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2016新课标Ⅰ高考压轴卷 数学(理2) Word版含解析

时间:2016-05-17


2016 新课标Ⅰ高考压轴卷 理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答. 若在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 ) 1 已知集合 M={1,2,3,4},则集合 P={x|x∈M,且 2x?M}的子集的个数为( A.8 B .4 C.3 D.2 )

2. 复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于直线 y ? x 对称,且 z1 ? 3 ? 2i ,则 z1 ? z2 ? A. 13i B. ?13i C. 13 ? 12i D. 12 ? 13i 3.甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都空座,则有多少种 坐法( A.10 ) B.16 C.20 D.24

4.已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 a1 , a3 , a4 成等比数列,Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, 则

S3 ? S 2 的值为( S5 ? S3
A. ?2 5.过椭圆 +

) B. ?3 C.2 D.3

=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠ ) C. D.

F1PF2=60° ,则椭圆的离心率为( A. B.

6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜

1

方升, 其三视图如图所示(单位: 寸), 若 π 取 3, 其体积为 12.6(立方寸), 则图中的 x 为( A.1.2 B.1.6 C.1.8 D.2.4 )

)

7. 按右图所示的程序框图,若输入 a ? 110011 ,则输出的 b ? ( 开始 输 入

a b?0

i ?1
把 a 的右数第 i 位数字赋给 t

b ? b ? t ? 2i?1
i ? i ?1
i ? 6?
是 输出 b 结束 A. 45 8.函数 y ? sin(2 x ? A. B. 47 C. 49 D. 51 ) 否

?
3
B.

) 与 y ? cos(2 x ?

2? ) 的图象关于直线 x ? a 对称,则 a 可能是( 3

?
24

? 12

C.

9 已 知 函 数 f ? x ? ? 2016x ? log2016

?


? 8

D.

x2 ? 1 ? x ? 2016? x ? 2 , 则 关 于 x 的 不 等 式

?

11? 24

f ? 3x ? 1? ? f ? x ? ? 4 的解集为(
? 1 ? A、 ? ? , ?? ? ? 4 ? 1? ? B、 ? ??, ? ? 4? ?

C、 ? 0, ?? ?

D、 ? ??,0 ?

2x-y+6≥0, ? ? 10 已知实数 x,y 满足?x+y≥0, 若目标函数 z=-mx+y 的最大值为-2m+10,最小 ? ?x≤2, 值为-2m-2,则实数 m 的取值范围是( A.[-2,1] B.[-1,3] ) C.[-1,2] D.[2,3]

2

11. .过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右支上一点 P ,分别向圆 C1 : ( x ? 4)2 ? y2 ? 4 和圆 C2 : 15 2 2 ) ( x ? 4) ? y ? 1作切线,切点分别为 M , N ,则 | PM |2 ? | PN |2 的最小值为(
B. 13
x

A. 10

C. 16

D. 19

12. 已知函数 f ( x) ? x ? e a 存在单调递减区间,且 y ? f ( x)的图象在 x ? 0 处的切线 l 与曲线 y ? e 相切,符合情况的切线 l(
x

) (C) 有 1 条 (D)不存在

(A)有 3 条

(B)有 2 条

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题—21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答, 第 22 题—24 题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上) 13.已知 a ?

? a? 1 ? ? 的展开式中 x ?3 的系数为 ? 0 sin xdx ,则二项式 ? ? x?

?

5



??? ? 1 ??? ? ???? x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,A 为椭圆上一点,且 OB ? (OA ? OF1 ) , 14. F1,F2 分别为椭圆 2 36 27 ???? 1 ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? . OC ? (OA ? OF2 ) 则 | OB | ?| OC | = 2 15 过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、 AC 、 AD ,且两两夹角都为 60 ? ,若 球半径为 R ,求弦 AB 的长度____________.
16.设数列{an}是首项为 0 的递增数列, , 满足: 对于任意的 b∈[0, 1) ,fn(x)=b 总有两个不同的根,则{an}的通项公式为 _________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 12 分) 如图,点 P 在△ ABC 内,AB=CP=2,BC=3,∠ P+∠B=π,记∠B=α. (I)试用 α 表示 AP 的长; (II)求四边形 ABCP 的面积的最大值,并写出此时 α 的值.

