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2010年河北省大学生数学竞赛(非数)试题及答案

时间:2012-09-14


2010 年河北省大学生数学竞赛(非数)试题及答案
考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟
1 n
2

满分:100 分

一、(本题满分 10 分) 求极限 lim

n? ?

( n

2

?1 ?

n

2

?2

2

?? ?

n

2

? ( n ? 1) ) 。
2

【解】 S n ?

1 n
2

( n

2

?1 ?

n

2

?2

2

?? ?

n

2

? ( n ? 1) )
2

?

1

1 2 ( 1? ( ) ? n n

2 2 1? ( ) ?? ? n

1? (

n ?1 n

) )

2

?

1

0 2 ( 1? ( ) ? n n

1 2 1? ( ) ? n

2 2 1? ( ) ?? ? n

1? (

n ?1 n

) )?
2

1 n

?

?

n ?1

i?0

i 2 1 1 1? ( ) . ? n n n

lim S n ? lim [ ?
n? ?

n ?1

n? ?

i?0

i 2 1 1 1? ( ) . ? ] n n n

因 1 ? x 在 [ 0 ,1] 上连续,故 ?
2

1

1 - x dx 存在,且

2

0

?

1

1 - x dx = lim

2

0

n? ?

?

n ?1

i?0

i 2 1 1? ( ) . , n n

所以, lim S n ?
n? ?

?

1

1 - x dx ? lim
2

1 n

0

n? ?

?

?

1

1 - x dx ?
2

?
4



0

二、(本题满分 10 分) 请问 a , b , c 为何值时下式成立 lim

1 sin x ? ax

x? 0

?

x

t dt 1? t
2

2

? c.

b

【解】注意到左边得极限中,无论 a 为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必 须为无穷小量,于是可知必有 b ? 0 ,当 b ? 0 时使用洛必达法则得到

lim

1 sin x ? ax

x? 0

?

x

t dt 1? t
2

2

? lim

x

2

0

x? 0


2

(cos x ? a ) 1 ? x

由上式可知:当 x ? 0 时,若 a ? 1 ,则此极限存在,且其值为 0;若 a ? 1 ,则
2 2

lim

1 sin x ? ax

x? 0

?

x

t dt 1? t
2

? lim

x

b

x? 0

? ?2 ,
2

(cos x ? 1 ) 1 ? x

综上所述,得到如下结论: a ? 1, b ? 0 , c ? 0 ; 或 a ? 1, b ? 0 , c ? ? 2 。

?

三、(本题满分 10 分) 计算定积分 I ?

?

2

dx 1 ? tan
2010


x

0

【解】 作变换 x ?

?
2

? t ,则

I ?

?? 1 ? cot
2

0

? dt
2010

?

? t

?

2

tan

2010

tdt
2010

?

0

1 ? tan

? t

?

2

(1 ?

1 1 ? tan
2010

?

) dt ? t

0

?

2

dt ? I

0

?

2I ?

?

2

dt ?

?
2



0

所以, I ?

?
4



四、(本题满分 10 分) 求数列 { n

?

1 n

} 中的最小项。

【解】 因为所给数列是函数 y ? x 又y ? x
? 1 x ?2

?

1 x

当x分别取 1, 2 , 3 , ? , n , ? 时的数列。

(ln x ? 1) 且令 y ? ? 0 ? x ? e ,

容易看出:当 0 ? x ? e 时, y ? ? 0 ;当 x ? e 时, y ? ? 0 。 所以, y ? x
? 1 x

有唯一极小值 y ( e ) ? e
1 2 ?
3

?

1 e


? 1 n

而2 ? e ? 3 ?

1 3

,因此数列 { n

} 的最小项
3

1 3



五、(本题满分10 分) 求 ?
n?0 ? n

?

e

?n

n ?1



【解】 考虑幂级数 ?
n?0

x

n ?1



其收敛半径为 1 ,收敛区间为 ( ? 1,1) , 当 x ? ? 1 时, ?
n?0 ? ?

x

n

n ?1 x
n

? ( ? 1)

n

?
n?0

?

1 n ?1

收敛;

当 x ? 1 时, ?
n?0

n ?1

?

?
n?0

?

1 n ?1

发散,因此其收敛域为 [ ? 1,1) 。

设其和函数为 s ( x ) ,则
x

? x ? ( ? 1,1) , ? s ( t ) dt ?
0

? ?
0

x

?

t

n

n?0

n ?1

dt ?

??
n?0

?

x

t

n

0

n ?1

dt ?

?
n?0

?

x

n ?1

?

x 1? x



于是,

s(x) ? (

x 1? x

)? ?

1 (1 ? x )
2

.

故, ?
n?0

?

e

?n

n ?1

? s (e

?1

) ? (e

e

2 2

?1


x

)

六、(本题满分10 分) 设 f ( x ) ? sin x ? 【解】 原方程可写为

?

( x ? t ) f ( t ) dt ,其中 f 为连续函数,求 f ( x )



0

f ( x ) ? sin x ? x ? f ( t ) dt ?
0

x

?

x

tf ( t ) dt ,

0

上式两端对 x 求导得
f ? ( x ) ? cos x ?

?

x

f ( t ) dt ? xf ( x ) ? xf ( x ) ? cos x ?

