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北师大版高一数学:集合的含义及表示

时间:2017-08-30

集合的含义与表示

目标导航
1、 理解集合的含义。 3、能判断元素与集合的关系。 2、掌握集合的表示方法。 4、理解集合中元素的特征

探索新知
探究以下实例:
(1)1—20 以内的所有质数; (3)所有的正方形; (2)我国古代的四大发明; (4)方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的所有实数根;

思考:这 4 个实例的共同特征是什么?

新知一:集合的含义
1、集合的含义:指定的某些对象的全体就构成一个集合。
2、集合中的元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合一般用大写字母表示,如集合 A , B …等,元素一般用小写字母表示。如 a , b, c …等。 3、元素与集合的关系: (1)属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记作 (2)不属于:如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A ,记作

常用数集及其记法:
实数集 正实数集 有理数集 Q ; 整数集 ; 自然数集 ; 正整数集 Z * 。

经典精讲 (一)
【例 1】下列研究的对象能否构成集合? (1)世界上最高的山峰; (3)中国国旗的颜色; (2)我国的小河流; (4)著名的数学家;
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(5)立方等于本身的实数; 温馨 提示

(6)不等式 2 x ? 5 ? 11 的正整数解。

集合元素的特征:确定性、互异性、无序性

变式 1、下列各组对象不能组成集合的是( A.大于 6 的所有整数 C.被 3 除余 2 的所有整数

) B.高中数学的所有难题 D.函数 y ?

1 图象上所有的点 x

【例 2】由 x ? 2, x2 ? 4 x, 2 三个实数构成一个集合,若 ?3 是集合中元素,求实数 x 的值。

2 变式 2、由 3, m, m ? 2m 三个实数构成一个集合,求实数 m 的取值范围。

新知二:集合的表示法
1、 列举法:将集合的元素一一列举出来,并写在大括号内。 2、 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内。

经典精讲 (二)
【例 3】用列举法表示下列集合 (1)不大于 10 的非负偶数: (2)我国古代的四大发明:

?x ? y ? 3 (3)方程组 ? 的解集: ?x ? y ? 1
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【例 4】用描述法表示下列集合 (1) {?1,1} : (2)大于 3 的全体偶数构成的集合: (3)由 3x ? 2 y ? 16, x ? N , y ? N 所确定的点组成的集合: 变式 3:用列举法表示下列集合

? ?y ? x ? 3 ? ? ? (1) A ? {x ? N 0 ? x ≤ 5} ; (2) B ? {x x 2 ? 5x ? 6 ? 0} ; (3) C ? ?( x, y) | ? ?。 ? ? ? y ? ?2 x ? 6? ?

温馨 提示

列举法要注意: (1)元素与元素之间必须用“,”隔开 (2)集合的元素必须是明确的; (3)各元素的出现无顺序; (4)集合里的元素不能重复

变式 4、用描述法表示下列集合 (1)偶数集; (2) {2, 4, 6,8} ; (3)坐标平面内在第一象限的点组成的集合。

温馨 提示

描述法要注意: (1)写清楚该集合中元素满足性质; (2)不能出现未被说明的字母; (3)多层描述时,应当准确使用“或”,“且”; (4)所有描述的内容都要写在集合的括号内。

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1、已知集合 A ? {a, a ? 2, a2 ? 3a ? 3} , 1? A ,求实数 a 的值。

2、若集合 M ? {0,1, 2} , N ? ?( x, y) x ? 2 y ? 1≥0且x- 2 y ? 1≤ 0, x, y ? M ? ,则 N 中元素的个数 为( A. 9 ) B. 6 C. 4 D. 2

高手过招
【例 1】三个元素的集合 1 , a ,

b ,也可表示为 0 , a 2 , a ? b ,求 a 2011 ? b 2011 的值。 a

? ? 6 【例 2】已知 A ? ?a ? Z ? N ? ,试用列举法表示集合 A。 3?a ? ?

练习、已知集合 A ? {x ? R ax 2 ? 3x ? 2 ? 0} ,若 A 中的元素最多只有一个,求 a 的取值范围。

今天的收获

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1、集合与元素;属于与不属于的概念;

自我提升

1、下列研究的对象能构成集合的是( A.本班个子高的同学 C.所有的数学难题 2、给出下列命题

) B.约等于 2 的数 D.中国的直辖市

① N 中最小的元素是 1;②若 a ? N ,则 ? a ? N ;③若 a ? N ,b ? N ,则 a ? b 的最小值是 2 ; 其中正确的命题个数是( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3 )

3、给出下列关系:① ? R ;② 2 ? Q ;③ ?3 ? N * ;④ 0 ? Z 。其中正确的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

1 2

4、用 ? 或 ?填空 ( 1) 2 3 (3) (?1,1)

{x x ? 11}

(2) 3 (4) (1, 2)

{x x ? n2 ? 1, n ? N}
{( x, y) y ? x ? 1}

{ y y ? x2 }

5、说出下列集合的元素
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(1)小于 12 的质数构成的集合; (2)平方等于本身的数组成的集合; (3)由

|a| |b| ? (a, b ? R) 所确定的实数的集合; a b

(4)抛物线 y ? x2 ? 2 x ? 1 ( x 为小于 5 的自然数)上的点组成的集合。 6、试选择适当的方法表示下列集合: (1)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (2)二次函数 y ? x2 ? 4 的函数值组成的集合。

7、已知集合 A ? 2,3, a 2 ? 2a ? 3 , B ? ? a ? 3 , 2? ,已知 5 ? A 且 5 ? B ,求实数 a 的值。

?

?

