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盐城市2016届高三年级第一学期期中数学试卷word版

时间:2015-11-14


盐城市 2016 届高三年级第一学期期中考试 数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上. 1.若集合 A ? (??, m] , B ? x ?2 ? x ? 2 ,且 B ? A ,则实数 m 的取值范围 是 ▲ .

?

?

2.命题“ ?x ? (0,

?
2

) , sin x ? 1 ”的否定是



命题.(填“真”或“假” )

3. 设点 P(m, 2) 是角 ? 终边上一点,若 cos ? ? 4.函数 f ( x) ? e x ? x 的单调递增区间为 ▲

2 ,则 m ? 2
.



.

5.若函数 f ( x) ? cos x ? x 的零点在区间 (k ? 1, k ) ( k ? Z )内,则 k = 6.设函数 f ( x) ? lg( x ? 1 ? mx 2 ) 是奇函数,则实数 m 的值为 7.已知直线 x ? 值为 ▲ ▲ .



.

?
3

过函数 f ( x) ? sin(2x ? ? ) (其中 ? .

?
2

?? ?

?
2

)图象上的一个最高点,则 f (

5? )的 6

8.在锐角 ?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,则 AC 的长为 2
▲ P

▲ . C

.

9.设向量 OA ? (5 ? cos? , 4 ? sin ? ) , OB ? (2,0) ,则 | AB | 的取值范围是 10.如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 4 ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 点 P 是 DC 边的中点,则 PA ? PB 的值为
11.若函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x 在 x ?
2

D



. A
第 10 题图

1 处取得极 2

B

大值,则正数 a 的取值范围是



.

12.设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, S3 , S9 , S6 成等差数列,且 a2 ? a5 ? 2am , 则m? ▲ .
n

13.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (?1) ? 数 p 的取值范围是 14. 设函数 f ( x) ?| e ? e
x 2a

1 ,若存在正整数 n ,使得 (an?1 ? p) ? (an ? p) ? 0 成立,则实 n



.

| ,若 f ( x) 在区间 (?1,3 ? a) 内的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂
▲ .

直,则实数 a 的取值范围是

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二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 f ( x) ? ?1 ,求 cos(

2? ? 2 x) 的值. 3

16.(本小题满分 14 分)

2 设集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B ? ?x || x ? a |? 1 ?.

?

?

(1)若 a ? 3 ,求 A ? B ; (2)设命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,已知 A ?

?
4

,a ? 3.

3 ,求边 c 的长; 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)若 | CA ? CB |? 6 ,求 CA ? CB 的值.
(1)若 sin B ?

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18.(本小题满分 16 分) 如图,河的两岸分别有生活小区 ABC 和 DEF ,其中 AB ? BC , EF ? DF , DF ? AB ,C, E, F 三点共线, FD 与 BA 的延长线交于点 O ,测得 AB ? 3km , BC ? 4km , DF ?

9 km , FE ? 3km , 4

3 km . 若以 OA, OD 所在直线分别为 x, y 轴建立平面直角坐标系 xOy ,则河岸 DE 可看成是 2 x?b 曲线 y ? (其中 a , b 为常数)的一部 分,河岸 x?a y AC 可看成是直线 y ? kx ? m(其中 k , m 为常数) 的 EC ?
一部分. (1)求 a, b, k , m 的值; (2) 现准备建一座桥 MN , 其中 M , N 分 F M D N E C 别 在

DE, AC 上,且 MN ? AC ,设点 M 的

横坐标为 关 系 式 B
第 18 题图

t.
①请写出桥 MN 的长 l 关于 t 的函数 l ? f (t ) ,并注明定义域; ②当 t 为何值时,l 取得最小值?最小 少?

O

A

x

值 是 多

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x . (1)求函数 f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;

k 1 在 [ 2 , ?? ) 上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围; x e 1 k ex (3)是否存在实数 k ,使得对任意的 x ? ( , ??) ,都有函数 y ? f ( x) ? 的图象在 g ( x) ? 的图 2 x x 象的下方?若存在,请求出最大整数 k 的值;若不存在,请说理由.
(2)若函数 y ? f ( x) ? (参考数据: ln 2 ? 0.6931 , e 2 ? 1.6487 ).
1

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20. (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 满足

(1)若 p ? 1 , r ? 0 ,求证: ?an ? 是等差数列; (2)若 p ?

Sn ,其中 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和. ? pn ? r ( p, r 为常数) an

1 , a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; 3 (3)若 a2015 ? 2015a1 ,求 p ? r 的值.

