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第三节简单曲线的极坐标方程(1)

时间:2015-10-26


第三节简单的曲线的极坐 标方程(1)

1

点的轨迹
设M(x, y)是直角坐标系内一点, 当M按某种规律在平面内运动时, 所留下的运动轨迹, 反映在图形上就是一条曲线.

所谓某种规律:

y

M(x, y)坐标之间所满足一定关系式.
F ( x, y ) ? 0
某个方程

O

x

若要用一个方程刻画坐标平面内的曲线C, 则方程与 曲线之间应当满足怎样的关系?
2

定义. 在直角坐标系中, 如果曲线C和二元方程 F ( x, y ) ? 0 之间满足:
① 曲线C上的点的坐标都是方程的解; ② 方程的解为坐标的点都在曲线C上;

曲线与方程

则称:方程

F ( x, y ) ? 0

为曲线C的方程;

曲线C是方程

F ( x, y ) ? 0 的曲线.

3

定义. 在极坐标系中, 如果曲线C和二元方程 F ( ? ,? ) ? 0之 间满足: ①曲线C上的任意一点的所有极坐标中, 至少有 一个是方程的解;

极坐标方程

②方程的解为极坐标的点都在曲线C上; 则称:方程 F ( ? ,? ) ? 0 为曲线C的极坐标方程;
曲线C是方程
F ( ? ,? ) ? 0

的曲线.

4

求曲线的极坐标方程步骤
1、建立适当的坐标系; 2、设点M(ρ,θ)是曲线上任意一点;
3、根据曲线上的点所满足的条件写出等式; 4、用极坐标ρ,θ表示上述的等式,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。

5

例题解析
例1.(课本P13例1)
例2.(补充)求以 C ( a,0)为圆心, 半径为a (a ? 0) 的圆的 极坐标方程. 解: 如图所示: 设点P坐标为 ( ? ,? ) | OP | ? cos? 则 | OM | 即 ? ? 2a cos?

?

P ( ? ,? )

?
O

?

2a

M

x

例3.(课本P14例2)

P ( ? ,? )
6

练习一:求下图中的圆的极坐标方程,半径都 是a
O

x

? ?a

P

C ( a, ) 2

?

? ? 2a sin ?
x

O

7

练习二: 求下列直线的极坐标方程. (1)过极点与点 P ( ?3,? ) 3 (2)过点 M (2,0) 且与极轴垂直 (3)过点 M (3, ) 且与极轴平行 2

?

?

? cos? ? 2 ? sin ? ? 3

2? ?? 3

练习三:课本P15习题1.3 1.(1),(2);2. (1),(3)
8

极坐标系下两点间的距离公式
5? 6
? P1 ?

? 4

O

?

P2
x

设两点 P1 ( ?1 ,? 1 ), P2 ( ? 2 ,? 2 ) 定理得: 2 P1 P2 ? ?12 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 2 cos(? 1 ? ? 2 )

,则由余弦

9


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