升高一数学(新课)讲义第一讲参考答案(67 期)
经典精讲一:
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【例 1】解: (1)能; (2)不能; (3)能; (4)不能; (5)能; (6)能 【点评】判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准,按照这个确定的标 准,它要么是这个集合的元素,要么不是这个集合的元素,即元素确定性。 变式 1、B 【例 2】解:当 ?3 ? x ? 2 时,解得 x ? ?1 ,而此时 x 2 ? 4 x ? ?3 与集合中的元素具有互异性矛盾, 当 ?3 ? x 2 ? 4 x 时,解得 x ? ?3 或 x ? ?1(舍去) ,∵ x ? ?3 时, x ? 2 ? ?5 符合题意, x ? ? 3 ∴ 。 【点评】要认清集合中元素的属性,特别要注意元素的无序性和互异性。

?3 ? m ? 2 变式 2、解:由集合的互异性可知: ?3 ? m ? 2m ,得 m ? ?1 且 m ? 0 且 m ? 3 。 ? 2 ? m ? m ? 2m 经典精讲二: ?; 【例 3】解: (1) {0, 2, 4, 6,8,10} ; (2) ? (3) {(2,1)} 指南针,火药,印刷术 ,造纸术
【例 4】解: (1) {x ? R | x2 ? 1 ? 0} ; (2) {大于 3 的全体偶数构成的集合} ; (3) {( x, y) 3x ? 2 y ? 16, x ? N , y ? N} 。 【点评】用描述法表示集合的步骤为: ①在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围, ②画一条竖线, ③在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意对比(1)与(3)中的两个集合,一个是数集,一个是点集,有着本质 上不同,分析时一定要细心。

? ?y ? x ? 3 ? ? ? 变式 3、解: (1) ? 1,2,3,4,5?; (2) ?2,3?; (3) ?( x, y) | ? ? ? ?(1, 4)? ? ? ? y ? ?2 x ? 6? ?
变式 4、解: (1){x | x ? 2n, n ? Z } ; (2) {x | x ? 2n,1≤ n ≤ 4, n ? Z} ; (3){( x, y) x ? 0, 且y ? 0}

加油站: 1、解:∵ 1? A ,∴ a ? 1 或 a ? 2 ? 1 或 a 2 ? 3a ? 3 ? 1 ,
当 a ? 1 时,则 a ? 2 ? 3 , a 2 ? 3a ? 3 ? 7 ,符合题意; 当 a ? 2 ? 1 ,即 a ? ?1 时,则 a 2 ? 3a ? 3 ? 1 ,与集合中元素互异性矛盾, ∴ a ? ?1 不合题意; 当 a 2 ? 3a ? 3 ? 1 ,即 a ? ?1 或 a ? ?2 ,上面已讨论 a ? ?1 不合题意; 当 a ? ?2 时,则 a ? 2 ? 0 ,符合题意; 综上可知:符合题意的 a ? 1 或 a ? ?2 。 【点评】求解后一定要检验,关键是要兼顾集合中的元素具有互异性这一特征。 2、 C

高手过招:
【例 1】分析:三个元素的集合也可表示另外一种形式,说明这两个集合相同,而该题目从特殊
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元素 0 入手,可以省去繁琐的讨论。 解:依题意得

b ? 0 ,则 b ? 0 ,∴ a 2 ? 1 ,则 a ? ?1 , a 由集合中的元素具有互异性知 a ? ?1 ,∴ a 2011 ? b2011 ? ?1 。 6 6 ? ? 3? N ; 3 ? a 3 ?1 6 6 当 a ? ?1 时, ? ?N ; 3 ? a 3 ?1 6 6 当 a ? ?3 时, ? ? 1? N ; 3?a 6
当 a ? 1 时,

【点评】从特殊元素入手,灵活运用集合的三个特征. 【例 2】解:当 a ? 2 时,

6 6 ? ? 6? N ; 3?a 3?2 6 6 当 a ? 0 时, ? ? 2? N ; 3?a 3?0 6 6 当 a ? ?2 时, ? ?N ; 3? a 5 ∴ A ? ?2,1, 0, ?3? 。

【点评】对于含参数的集合问题通常运用分类讨论的思想。本题实际上是要求满足 6 被

3 ? a 整除的整数 a 的值,若将题目改为

A ? ??3, 0,1, 2, 4,5, 6,9? 。
练习、解:当 a ? 0 时, x ?

6 ? Z ,则集合 3?a

2 , A 中的元素有一个,符合题意, 3 ?a ? 0 9 9 当? ? a ≥ ,∴ a 的取值范围是 a ? 0 或 a ≥ 。 8 8 ?? ? 9 ? 8a ≤ 0

自我提升:
1、D 2、A 3、C 【解析】①③④正确,②错。 4、 (1) ?; (2) ?; (3) ?; (4) ? 5、 解: (1)2, 3, 5, 7,11 ; (2)0,1 ; (3)?2, 0, 2 所确定的实数的集合; (4)(0,1), (1, 0), (2,1), (3, 4), (4, 9)

? ? ?y ? x ? 3 ? ? 2 6、解: (1) ?( x, y) | ? ? ? ?(1, 4)? ; (2) { y | y ? x ? 4} ? { y | y ≥ ?4} ? ? y ? ?2 x ? 6? ? ? 7、解:∵ 5 ? A ,∴ a 2 ? 2a ? 3 ? 5 ,解得 a ? ?4或a ? 2 , 当 a ? ?4 时, A ? ?2,3,5? , B ? ?1, 2? , 5 ? B ,符合题意,
当 a ? 2 时, A ? ?2,3,5? , B ? ?5, 2? ,与 5 ? B 矛盾,∴ a ? 2 ,综上: a ? ?4

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