盐城市 2016 届高三年级第一学期期中考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. [2, ??) 8. 2. 假 9. [4, 6] 3. 10. 7

2

4. (0, ??) 11. (0, 2)

5. 1 12. 8

6. 1 13. ( ?1, )

7. -1

7

3 2

14. ( ?

1 1 , ) 2 2

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内.

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2 3 cos 2 x 1 ? 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 6 2 2? ?? . 所以 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2 ? 1 ? 1 (2)因为 f ( x) ? ?1 ,所以 sin(2 x ? ) ? ? ?1 ,即 sin(2 x ? ) ? ? , 6 2 6 2 ? ? ? 1 ? 2? ? ?? 所以 cos ? ? 2 x ? ? cos ? ? (2 x ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? ? . 6 ? 6 2 ? 3 ? ?2 2 16.解: (1)解不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 ?3 ? x ? 1 ,即 A ? ? ?3,1? ,
15.解: (1)因为 f ( x) ? 当 a ? 3 时,由 x ? 3 ? 1,解得 ?4 ? x ? ?2 ,即集合 B ? ? ?4, ?2? , 所以 A ? B ? ? ?4,1? ; (2)因为 p 是 q 成立的必要不充分条件,所以集合 B 是集合 A 的真子集. 又集合 A ? ? ?3,1? ,B ? (?a ? 1, ?a ? 1) ,

…………2 分 …………6 分 …………8 分 …………10 分 …………14 分 ..............2 分 ..............4 分 ..............6 分 ...............8 分 ..............10 分

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??a ? 1 ? ?3 ??a ? 1 ? ?3 或? , ??a ? 1 ? 1 ??a ? 1 ? 1 解得 0 ? a ? 2 , 即实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 .
所以 ? 17.解: (1)在 ?ABC 中,因为 sin B ? 所以 cos B ?

..............12 分 ...............14 分

? 3 2 ,所以 B ? A ? , ? sin A ? 4 5 2
...............2 分

4 , 5

2 4 ? ? 2 5 a c 3 ? 由正弦定理 ,得 sin A sin C 2 2 ??? ? ??? ? 2 (2)因 CA ? CB ? 6 ,得 b ? 3 ? 2
所以 sin C ? sin( A ? B) ?
2

2 3 7 2 , ? ? 2 5 10 7 3 c ,所以 c ? . ? 5 7 2 10 3b cos C ? 6 ①,
2

...............4 分 ...............6 分

...............8 分

由余弦定理,有 b ? 3 ? 2 3b cos C ? c ①+②,得 c ? 2b ,
2 2

②, ...............10 分 ...............12 分 ……………14 分

再由余弦定理,有 b ? c ? 2bc ? 3 ,解得 b ? 3, c ? 6 ,

??? ? ??? ? ? 2 2 2 所以 a ? b ? c ,即 C ? ,所以 CA ? CB ? 0 . 2
(说明:其它方法类似给分)

? 7 b ? ? 7 x?b ? 4 a 18.解: (1)将 D (0, ), E (3, 4) 两点坐标代入到 y ? 中,得 ? , 4 x?a ?4 ? 3 ? b ? 3? a ?
解得 ?

……………2 分

?a ? ?4 . ?b ? ?7
3 k?m 2 , 9 k?m 2

…………3 分

? 0? ? 3 9 ? 再将 A( , 0), C ( , 4) 两点坐标代入到 y ? kx ? m 中,得 ? 2 2 ?4 ? ? ? 4 ? ?k ? 解得 ? 3. ? ?b ? ?2
(2)①由(1)知直线 AC 的方程为 y ? 设点 M 的坐标分别为 M (t ,

…………5 分

…………6 分

t ?7 ) ,则利用点到直线的距离公式, t ?4

4 x ? 2 ,即 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 . 3

…………7 分

t ?7 ?6| 1 9 t ? 4 l ? ? | 4t ? ?9|, 得 2 2 5 t ?4 4 ?3 又由点 D, E 向直线 AC 作垂线时,垂足都在线段 AC 上,所以 0 ? t ? 3 , 1 9 ?9 |,0 ? t ? 3. 所以 l ? f (t ) ? | 4t ? 5 t?4 | 4t ? 3 ?
高三数学答案 第 5 页 共 11 页

