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8.5 空间中的平行关系

时间:2014-10-30


考纲要求
1.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理. 2.掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.

知识梳理
1.直线与平面平行 定理 判定 面内的一条直线平行,那么 定律 该直线与此平面平行. 定理内容 如果 平面外 一条直线与平 符号表示

? ? ? a / /? a ? ?,b ? ? ? a / /b

? ? a ? ? ? ? a / /b 性质 则过这条直线的任一平面 ? ? ? b? ?
一条直线与一个平面平行, 定律 与此平面的交线与该直线 平行.

a / /?

2.平面与平面平行 定理 判定 定律 个平面平行. 如果两个平行平面同时和 定理内容 符号表示

一个平面内的两条相交直线 a ? ? , b ? ? ? 与另一个平面平行,则这两

? a b ? P ? ? ? / /? a / /? ,b / /? ? ?

? / /? ? ? 性质 ? ? ? a ? ? a / /b 第三个平面相交,那么它们 定律 ? ? ? b? ?
的交线平行.

基础自测
1.对两条不相交的空间直线 a 和 b ,则( A.必定存在平面 ? ,使得 a ? ? , b ? ? B.必定存在平面 ? ,使得 a ? ? , b ∥ ? C.必定存在直线 c ,使得 a ∥ c , b ∥ c D.必定存在直线 c ,使得 a ∥ c , b ? c
【答案】B



2. (2012 西城二模 )设 m , n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面, 且 m, n ? ? . 则“ ? ∥ ? ”是“ m ∥ ? 且 n ∥ ? ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【答案】A

典例剖析
考点1 平行的基本问题
【例 1】 (2013 江西高考) 如图, 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 ? 上,且 AB // CD ,则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面 个数为______.
F

E α A B C D

【答案】4 【解析】由题意可知直线 EF 与正方体的左右两个侧面平行, 与正方体的上下底面相交,前后侧面相交, ∴直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4.

【变式】 (2013 中山质检) 如图, 在透明塑料制成的长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1容 器内灌进一些水,将容器底面一边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着 倾斜度的不同,有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E ? AA1 时, AE ? BF 是定值. 其中所有正确的命题的序号是( A.①②③ B.①③ ) C.②④ D.①③④
E A B F A1 B1 H G D C D1 C1

【答案】D

考点2 直线和平面平行问题
【例 2】 (2013 文登一模)如图,在多面体 ABCDEFG 中,平面 ABC //平 面 DEFG , AD ? 平面 DEFG , AB ? AC , ED ? DG , EF ∥ DG , 且 AC ? EF ? 1 , AB ? AD ? DE ? DG ? 2 . (1)求证: BF //平面 ACGD ; (2)求三棱锥 A ? BCF 的体积.

A B

C

D E F

G

【解析】 (1)取 DG 的中点 M ,连接 AM , FM , ∵ EF ?

A

C

1 DG ,∴ EF ? DM , 2

B

∵ EF ∥ DG ,∴ EF ∥ DM , ∴四边形 DEFM 是平行四边形,∴ DE // MF ,

?

D E F

M

G

又∵ DE // AB ,∴ AB // MF .

?

?

∴四边形 ABFM 是平行四边形,∴ BF ∥ AM , 又 BF ? 平面 ACGD , AM ? 平面 ACGD ,∴ BF //平面 ACGD . (2)∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ VP ? ABCD

1 1 2 2 ? S正方形ABCD ? PA ? ? 1 ? 2 ? , 3 3 3
2 . 3

∴四棱锥 P ? ABCD 的体积为

考点3 平面和平面平行问题
【例 3】 (2013 陕西高考)如图, 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是正 方形, O 为底面中心, AO ? 平面 ABCD , AB ? AA1 ? 2 . 1 (1) 证明: 平面 A 1BD //平面 CD 1B 1; (2) 求三棱柱 ABD ? A1 B1 D1 的体积.
D1 A1 B1 C1

D A O B

C

【解析】 (1)证明:在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, ∵ BB1 ∥ DD1 ,且 BB1 ? DD1 , ∴四边形 BDD1 B1 为平行四边形, ∴ BD ∥ B1 D1 ,同理 A1D ∥ B1C , ∵ BD

A1D ? D , BD ? 平面 A1BD , A1D ? 平面 A1BD ,

B1D1 B1C ? B1 , B1D1 ? 平面 CD1B1 , B1C ? 平面 CD1B1 ,
∴平面 A1BD ∥平面 CD1B1 .

(2)∵ AO ? 平面 ABCD , 1 ∴ AO 1 B1 D1 的高, 1 是三棱柱 ABD ? A 在正方形 ABCD 中, AO ? 1 . ∴ A1O ? ∴ VABD ? A1B1D1

A1 A2 ? AO 2 ? 2 ? 1 ? 1 ,

1 ? S ?ABD ? A1O ? ? ( 2) 2 ?1 ? 1 . 2

归纳反思
1.证明直线和平面平行主要有两种方法: ①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行, 即:线线平行 ? 线面平行; ②证明经过这条直线的一个平面和这个平面平行, 即:面面平行 ? 线面平行. 2.证明平面和平面平行的关键:在一个已知平面内“找出” 两条相交直线与另一平面平行.


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