0

?

x

f ( t ) dt

0

(*) 两端再对 x 求导得
f ?? ( x ) ? ? sin x ? f ( x )



f ?? ( x ) ? f ( x ) ? ? sin x

这是一个二阶线性常系数非齐次方程,由原方程知 f ( 0 ) ? 0 ,由(*)式知 f ? ( 0 ) ? 1 。 特征方程为
? ? 1 ? 0 ,? ? ?i
2

齐次通解为

y ? C 1 sin x ? C 2 cos x
y * ? x ( a sin x ? b cos x ) ,代入 f ?? ( x ) ? f ( x ) ? ? sin x 得

设非齐次方程特解为
a ? 0, b ? 1 2


x 2 cos x

则非齐次方程通解为 y ? C 1 sin x ? C 2 cos x ? 由初始条件
C1 ? 1 2

y ( 0 ) ? 0 和 y ? ( 0 ) ? 1 可知,
,C2 ? 0 。

七、(本题满分10 分) 在过点 O(0,0) 和 A( ? ,0) 的曲线族 y ? asin x (a ? 0) 中,求一条曲线

L ,使沿该曲线从O 到A 的积分 ? (1 ? L
【解】 I ( a ) ?

y ) dx ? ( 2 x ? y ) dy 的值最小。
3

?

(1 ? y ) dx ? ( 2 x ? y ) dy ?
3

L

?

?

[1 ? a sin
3

3

x ? ( 2 x ? a sin x ) a cos x ]dx

0

? ? ? 4a ?

4 3

a 。

3

令 I ?( a ) ? ? 4 ? 4 a

2

? 0 , a ? 1 ( a ? ? 1 舍去 ) ; I ? (1) ? 8 ? 0 , I ( a ) 在 a ? 1 得 又 则

处取极小值,且a =1是I (a)在(0,+∞)内的唯一极值点,故a =1时I (a)取最小值,则所求曲 线为 y ? sin x (0 ? x ? ? ) 。 八、(本题满分10 分) 设f (x)在[?1,1]上有二阶导数,且 f (1) ? f (1) ? 1 , f ' ' ( x ) ? 证明: 1. f ' ( x ) ?
1 2 1 2



,x∈[?1,1]。

2. f (x) = x在[?1,1]上有且只有一个实根。 【证明】 1. 由泰勒公式 f ( ? 1) ? f ( x ) ? f ? ( x )( ? 1 ? x ) ?
f (1) ? f ( x ) ? f ? ( x )( 1 ? x ) ? f ?? ( ? ) 2 f ?? (? ) 2 (1 ? x ) , ? ? ( x ,1)
2

( ? 1 ? x ) , ? ? ( ? 1, x )
2

两式相减并整理得
2 f ?( x ) ? (1 ? x )
2

f ?? ( ? ) ?

(1 ? x )
2

f ?? (? )

2 (1 ? x )
2

2 (1 ? x )
2

于是,

f ?( x ) ?

f ?? ( ? ) ?

f ?? (? ) ?

(1 ? x ) ? (1 ? x )
2 2

4

4

8

由于 max

(1 ? x ) ? (1 ? x )
2 2

?1? x ?1

?

1 2



8

因此, | f ' ( x ) |? 1, ? [ ? 1,1] 。 x 2. 令 F ( x ) ? f ( x ) - x , x ? [ ? 1,1] 。则 F ( ? 1) ? f ( ? 1) ? 1 ?
3 2

, F (1) ? f (1) ? 1 ? -

1 2



但F(x)在[?1,1]上连续,由介值定理知,F(x)在[?1,1]上至少有一个零点。 又由1可知 F ' ( x ) ? f ' ( x ) - 1 ? 0 ,故 F ( x ) 在[?1,1]上严格单调,从而至多有一个零点。 这样F(x)在[?1,1]上有且只有一个零点,即f (x) = x 在[?1,1] 上有且只有一个实根。
? 九、(本题满分10 分) 设 f ( x ) 在 (- ? , ? ) 为连续函数,则 ? x f ( x ) dx ?
3 2 0 a

1 2

?

a

2

xf ( x ) dx 。

0

【解】令 ? ( x ) ?
? (x) ?
1

?

x

t f ( t ) dt , 则 ? ? ( x ) ? x f ( x ),
3 2
3 2
2

0
x

? 2

tf ( t ) dt ,则? ? ( x ) ?

1 2

? x f ( x ) ? 2 x ? x f ( x ),
2 2 3 2

0

所以 ? ? ( x ) ? ? ? ( x ) 即 ? ( x ) ? ? ( x ) ? c c为常数。 而 ? ( 0 ) ? ? ( 0 ) ? 0 ,? ? ( x ) ? ? ( x ) 特别地

? (a ) ? ? (a )
3 2

?

a

x f ( x ) dx ?

1 2

0

?

a

2

xf ( x ) dx 。

0

十、(本题满分10 分) 设 f ( x ) 是[0,1]上的连续函数,证明

?
【证法一】 设 D ? {(x, y) | 以

1

e

f (x)

dx

0

?

1

e

? f (y)

dy ? 1 。
f ( x )? f ( y )

0

0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1} 。由于 e

? 1 ? f ( x ) ? f ( y ) ,所

?

1

e

f (x)

dx

0

?

1

e

? f ( y)

dy ?

0

?? e
D

f ( x )? f ( y )

dxdy

? ?

?

1

dx
1

0

?

1

(1 ? f ( x ) ? f ( y )) dy dy ?

0 1

?

dx

0

?

0

?

1

f ( x ) dx

0

?

1

dy ?

0

?

1

dx

0

?

1

f ( y ) dy

0

? 1。

【证法二】

?

1

e

f (x)

dx

0

?

1

e

? f ( y)

dy ?

0

?? e
D

f ( x )? f ( y )

dxdy

?

?? e
D

f ( y )? f ( x )

dxdy

?

1

?? ( e 2
D

f ( x )? f ( y )

?e

f ( y )? f ( x )

)d x d y

?

1 2

??
D

2 dxdy ? 1 .


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