…………9 分

…………10 分

9 (2t ? 5)(2t ? 11) ? 9, 0 ? t ? 3 ,因为 g ?(t ) ? , t ?4 (t ? 4) 2 5 11 所以由 g ?(t ) ? 0 ,解得 t ? 或 t ? (舍) , …………12 分 2 2 5 5 所以当 t ? (0, ) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递增;当 t ? ( , 3) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递减. 2 2 5 5 从而当 t ? 时, g (t ) 取得最大值为 g ( ) ? ?5 , …………14 分 2 2 5 即当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . …………16 分 2 方法二:因为 0 ? t ? 3 ,所以 1 ? 4 ? t ? 4 , 9 9 9 ? 9 ? 4(t ? 4) ? ? 7 ? 7 ? [4(4 ? t ) ? ] 则 4t ? …………12 分 t ?4 t ?4 4?t 9 ? 7 ? 2 4(4 ? t ) ? ? 7 ? 2 ? 6 ? ?5 , 4?t 9 5 当且仅当 4(4 ? t ) ? ,即 t ? 时取等号, …………14 分 4?t 2 5 即当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . …………16 分 2 9 ? 9 ? 0, 方法三:因为点 M 在直线 AC 的上方,所以 4t ? t?4 1 9 ? 9) , 0 ? t ? 3 , 所以 l ? f (t ) ? ? (4t ? …………12 分 5 t ?4
② 方法一:令 g (t ) ? 4t ? 以下用导数法或基本不等式求其最小值(此略,类似给分). …………16 分 …………12 分

DE 相切, 方法四:平移直线 AC 至 AC 1 1 ,使得 AC 1 1 与曲线
则切点即为 l 取得最小值时的 M 点.

x?7 5 3 3 4 ? ,且 0 ? t ? 3 ,解得 t ? , …………14 分 由y? ,得 y ? ? ,则由 k ? 2 2 x?4 2 ( x ? 4) (t ? 4) 3 5 故当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . …………16 分 2 1 19. 解: (1)因为 f ?( x) ? ,所以 f ?(1) ? 1 ,则所求切线的斜率为 1 , ……………2 分 x 又 f (1) ? ln1 ? 0 ,故所求切线的方程为 y ? x ? 1 . ................4 分 k k k ?1 ? (2)因为 f ( x) ? ? ln x ? ,则由题意知方程 ln x ? ? 0 在 ? 2 , ?? ? 上有两个不同的根. x x x ?e ? k 由 ln x ? ? 0 ,得 ? k ? x ln x , ……………6 分 x 1 令 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? ln x ? 1,由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? . e ? 1 1? ?1 ? 当 x ? ? 2 , ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x ? ? , ?? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, ?e e ? ?e ? 1 1 1 y 所以当 x ? 时, g ( x) 取得最小值为 g ( ) ? ? . ……………8 分 e e e 1 2 1 1 又 g ( 2 ) ? ? 2 , g (1) ? 0 (图象如右图所示) , O e e e e
2

高三数学答案 第 6 页 共

2 ? 2页 11 e 1 1 ? 1e

1

x

1

所以 ?

1 2 2 1 ? ? k ? ? 2 ,解得 2 ? k ? . e e e e

……………10 分

1 k ex (3)假设存在实数 k 满足题意,则不等式 ln x ? ? 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 x x 1 x 即 k ? e ? x ln x 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 x 令 h( x) ? e ? x ln x ,则 h?( x) ? e x ? ln x ?1 , ……………12 分 1 x 令 r ( x) ? e x ? ln x ? 1,则 r ?( x) ? e ? , x 1 1 1 1 因为 r ?( x) 在 ( , ??) 上单调递增, r ?( ) ? e 2 ? 2 ? 0 , r ?(1) ? e ? 1 ? 0 ,且 r ?( x) 的图象在 ( ,1) 上 2 2 2 1 1 x 不间断,所以存在 x0 ? ( ,1) ,使得 r?( x0 ) ? 0 ,即 e 0 ? ? 0 ,则 x0 ? ? ln x0 , 2 x0 1 所以当 x ? ( , x0 ) 时, r ( x) 单调递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, r ( x) 单调递增, 2 1 1 x 则 r ( x) 取到最小值 r ( x0 ) ? e 0 ? ln x0 ? 1 ? x0 ? ? 1 ? 2 x0 ? ? 1 ? 1 ? 0 , ……………14 分 x0 x0 1 所以 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在区间 ( , ??) 内单调递增. 2 1 1 1 1 1 1 所以 k ? h( ) ? e 2 ? ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 2 k 所以存在实数 满足题意,且最大整数 k 的值为 1 . ……………16 分 20.解: (1)证明:由 p ? 1 , r ? 0 ,得 Sn ? nan ,所以 Sn?1 ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) ,
两式相减,得 an ? an?1 ? 0(n ? 2) ,所以 ?an ? 是等差数列. ……………4 分 ……………5 分 (2)令 n ? 1 ,得 p ? r ? 1,所以 r ?