18. (本小题满分 12 分) 近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇,2015 年双 11 期间,某购物平台的销 售业绩高达 918 亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体
3

系.现从评价系统中选出 200 次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为 0.6,对 服务的好评率为 0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次. (I)是否可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关? (II)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的 5 次购物中,设对商品和服务全 好评的次数为随机变量 X : ①求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列(概率用组合数算式表示) ; ②求 X 的数学期望和方差.

P( K 2 ≥ k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD.中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB⊥CD, AB= 2AD =2CD =2.E 是 PB 的中点. (I)求证;平面 EAC⊥平面 PBC; (II)若二面角 P-AC-E 的余弦值为

3 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) ,过其焦点作斜率为 1 的直线 l 交抛物线 C 于 M、N
2

4

两点,且 | MN |? 16 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)已知动圆 P 的圆心在抛物线 C 上,且过定点 D(0,4),若动圆 P 与 x 轴交于 A、 B 两点,且 | DA |?| DB | ,求

| DA | 的最小值. | DB |

21(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(x2﹣3x+3)?ex,设 t>﹣2. (Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f(x)在[﹣2,t]上为单调函数; (Ⅱ)求证:对于任意的 t>﹣2,总存在 x0∈(﹣2,t) ,满足 这样的 x0 的个数.

f ' ( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定 3 e x0

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本题 10 分)选修 4—1:平面几何选讲 如图, A , B 是 ? O 上的两点, P 为 ? O 外一点,连结 PA , PB 分别交 ? O 于点 C , D , 且 AB ? AD ,连结 BC 并延长至 E ,使∠ PEB ? ∠ PAB .
5

(1)求证: PE ? PD ; (2)若 AB ? EP ? 1 ,且 ?BAD ? 120? ,求 AP .

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2) 直线 l 的极坐标方程是 2 ? sin(? ?

? x ? 1 ? cos ? .以 O 为极点,x 轴的非 (? 为参数) ? y ? sin ?

?
3

射线 OM : ? ? ) ?3 3,

?
3

与圆 C 的交点为 O、 P,

与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 设不等式 2x ? 1 ? 1 的解集为 M , 且 a ? M , b ? M . (Ⅰ) 试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小; (Ⅱ) 设 max A 表示数集 A 中的最大数, 且 h ? max ? 求 h 的范围.

? 2 ? a

,

a?b ab

,

2 ? ?, b?

压轴卷理科数学答案及部分解析
6

题号 答案

1 B

2 A

3 C

4 C

5 D

6 B

7 D

8 A

9 A

10 C

11 B

12 D

1. 考察集合关系,易知 3,4 符合题意,两个元素共有四个真子集,选 B。 2. 复数 z1 在复平面内关于直线 y ? x 对称的点表示的复数 z2 ? 2 ? 3i ,所以

z1 ? z2 ? (3 ? 2i)(2 ? 3i) ? 13i . 选 A。
3. 考察排列组合的知识,本题用插空法:6 个空中选 3 个共 20 种。选 C 4. =,,,,故选 C 5. 解:由题意知点 P 的坐标为(﹣c, ∵∠F1PF2=60°,∴ = ,即 2ac= b2= )或(﹣c,﹣ (a2﹣c2) .∴ ) , e2+2e﹣ =0,

∴e=

或 e=﹣

(舍去) .故选 D.

6.B 由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.由题意得: 1 2 (5.4-x)×3×1+π ·( 2 ) x=12.6,x=1.6 7.【试题解析】D 经计算得 b ? 1? 20 ? 1? 21 ? 0 ? 22 ? 0 ? 23 ? 1? 24 ? 1? 25 ? 51 8.由题意, 设两个函数关于 x ? a 对称, 则函数 y ? sin(2 x ? 为 y ? sin(2(2a ? x) ?

