x∈(0,a)时,f′(x)<0; 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值.
学生用书 第 39 页

第 11 讲 导数在研究函数中的应用 [最新考纲] 1.了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的 单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、 极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值
(其中多项式函数一般不超过三次).

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