2 , 3 1 2 1 1 则 S n ? ( n ? ) an ,所以 S n ?1 ? ( n ? )an ?1 (n ? 2) ,两式相减, 3 3 3 3 an n ?1 得 ? (n ? 2) , an?1 n ? 1 a a a a a 3 4 5 n ?1 n(n ? 1) 所以 2 ? 3 ? 4 ? n ? ? ? ? ,化简得 n ? (n ? 2) , a1 a2 a3 an?1 1 2 3 n ? 1 a1 1? 2
所以 an ? n2 ? n(n ? 2) , 又 a1 ? 2 适合 an ? n ? n(n ? 2) ,所以 an ? n ? n .
2 2

……………7 分

……………9 分 ……………10 分

(3)由(2)知 r ? 1 ? p ,所以 Sn ? ( pn ? 1 ? p)an ,得 Sn?1 ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) , 两式相减,得 p(n ?1)an ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) ,

an an ?1 ? (n ? 2) . pn ? 1 ? 2 p p(n ? 1) a a a a a 1 ①当 p ? 时,得 n ? n ?1 (n ? 2) ,所以 2015 ? 2014 ? ? ? 1 , 2 n n ?1 2015 2014 1 满足 a2015 ? 2015a1 ; 1 ②当 p ? 时,由 p(n ?1)an ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) ,又 an ? 0 , 2
易知 p ? 0 ,所以
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……………12 分

……………14 分

所以 p(n ?1)an ? pnan?1 (n ? 2) ,即 ③当 p ?

an an ?1 a a ? (n ? 2) ,所以 2015 ? 1 ,不满足 a2015 ? 2015a1 ; n n ?1 2015 1

1 且 p ? 0 时,类似可以证明 a2015 ? 2015a1 也不成立; 2 1 1 1 综上所述, p ? , r ? ,所以 pr ? . 2 2 4

……………16 分

盐城市 2016 届高三年级第一学期期中考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. [2, ??) 8. 2. 假 9. [4, 6] 3. 10. 7

2

4. (0, ??) 11. (0, 2)

5. 1 12. 8

6. 1 13. ( ?1, )

7. -1

7

3 2

14. ( ?

1 1 , ) 2 2

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内.

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2 3 cos 2 x 1 ? 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 6 2 2? ?? . 所以 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2 ? 1 ? 1 (2)因为 f ( x) ? ?1 ,所以 sin(2 x ? ) ? ? ?1 ,即 sin(2 x ? ) ? ? , 6 2 6 2 ? ? ? 1 ? 2? ? ?? 所以 cos ? ? 2 x ? ? cos ? ? (2 x ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? ? . 6 ? 6 2 ? 3 ? ?2 2 16.解: (1)解不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 ?3 ? x ? 1 ,即 A ? ? ?3,1? ,
15.解: (1)因为 f ( x) ? 当 a ? 3 时,由 x ? 3 ? 1,解得 ?4 ? x ? ?2 ,即集合 B ? ? ?4, ?2? , 所以 A ? B ? ? ?4,1? ; (2)因为 p 是 q 成立的必要不充分条件,所以集合 B 是集合 A 的真子集. 又集合 A ? ? ?3,1? ,B ? (?a ? 1, ?a ? 1) ,

…………2 分 …………6 分 …………8 分 …………10 分 …………14 分 ..............2 分 ..............4 分 ..............6 分 ...............8 分 ..............10 分 ..............12 分 ...............14 分

??a ? 1 ? ?3 ??a ? 1 ? ?3 或? , ??a ? 1 ? 1 ??a ? 1 ? 1 解得 0 ? a ? 2 , 即实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 .
所以 ? 17.解: (1)在 ?ABC 中,因为 sin B ? 所以 cos B ?