?
3

) 关于 x ? a 的对称函数

?
3

) ,利用诱导公式将其化为余弦表达式为

y ? cos[

?
2

? (2(2a ? x) ?

?
3

)] ? cos(2 x ?

令 y ? cos(2 x ? 9. A 令,

? 2? 5? . 故选 A. ) ? cos(2 x ? ? 4a) ,则 a ? 24 3 6

5? ? 4a) , 6

f ? 3x ? 1? ? f ? x ? ? 4

等价于 g(3x+1)+g(x) > 0,且 g(x)= -g(-x),所以 g(x)为奇函数,易知 g(x)在定义域内单调 递增,g(3x+1))> -g(x), 即 g(3x+1))> g(-x),由奇函数性质 3x+1>-x,x >- 10.[解析] 作出不等式组所对应的平面区域,如图中阴影部分所示.

由目标函数 z=-mx+y 得 y=mx+z, 当直线 y=mx+z 在 y 轴上的截距最大时, z 最大,
7

直线 y=mx+z 在 y 轴上的截距最小时,z 最小. ∵目标函数 z=-mx+y 的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2, ∴当直线 y=mx+z 经过点 A(2, 10)时,z 取得最大值,经过点 C(2,-2)时, z 取得最小值, ∴直线 y=mx+z 的斜率 m 不小于直线 x+y=0 的斜率,不大于直线 2x-y+6=0 的斜率, 即-1≤m≤2.选 C 11. 由题可知, | PM |2 ? | PN |2 ? (| PC1 |2 ?4) ? (| PC2 |2 ?1) ,因此

| PM |2 ? | PN |2 ?| PC1 |2 ? | PC2 |2 ?3 ? (| PC1 | ? | PC2 |)(| PC1 | ? | PC2 |) ? 3 ? 2(| PC1 | ? | PC2 |) ? 3 ≥ 2 | C1C2 | ?3 ? 13 . 故选 B.
1 x 1 x 12.解析: f / ( x ) ? 1 ? e a ,依题意可知, f / ( x) ? 1 ? e a ? 0 在 (??, ??) 有解,① a ? 0 a a

时 ,
f / ( x? )

f / (x ? )

0 在 (??, ??)
x x a a? e ? l n a ? a

无 解 , 不 符 合 题 意 ; ② a?0 时 ,
?x ? la n a 符合题意,所以 a ? 0 .易知,曲线 y ? f ( x) 在

? 0

1 x ? 0 的切线 l 的方程为 y ? (1 ? ) x ? 1 . a
1 ? x0 e ? 1? ? ? a 假设 l 与曲线 y = e x 相切,设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 l : ? ?e x0 ? (1 ? 1 ) x ? 1 0 , ? a ?
消去 a 得 e x0 ? e x0 x0 ? 1 ,设 h( x) ? e x x ? e x ? 1 ,则 h/ ( x) ? e x x ,令 h/ ( x) ? 0 ,则 x ? 0 , 所以 h( x) 在 ( ??,0) 上单调递减,在 (0,??) 上单调递增,当 x ? ??, h( x) ? ?1 ,
x ? ??, h( x) ? ??

所以 h( x) 在 (0, ??) 有唯一解,则 e 以不存在. 13. -80 14. 6 15 a

x0

? 1 ,而 a ? 0 时, 1 ?

1 ? 1 ,与 e x0 ? 1 矛盾,所 a

?

2 6 R 3

16

a ? ? sin xdx ? ? cos x ? 2 ?3 C3 (?2)3 ? ?80. 0 0 13. 因为 ,所以展开式中 x 的系数为 5
14.6 取 A 为特殊点,A 取四个顶点任意一个皆可。 15.由条件可抓住 A ? BCD 是正四面体,

?

?

A 、 B 、 C 、 D 为球上四点,则球心在正四面
? 6 a ? R ,过点 B 、 C 、 D 的截面 3

体中心,设 AB ? a ,则截面 BCD 与球心的距离 d

8

圆半径 r

?

