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浅谈构造法及在初等数学中的应用

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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 浅谈构造法及在初等数学中的应用 作者:兰婷 来源:《读写算》2012 年第 74 期 所谓构造法,即构造性解题方法,根据对题设条件或结论充分细致的分析,抓住问题的特 征,联想熟知的数学模型,然后变换命题,恰当地构造辅助元素,它可以是图形、函数、方程 等,借助于该数学模型认识与解决数学问题的一种思想方法。 构造法”包含下述两层意思:(1)利用抽象问题的普遍性,把实际问题转化为数学模型; (2)利用具体问题的特殊性,为待解决的问题设计一个合理的框架。 构造法打破了基本的“要什么,求什么,给什么,用什么”的常规解题思路和解题模式,应 用它解题,则另辟蹊径,它是一种重要而灵活的思维方式,没有固定的模式,常常表现出简 捷、明快、精巧、新颖等特点,使数学解题突破常规,具有很强的创造性。它的应用十分广 泛,特别是对有些技巧性强的题目,这时利用构造法往往能达到意想不到的效果,它是一种探 索和创新,适当的构造可以给人带来耳目一新的解题感受,能提高学生的解题能力,还可以让 学生体会到数学灵巧之美。 1.构造方程法 构造方程就是构造一些特殊的方程,将一些“相等关系”转化为“不等关系”,“不等关系”转 化为“相等关系”。 【例】设 a1,a2,…,an 为任意正数,证明对任意正整数 n 不等式(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)均成立 证明:原不等式即 4(a1+a2+…+an)2-4n(a12+a22+…+an2)≤0 由此联想到根的判别式而构造一元二次方程: (a12+a22+…+an2)x2+2(a1+a2+…+an)x+n=0 (*) 因方程左边=(a1x+1)2+(a2x+1)2+…+(anx+1)2≥0 当 a1,a2,…,an 不全相等时,a1x+1,a2x+1,…,anx+1 至少有一个不为 0, 方程(*)左边恒为正数,方程(*)显然无解。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 当 a1=a2=…=an 时,方程(*)有唯一解 故 Δ=4(a1+a2+…+an)2-4n(a12+a22+…+an2)≤0 即(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)对任意正整数 n 均成立。 通过以上例题考察题设条件中的数量关系和结构特征,巧妙设计新的方程,创立新的问题 情境,灵活快速地解决问题,解出“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的欢快心情。 2.构造函数法 函数在我们整个中学数学中占有相当的内容,学生对于函数性质也比较熟悉。解题过程中 不断挖掘学生的潜在意识而不让学生的思维使注意到某一点上,把自己的解题思路搁浅了。启 发学生思维多变,从而达到培养学生发散思维。 【例】设 a,b,c 为三角形三边长,求证: 证明:构造函数 显然 f(x)在(0,+∞)上是增函数 ∵a,b,c 是三角形三边长,∴c ∴f(c) ∴ 将证明的不等式问题转化为函数问题,关键在于转化为什么样的函数,这就要从被证的不 等式的形状入手,联想相应的基本函数,然后利用该函数的性质加以证明。 3.构造对偶式 数学美学思想无处不在,对称美在数学解题中具有重要作用,构造对偶式就是在数学解题 中合理地构造形式相似并且有某种对称关系的一对对偶关系式,然后进行适当的运算,即达到 解决数学问题的目的,又对学生进行审美观教育,培养学生的数学美学思维。 【例】对任意自然数 n,求证: 证明:设 构造对偶式: 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ∵ 即 an>bn,an>cn ∴an3>anbncn ∴ 即: 此题看似非常繁琐,但通过构造已知式的对偶式,问题就巧妙地解决了。所以说构造对偶 式对解决这类问题就显得十分简便了。 4 构造几何图形法 华罗庚说过:“数离开形少直观,形离开数难入微。”利用数形结合的思想,可沟通代数, 几何的关系,实现难题巧解在解题时若以数形结合的思想作指导,对于某些较复杂的问题,通 过构造图形启发思维,借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷. 【例】实数 x,y 满足 4x2+4y2-5xy=5,求 S=x2+y2 的极值。 分析:首先观察约束条件和目标函数,发现它们都是二次曲线。 令 x=x′+y′,y=x′-y′,将约束条件化为 目标函数化为 因此其几何模型为:动圆与定椭圆相 切时,动圆半径平方的 2 倍,即为目标函数的最小值,也即为定椭圆的长半轴、短半轴平方的 两倍。如图所示。 然后,由建立的几何模型,易求得: 此题首先观察命题的约束条件和目标函数的形状与结构形似联想,构造几何模型,即由数 及形;然后根据几何模型的特征,求解极值,即由形促数。这种构造的重要之点在于,善于发 掘题设条件中的几何意义,从而构造出几何图形,把代数问题转化为几何问题来解决. 巧用构造法来证明,是通过建立和构造模型创造性的解题,是不同于常规解法的创造性思 维。由于构造法具有非常规性,构造内容也变化不定,灵活性强,有时需要构造一个式子,有 时需时构造图形,有时需要构造方程,有时需要构造函数,复数或向量,这给学生的创新思维 提供了很大的培养和训练空间,需要学生不断去探索和总结,当然,创造性思维的培养并不是 一朝一夕的事,也不是一章一节之内容,而是应该长期坚持,立足课堂主战场,注重教材中潜 在内涵的挖掘,引导学生的科学研究的方式去探索,标新立异。因此,我们应以关注学生的创 新思维发展出发,着眼于学生创新意识的培养,鼓励学生主动参与,自主探讨,让他们在观 察、分析、思考、探索和运用中学习、领悟、积累和发展。

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