? 3 2 ,所以 B ? A ? , ? sin A ? 4 5 2
...............2 分

4 , 5

所以 sin C ? sin( A ? B) ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? , 2 5 2 5 10
高三数学答案 第 8 页 共 11 页

...............4 分

a c 7 3 3 c ? ,得 ,所以 c ? . ? sin A sin C 5 2 7 2 2 10 ??? ? ??? ? 2 (2)因 CA ? CB ? 6 ,得 b ? 3 ? 2 3b cos C ? 6 ①,
由正弦定理 由余弦定理,有 b ? 3 ? 2 3b cos C ? c
2 2

...............6 分

...............8 分

②, ...............10 分 ...............12 分 ……………14 分

①+②,得 c ? 2b , 再由余弦定理,有 b ? c ? 2bc ? 3 ,解得 b ? 3, c ? 6 ,
2 2
2 2 2 所以 a ? b ? c ,即 C ?

?
2

,所以 CA ? CB ? 0 .

??? ? ??? ?

(说明:其它方法类似给分)

? 7 b ? ? 7 x?b ? 4 a 18.解: (1)将 D (0, ), E (3, 4) 两点坐标代入到 y ? 中,得 ? , ……………2 分 3 ? b 4 x?a ?4 ? ? 3? a ? ?a ? ?4 解得 ? . …………3 分 ?b ? ?7 3 ? 0? k?m ? 3 9 ? 2 再将 A( , 0), C ( , 4) 两点坐标代入到 y ? kx ? m 中,得 ? , …………5 分 2 2 ?4 ? 9 k ? m ? ? 2 4 ? ?k ? 解得 ? …………6 分 3. ? ?b ? ?2 4 (2)①由(1)知直线 AC 的方程为 y ? x ? 2 ,即 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 . …………7 分 3 t ?7 ) ,则利用点到直线的距离公式, 设点 M 的坐标分别为 M (t , t ?4 t ?7 | 4t ? 3 ? ?6| 1 9 t ? 4 ? | 4t ? ?9|, 得l ? …………9 分 2 2 5 t ?4 4 ?3 又由点 D, E 向直线 AC 作垂线时,垂足都在线段 AC 上,所以 0 ? t ? 3 , 1 9 ?9 |,0 ? t ? 3. 所以 l ? f (t ) ? | 4t ? …………10 分 5 t?4 9 (2t ? 5)(2t ? 11) ? 9, 0 ? t ? 3 ,因为 g ?(t ) ? ② 方法一:令 g (t ) ? 4t ? , t ?4 (t ? 4) 2 5 11 所以由 g ?(t ) ? 0 ,解得 t ? 或 t ? (舍) , …………12 分 2 2 5 5 所以当 t ? (0, ) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递增;当 t ? ( , 3) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递减. 2 2 5 5 从而当 t ? 时, g (t ) 取得最大值为 g ( ) ? ?5 , …………14 分 2 2 5 即当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . …………16 分 2
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方法二:因为 0 ? t ? 3 ,所以 1 ? 4 ? t ? 4 ,

9 9 9 ? 9 ? 4(t ? 4) ? ? 7 ? 7 ? [4(4 ? t ) ? ] t ?4 t ?4 4?t 9 ? 7 ? 2 4(4 ? t ) ? ? 7 ? 2 ? 6 ? ?5 , 4?t 9 5 当且仅当 4(4 ? t ) ? ,即 t ? 时取等号, 4?t 2 5 即当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . 2 9 ? 9 ? 0, 方法三:因为点 M 在直线 AC 的上方,所以 4t ? t?4 1 9 ? 9) , 0 ? t ? 3 , 所以 l ? f (t ) ? ? (4t ? 5 t ?4
则 4t ? 以下用导数法或基本不等式求其最小值(此略,类似给分).

…………12 分

…………14 分 …………16 分

…………12 分 …………16 分 …………12 分

DE 相切, 方法四:平移直线 AC 至 AC 1 1 ,使得 AC 1 1 与曲线
则切点即为 l 取得最小值时的 M 点. 由y?