3 3 6 2 6 a ,所以 ( a) 2 ? R 2 ? ( a ? R) 2 得 a ? R. 3 3 3 3

16.解:∵a1=0,当 n=1 时,f1(x)=|sin(x﹣a1)|=|sinx|,x∈[0,a2], 又∵对任意的 b∈[0,1) ,f1(x)=b 总有两个不同的根,∴a2=π ∴f1(x)=sinx,x∈[0,π ],a2=π 又 f2(x)=|sin (x﹣a2)|=|sin (x﹣π )|=|cos |,x∈[π ,a3] ∵对任意的 b∈[0,1) ,f1(x)=b 总有两个不同的根,∴a3=3π … 又 f3(x)=|sin (x﹣a3)|=|sin (x﹣3π )|=|sin π |,x∈[3π ,a4] ∵对任意的 b∈[0,1) ,f1(x)=b 总有两个不同的根,∴a4=6π … 由此可得 an+1﹣an=nπ , ∴an=a1+(a2﹣a1)+…+(an﹣an﹣1)=0+π +…+(n﹣1)π = ∴ 17.解: (1)△ABC 与△APC 中,AB=CP=2,BC=3,∠ B=α ,∠ P=π ﹣α , 2 2 2 由余弦定理得,AC =2 +3 ﹣2×2×3cosα ,① 2 2 2 AC =AP +2 ﹣2×AP×2cos(π ﹣α ) ,② 2 由①②得:AP +4APcosα +12cosα ﹣9=0,α ∈(0,π ) , 解得:AP=3﹣4cosα ; (2)∵AP=3﹣4cosα ,α ∈(0,π ) , ∴S 四边形 ABCP=S△ABC﹣S△APC= ×2×3sinα ﹣ ×2×APsin(π ﹣α ) =3sinα ﹣(3﹣4cosα )sinα =4sinα ?cosα =2sin2α ,α ∈(0,π ) , 则当 α = 时,Smax=2

18.本小题主要考查统计与概率的相关知识,包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以 及数学期望和方差的求法. 本题主要考查学生对数据处理的能力. 【试题解析】(1) 由题意可得关于商品和服务评价的 2 ? 2 列联表: 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200

K2 ?

200 ? (80 ?10 ? 40 ? 70)2 ? 11.111 ? 10.828 , 150 ? 50 ?120 ? 80

可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关. (6 分)

2 ,且 X 的取值可以是 0,1,2,3,4,5. 5 3 5 2 3 1 2 3 4 ( ; ) P ( X ? 1) ? C5 ( )( ) ; P ( X ? 2) ? C52 ( ) 2 ( )3 ; 其 中 P ( X ? 0 ?) 5 5 5 5 5 2 3 2 3 2 3 3 2 P ( X ? 3) ? C5 ( ) ( ) ; P ( X ? 4) ? C54 ( ) 4 ( )1 ; P ( X ? 5) ? ( )5 . 5 5 5 5 5 X 的分布列为:
(2) 每次购物时,对商品和服务都好评的概率为
9

X
P

0

1

2

3
3 2 3 3 2 C5 ( )( ) 5 5

4

5

3 ( )5 5

2 3 C ( )( ) 4 5 5
1 5

2 3 C52 ( ) 2 ( )3 5 5

2 3 C54 ( ) 4 ( )1 5 5

2 ( )5 5

由于 X ~ B (5, ) ,则 EX ? 5 ?

2 5

2 ? 2; 5

2 2 6 DX ? 5 ? ? (1 ? ) ? . (12 分) 5 5 5
19(I)∵PC⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥PC, ∵AB=2,AD=CD=2,∴AC=BC=, 2 2 2 ∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC, 又 BC∩PC=C,∴AC⊥平面 PBC, ∵AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. ----------------------4 分 (II)如图,以 C 为原点,→ DA 、→ CD 、→ CP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向,建立空间直角坐标系,则 C (0,0,0), A (1,1,0),B (1,-1,0). 1 1 a 设 P (0,0,a)(a>0) ,则 E ( ,- , ), 2 2 2 y -----------6 分 → CA =(1,1,0),→ CP =(0,0,a), 1 1 a → CE =( ,- , ), 2 2 2 取 m=(1,-1,0),则 m·→ CA =m·→ CP =0,m 为面 PAC 的法向量. 设 n=(x,y,z)为面 EAC 的法向量,则 n·→ CA =n·→ CE =0, ?x+y=0, 即? 取 x=a,y=-a,z=-2,则 n=(a,-a,-2), ?x-y+az=0, |m·n| a 3 依题意,|cos <m,n>|= = 2 = ,则 a=1. |m||n| a +2 3 于是 n=(1,-1,-2),→ PA =(1,1,-2). 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ , -----------10 分

z P

E

x A D C B

2 则 sin θ =|cos <→ PA ,n>|= , 3
20. 解:(1) 设抛物线的焦点为 F (0,

p p ) ,则直线 l : y ? x ? , 2 2

p ? ?y ? x ? 2 2 由? 2 ,得 x ? 2 px ? p ? 0 ? x 2 ? 2 py ?

………………………2 分

? x1 ? x2 ? 2 p ,? y1 ? y2 ? 3 p , ? | MN |? y1 ? y2 ? p ? 4 p ? 16 ,? p ? 4
………………………4 分

10

? 抛物线 C 的方程为 x 2 ? 8 y

………………………5 分

2 (2) 设动圆圆心 P( x0 , y0 ), A( x1 ,0), B( x2 ,0) ,则 x0 ? 8 y0 ,

2 且圆 P : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? x0 ? ( y0 ? 4)2 ,
2 令 y ? 0 ,整理得: x 2 ? 2x0 x ? x0 ?16 ? 0 ,

解得: x1 ? x0 ? 4, x2 ? x0 ? 4 ,

………………………7 分

( x0 ? 4) 2 ? 16 | DA | ? ? | DB | ( x0 ? 4) 2 ? 16
当 x0 ? 0 时,

2 x0 ? 8 x0 ? 32 16 x0 , ? 1? 2 2 x0 ? 8 x0 ? 32 x0 ? 8 x0 ? 32 …………9 分

| DA | ? 1, | DB |

当 x0 ? 0 时,

| DA | 16 32 ? 1? ,? x0 ? 0 ,? x0 ? ?8 2, 32 | DB | x0 x0 ? 8 ? x0

| DA | 16 ? 1? ? 3 ? 2 2 ? 2 ? 1 ,? 2 ? 1 ? 1 | DB | 8?8 2
所以

| DA | 的最小值为 2 ? 1 . | DB |
x 2

………………………12 分
x

21 解: (1)因为 f′(x)=(2x﹣3)e +(x ﹣3x+3)e , 由 f′(x)>0?x>1 或 x<0, 由 f′(x)<0?0<x<1, ∴函数 f(x)在(﹣∞,0) , (1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减, 要使函数 f(x)在[﹣2,t]上为单调函数,则﹣2<t≤0,

(2)证:∵ 即为 x0 ﹣x0= (x)=
2 2

,∴ ,令 g(x)=x ﹣x﹣
2

, ,从而问题转化为证明方程 g

=0 在(﹣2,t)上有解并讨论解的个数, , ,

因为 g(﹣2)=6﹣ (t﹣1) =﹣ g(t)=t(t﹣1)﹣ = 所以当 t>4 或﹣2<t<1 时,g(﹣2)?g(t)<0, 所以 g(x)=0 在(﹣2,t)上有解,且只有一解,
11

当 1<t<4 时,g(﹣2)>0 且 g(t)>0, 但由于 g(0)=﹣ <0,所以 g(x)=0 在(﹣2,t)上有解,且有两解, 2 当 t=1 时,g(x)=x ﹣x=0,解得 x=0 或 1, 所以 g(x)=0 在(﹣2,t)上有且只有一解, 2 当 t=4 时,g(x)=x ﹣x﹣6=0, 所以 g(x)=0 在(﹣2,t)上也有且只有一解,