x?7 5 3 3 4 ,得 y ? ? ,则由 k ? ? ,且 0 ? t ? 3 ,解得 t ? , …………14 分 2 2 x?4 2 ( x ? 4) (t ? 4) 3 5 故当 t ? 时, l 取得最小值,最小值为 1km . …………16 分 2 1 19. 解: (1)因为 f ?( x) ? ,所以 f ?(1) ? 1 ,则所求切线的斜率为 1 , ……………2 分 x 又 f (1) ? ln1 ? 0 ,故所求切线的方程为 y ? x ? 1 . ................4 分 k k k ?1 ? (2)因为 f ( x) ? ? ln x ? ,则由题意知方程 ln x ? ? 0 在 ? 2 , ?? ? 上有两个不同的根. x x x ?e ? k 由 ln x ? ? 0 ,得 ? k ? x ln x , ……………6 分 x 1 令 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? ln x ? 1,由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? . e ? 1 1? ?1 ? 当 x ? ? 2 , ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x ? ? , ?? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, ?e e ? ?e ? 1 1 1 y 所以当 x ? 时, g ( x) 取得最小值为 g ( ) ? ? . ……………8 分 e e e 1 2 1 1 又 g ( 2 ) ? ? 2 , g (1) ? 0 (图象如右图所示) , O e e e e 2 ? 1 x 1 2 2 1 e 1 所以 ? ? ? k ? ? 2 ,解得 2 ? k ? . ……………10 分 1 ? e e e e e 1 1 k ex 1( , ??) 恒成立. (3)假设存在实数 k 满足题意,则不等式 ln x ? ? 对 x? 2 x x 1 x 即 k ? e ? x ln x 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 x x 令 h( x) ? e ? x ln x ,则 h?( x) ? e ? ln x ?1 , ……………12 分 1 x x 令 r ( x) ? e ? ln x ? 1,则 r ?( x) ? e ? , x
2

2

高三数学答案 第 10 页 共 11 页

因为 r ?( x) 在 ( , ??) 上单调递增, r ?( ) ? e 2 ? 2 ? 0 , r ?(1) ? e ? 1 ? 0 ,且 r ?( x) 的图象在 ( ,1) 上 不间断,所以存在 x0 ? ( ,1) ,使得 r?( x0 ) ? 0 ,即 e 0 ?
x

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1 ? 0 ,则 x0 ? ? ln x0 , x0

所以当 x ? ( , x0 ) 时, r ( x) 单调递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, r ( x) 单调递增, 则 r ( x) 取到最小值 r ( x0 ) ? e 0 ? ln x0 ? 1 ? x0 ?
x

1 2

1 1 ? 1 ? 2 x0 ? ? 1 ? 1 ? 0 , ……………14 分 x0 x0

所以 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在区间 ( , ??) 内单调递增.
1 1 1 1 1 1 2 所以 k ? h( ) ? e ? ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 2 k 所以存在实数 满足题意,且最大整数 k 的值为 1 . ……………16 分 20.解: (1)证明:由 p ? 1 , r ? 0 ,得 Sn ? nan ,所以 Sn?1 ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) ,

1 2

两式相减,得 an ? an?1 ? 0(n ? 2) ,所以 ?an ? 是等差数列.

……………4 分 ……………5 分

(2)令 n ? 1 ,得 p ? r ? 1,所以 r ?

2 , 3 1 2 1 1 则 S n ? ( n ? ) an ,所以 S n ?1 ? ( n ? )an ?1 (n ? 2) ,两式相减, 3 3 3 3 an n ?1 得 ? (n ? 2) , an?1 n ? 1 a a a a a 3 4 5 n ?1 n(n ? 1) 所以 2 ? 3 ? 4 ? n ? ? ? ? ,化简得 n ? (n ? 2) , a1 a2 a3 an?1 1 2 3 n ? 1 a1 1? 2
所以 an ? n2 ? n(n ? 2) , 又 a1 ? 2 适合 an ? n ? n(n ? 2) ,所以 an ? n ? n .
2 2

……………7 分

……………9 分 ……………10 分

(3)由(2)知 r ? 1 ? p ,所以 Sn ? ( pn ? 1 ? p)an ,得 Sn?1 ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) , 两式相减,得 p(n ?1)an ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) ,

an an ?1 ? (n ? 2) . ……………12 分 pn ? 1 ? 2 p p(n ? 1) a a a a a 1 ①当 p ? 时,得 n ? n ?1 (n ? 2) ,所以 2015 ? 2014 ? ? ? 1 , 2 n n ?1 2015 2014 1 满足 a2015 ? 2015a1 ; ……………14 分 1 ②当 p ? 时,由 p(n ?1)an ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) ,又 an ? 0 , 2 a a a a 所以 p(n ?1)an ? pnan?1 (n ? 2) ,即 n ? n ?1 (n ? 2) ,所以 2015 ? 1 ,不满足 a2015 ? 2015a1 ; n n ?1 2015 1 1 ③当 p ? 且 p ? 0 时,类似可以证明 a2015 ? 2015a1 也不成立; 2 1 1 1 综上所述, p ? , r ? ,所以 pr ? . ……………16 分 2 2 4
易知 p ? 0 ,所以

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