综上所述,对于任意的 t>﹣2,总存在 x0∈(﹣2,t) ,满足 且当 t≥4 或﹣2<t≤1 时,有唯一的 x0 适合题意, 当 1<t<4 时,有两个 x0 适合题意



22.【解析】试题分析: (1)根据圆的割线性质及平面几何知识可证明 ?PEC ? ?PDC , 从而得到 PE ? PD ; (2)可证 ?ABC ? ?APB ,则 AB2 ? AP ? AC ? AP( AP ? PC ) ,由
2 2 此可得 AP ? AB ? AP ? PC ? PD ? PB

? PD( PD ? BD) ,把已知条件代入整理即可求得 AP2 ? 2 ?
试题解析: (1)连结 DC , 因为 ?PCE ? ?ACB ? ?ADB , ?PCD ? ?ABD , 又因为 AB ? AD , 所以 ?ABD ? ?ADB , 所以 ?PCE ? ?PCD . 由已知 ?PEB ? ?PAB , ?PDC ? ?PAB , 所以 ?PEC ? ?PDC , 且 PC ? PC , 所以 ?PEC ? ?PDC , 所以 PE ? PD . (2) 因为 ?ACB ? ?PBA , ?BAC ? ?PAB 所以 ?ABC ∽ ?APB , 则 AB 所以 AP ? AB
2 2 2

3.

? AP ? AC ? AP ( AP ? PC),

? AP ? PC ? PD ? PB ? PD (PD ? BD) 3,

2 2 又因为 PD ? AB , AB ? 1 , 所以 AP ? 2 AB ? AB ? BD ? 2

所以 AP

? 2?

3.

所以 AP ?

2 ? 2

6

.

12

考点:三角形相似与全等的证明以及圆的相关性质. 23. (1) ? ? 2 cos ? ; (2)线段 PQ 的长为 2 . 【解析】 试题分析: (1)由圆 C 的参数方程 ?

? ?x ? 1? c o s ,化为普通方程为 (? 为 参 数 ) ? ?y ? si n

? x ? 1?

2

? y 2 ? 1 ,利用 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,即得圆 C 的极坐标方程; (2)求线段 PQ

的长,由于 O, P, Q 三点共线,故 PQ ? OP ? OQ ,可设 P

? ?1,?1 ? , Q ? ?2 ,?2 ? ,则

? ?1 ? 2 cos ?1 ? 可 求 得 ?1 的 值 , 由 PQ ? ?1 ? ?2 , 关 键 是 求 出 ?1 , ?2 的 值 , 由 ? ? ?1 ? ? 3 ?

? ? 2 ? 2 sin(? 2 ? ) ? 3 3 ? ? 3 可求得 ?2 的值,从而可解. ? ? ? ?2 ? ? 3 ?
2 试题解析: (1)圆 C 的普通方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y?? sin 2

? ,所以圆 C

的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ;

? ?1 ? 2 cos ?1 ? ?1 ? 1 ? ? (2) 设 ? ?1 ,?1 ? 为点 P 的极坐标, 则有 ? ? ,解得 ? ? ,设 ? ?2 ,?2 ? 为点 Q 的 ?1 ? ?1 ? ? ? 3 3 ? ?

? ? 2 ? 2 sin(? 2 ? ) ? 3 3 ? ?2 ? 3 ? ? ? 3 极坐标,? , 解得 ? ? ,由于 ?1 ? ?2 ,所以 PQ ? ?1 ? ?2 ? 2 , ? ? ? 2 ? ? ?2 ? 3 ? ? 3 ?
所以线段 PQ 的长为 2 .

13

考点:参数方程,普通方程,与极坐标方程互化,极坐标方程的应用. 24(Ⅰ) M ? ?x | 0 ? x ? 1 ?, a, b ? M , ? 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1

ab ? 1 ? a ? b ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ? ab ? 1 ? a ? b
(Ⅱ) h ?

2 a

,h ?

a?b ab

,h ?

2 b

4(a ? b) 4(a 2 ? b 2 ) 4 ? 2ab h ? ? ? ?8 ab ab ab
3

h ? ?2,???

14


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